動量傳遞過程選論演示文稿

動量傳遞過程選論演示文稿本文檔共68頁；當前第1頁；編輯于星期六\0點13分（優(yōu)選）第五講動量傳遞過程選論本文檔共68頁；當前第2頁；編輯于星期六\0點13分在直角坐標系下，常物性牛頓流體二維流動的變化方程組為：§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(2)包含了三個自變量(t,x,y)和三個因變量(vx,vy,P)。(b.1)(b.2)(b.3)本文檔共68頁；當前第3頁；編輯于星期六\0點13分在微分方程課程中，我們曾學習過一類稱為全微分方程(exactdifferentialequation)的變系數(shù)常微分方程:§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(3)則必然存在二元連續(xù)函數(shù)f(x,

y)滿足其系數(shù)滿足判別式(b.4)(b.5)(b.6,7)本文檔共68頁；當前第4頁；編輯于星期六\0點13分函數(shù)f

的全微分為§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(4)回到常物性牛頓流體二維流動問題，令由方程定義的y~x隱函數(shù)即是全微分方程的解。則有(b.8)(b.9)(b.10,11)(b.12,13)本文檔共68頁；當前第5頁；編輯于星期六\0點13分以及§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(5)根據(jù)連續(xù)性方程，上式右側(cè)的值等于零。于是必然存在二元連續(xù)函數(shù)(x,y)滿足如果我們得到了的表達式，通過求偏導數(shù)很容易得到vx和vy。函數(shù)被稱為流函數(shù)。很顯然，我們可以用求解來代替同時求解vx和vy。(b.14)(b.15,16)本文檔共68頁；當前第6頁；編輯于星期六\0點13分把與vx和vy的關(guān)系代入變化方程組,有§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(6)連續(xù)性方程自動滿足，可以從方程組中刪去。(b.17)(b.18)(b.19)本文檔共68頁；當前第7頁；編輯于星期六\0點13分將式(b.18)對y求導和將式(b.19)對x求導，有§4.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(7)(b.20)(b.21)從式(b.21)中減去式(b.20)

，得到(b.22)本文檔共68頁；當前第8頁；編輯于星期六\0點13分

由上可見：控制方程已經(jīng)從包含三個因變量(vx,vy,P

)的三個方程(b.1～b.3)減少為只含一個因變量()的單個方程(b.22)。

這是一個巨大的簡化！通過求解這個簡化的數(shù)學模型得到流函數(shù)后，只需對流函數(shù)求導就能得到速度函數(shù)。教材第123頁的表4.2-1列出了不同坐標系下應用流函數(shù)得到的控制方程形式，我們可根據(jù)具體案例按需選用?！?.2

應用流函數(shù)方法求解二維流動問題(8)本文檔共68頁；當前第9頁；編輯于星期六\0點13分三個坐標系下的流函數(shù)方程本文檔共68頁；當前第10頁；編輯于星期六\0點13分問題描述:

一個球體在大空間中的牛頓流體中緩慢下落。求解當球體以恒定速度下落時流體和球體的運動狀態(tài)。例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(1)1.物理模型:

1)由于球體運動引起的流體物性變化很小，因而可以有效地假設(shè)流體的密度和粘度為常數(shù)。本文檔共68頁；當前第11頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(2)2)當從固定在地球上的參考系觀察時，這個過程是非穩(wěn)態(tài)流動。但如果從固定在球體上的參考系觀察，則表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)流動。由于后者仍然是一個慣性參考系，因而前面所導出的運動方程在該參考系中依然成立。

通過選擇固定在球體上的參考系，我們將問題轉(zhuǎn)化成為環(huán)繞一個固定球體的穩(wěn)態(tài)流動。本文檔共68頁；當前第12頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(3)3) 因為過程在大空間中進行，在有限的時間里，球體引起的流體擾動并沒有到達空間的外邊界，我們不妨把外邊界延拓到無限遠處。4) 因為流體流動的速度很小(即所謂爬流)，所以運動方程中的慣性項(與速度平方有關(guān)的項)均可省略。5)

流動具有軸對稱性。本文檔共68頁；當前第13頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(4)2.數(shù)學模型:1)選用右圖所示的球坐標系。2）根據(jù)物理模型中的第1)點和第5)點，可以從表4.2-1中的最后一行得到此問題的控制方程：本文檔共68頁；當前第14頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(5)根據(jù)物理模型中的第2)點，方程左側(cè)的第一項等于零。根據(jù)物理模型中的第4)點，方程左側(cè)色其它項均可省略，于是(4.2-2)式中的微分算子E可以展開成表達式(4.2-3)本文檔共68頁；當前第15頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(6)式(4.2-3)的邊界條件應該從邊界處的速度導出：根據(jù)關(guān)系式我們得到球表面的邊界條件：(4.2-4)(4.2-5)本文檔共68頁；當前第16頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(7)(4.2-6)對B.C.3’積分得到比較兩式，我們有式中C是一個任意常數(shù)，不妨取為零。對B.C.4’積分得到本文檔共68頁；當前第17頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(8)

分離變量法3.數(shù)學模型求解1)分離變量

B.C.3提示我們流函數(shù)可能具有以下形式：

(*)其中將其代入式(4.2-3)，我們有(4.2-7)本文檔共68頁；當前第18頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(9)

分離變量法所以式(*)可以寫作(4.2-9)這是一個歐拉方程，其通解為將其展開，我們有(4.2-8)本文檔共68頁；當前第19頁；編輯于星期六\0點13分根據(jù)B.C.3,

(4.2-10)及然后(4.2-11)(4.2-12)根據(jù)和B.C.2,

及例

4.2-1環(huán)繞球體的爬流(10)

分離變量法本文檔共68頁；當前第20頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(11)

分離變量法(4.2-13)于是我們得到了速度場的表達式如下：(4.2-14)以及相應的流線方程本文檔共68頁；當前第21頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1環(huán)繞球體的爬流(12)(4.2-16)4.過程參數(shù)(4.2-15)1)壓力場把速度表達式代入N-S方程，我們可以得到修正壓力場的控制方程組該方程組的解為(4.2-17)即本文檔共68頁；當前第22頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(13)(B.1-18)2)剪切應力場根據(jù)教材的附錄B，作用在坐標面r=const.上的剪切應力（即沿r-方向的-動量通量）為把速度場的表達式(4.2-13,14)代入上式，我們有(**)本文檔共68頁；當前第23頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(14)(B.1-16)3)拉伸應力場根據(jù)教材的附錄B，作用在坐標面r=const.上的拉伸應力（即沿r-方向的r-動量通量）為

把速度場的表達式(4.2-13,14)代入上式，我們有(***)本文檔共68頁；當前第24頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(15)4)作用在球體上的曳力流體施加在球體上的總作用力必然在z-方向，并且應該等于法向應力和切向應力在整個球體表面上的積分值。其中法向應力的貢獻為(**)本文檔共68頁；當前第25頁；編輯于星期六\0點13分例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(16)總作用力包含浮力和動力學曳力兩部分：而切向應力的貢獻為動力學曳力的表達式被稱為Stokes定律本文檔共68頁；當前第26頁；編輯于星期六\0點13分

由于在物理模型中省略了慣性項，上述結(jié)果僅對非常緩慢的流動有效。

通過與實驗數(shù)據(jù)進行比較，應用Stokes定律計算動力學曳力的適用場合局限于Re<0.1的情況。例

4.2-1

環(huán)繞球體的爬流(17)5.結(jié)果分析本文檔共68頁；當前第27頁；編輯于星期六\0點13分

邊界層理論在18~19世紀的航海時代，誰能擁有海洋控制權(quán)誰就能擁有世界貿(mào)易權(quán)和殖民地控制權(quán)。因此個發(fā)達國家都競相發(fā)展海軍艦隊和商船隊。而提高艦船的航速是首屈一指的關(guān)鍵技術(shù)。當人們順里成章地增大發(fā)動機功率來提高船速時，卻失望地發(fā)現(xiàn)速度的增加遠未達到預期的幅度。速度的增加完全不是正比于發(fā)動機功率的提升。為什么呢？直到Prandtl在1904年提出邊界層概念后，才對此問題給出合理的解釋。本文檔共68頁；當前第28頁；編輯于星期六\0點13分

邊界層的概念(1)當流體流經(jīng)固體物體的前端時(參見右圖)，由于粘性效應，緊靠壁面區(qū)域的流體的速度將顯著減小，形成一個速度梯度較大的區(qū)域，流體的動量經(jīng)由這一區(qū)域傳遞給固體表面。隨著流體沿壁面向前流動，這個區(qū)域的厚度沿流動方向逐漸增大。這個區(qū)域被稱為流動邊界層或速度邊界層。本文檔共68頁；當前第29頁；編輯于星期六\0點13分邊界層的概念(2)流動邊界層具有以下特點：1)邊界層的外邊界v=0.99v理論上講，邊界層的外邊界應該是流體速度未減小的臨界點，此處速度在垂直于壁面方向上的變化率為零。但實際上在邊界層外緣區(qū)速度變化很緩慢，很難判斷何處v=v。因此人為約定v=0.99v處為邊界層的外邊界，此處到壁面的垂直距離為邊界層厚度。2)邊界層很薄<<x距前沿x處的邊界層厚度遠小于x。本文檔共68頁；當前第30頁；編輯于星期六\0點13分邊界層的概念(3)3)邊界層內(nèi)的橫向速度梯度dvx/dy很大，動量分子傳遞不能忽略；邊界層外dvx/dy很小，粘性效應可忽略。4)邊界層內(nèi)的流態(tài)有層流湍流之分，判據(jù)是邊界層雷諾數(shù)Rex。湍流邊界層內(nèi)的近壁區(qū)仍有一層流底層。5)在凸表面上可發(fā)生邊界層分離現(xiàn)象。本文檔共68頁；當前第31頁；編輯于星期六\0點13分邊界層的概念(4)則緊靠壁面區(qū)域的流體的濃度將會受到影響而改變，形成一個厚度沿流動方向逐漸增大的濃度邊界層。與此類似，當流體流經(jīng)固體表面時，如果從某一處開始，某個化學組分在固體表面處的濃度與來流流體中的濃度不同，本文檔共68頁；當前第32頁；編輯于星期六\0點13分邊界層的概念(5)則緊靠壁面區(qū)域的流體的濃度將會受到影響而改變，形成一個厚度沿流動方向逐漸增大的濃度邊界層。與此類似，當流體流經(jīng)固體表面時，如果從某一處開始，某個化學組分在固體表面處的濃度與來流流體中的濃度不同，本文檔共68頁；當前第33頁；編輯于星期六\0點13分

邊界層坐標系(1)為了簡單且不失普遍性，我們?nèi)《S邊界層作為討論對象。參見右圖，令x代表從固體物體前端開始沿固體表面的弧長，y代表距固體表面的距離，我們就在近壁區(qū)域建立起了一個正交曲線坐標系。本文檔共68頁；當前第34頁；編輯于星期六\0點13分

邊界層坐標系(2)令dS為從點a到點b的弧長微元，R為固體壁面在點(x,0)的曲率半徑，我們有本文檔共68頁；當前第35頁；編輯于星期六\0點13分,則在邊界層內(nèi)有。邊界層坐標系(3)在正交坐標系中，對比前一公式，我們得到了尺度因子(ScaleFactor，iA.7，p.115~116)的表達式：如果此結(jié)果表明，只要固體壁面的曲率半徑遠大于邊界層的厚度，邊界層坐標系就可以近似處理為直角坐標系。本文檔共68頁；當前第36頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(1)邊界層方程是在的條件下采用量階分析法對變化方程組進行化簡而得。量階分析法的要點是在評估各個物理量對某一現(xiàn)象影響的總體重要性時，主要依據(jù)各個物理量在所涉及區(qū)域中的平均值的相對大小，而并不關(guān)注這些物理量在該區(qū)域中少數(shù)空間點上的特定值的大小。本文檔共68頁；當前第37頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程

(2)二元體系的二維穩(wěn)態(tài)過程的變化方程組可寫為：(a1)(a2)(a3)(a5)(a4)本文檔共68頁；當前第38頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(3)選取以下五個物理量作為量階分析中比較各類物理量相對大小的標尺長度標尺的相對量階大小為：長度類：速度類：溫度類：濃度類：本文檔共68頁；當前第39頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程

(4)1)速度分量vx及其各個偏導數(shù)的量階本文檔共68頁；當前第40頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(5)2)速度分量vy及其各個偏導數(shù)的量階根據(jù)連續(xù)性方程

[式(a1)],

本文檔共68頁；當前第41頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(6)本文檔共68頁；當前第42頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(7)3)修正壓強P的偏導數(shù)的量階考慮邊界層外部的無粘流動在邊界層的外邊界處本文檔共68頁；當前第43頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(8)把上式代入式(a2)，得到由于邊界層很薄，在邊界層內(nèi)部壓力梯度沿y方向的變化不可能很大。于是我們假設(shè)(a6)本文檔共68頁；當前第44頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(9)將其帶入式(a3)中，我們得到此方程要成立就必然有：

這一結(jié)果表明式(a6)中的假設(shè)成立。此方程要成立就必然有：

本文檔共68頁；當前第45頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(10)由于壓力及壓力梯度可以根據(jù)邊界層外部的流動求出，邊界層內(nèi)部的未知變量就可以減少一個，由式(a1)~(a5)組成的方程組中的方程式就可以消去一個。我們選擇消去式(a3)并忽略式(a2)中的，就得到邊界層運動方程于是以及(4.4-11)本文檔共68頁；當前第46頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(11)式(4.4-11)是在=const.的條件下導出的。如果我們需要考慮由于溫度差或濃度差引起密度變化所導致的自然對流現(xiàn)象，則必須在該方程中增加兩項：式中代表熱膨脹系數(shù)，代表濃度膨脹系數(shù)，gx是重力加速度的x分量。(20.2-2)本文檔共68頁；當前第47頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(12)對式(a4)~(a5)應用量階分析，我們有式中T和C分別是溫度邊界層厚度和濃度邊界層厚度。本文檔共68頁；當前第48頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(13)于是這兩個方程可簡化為很顯然，；(20.2-3)(20.2-4)本文檔共68頁；當前第49頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(14)對于自然對流、粘性耗散、化學反應和偏摩爾焓差可忽略的系統(tǒng)，我們得到邊界層方程組：速度場方程溫度場方程濃度場方程(4.4-11)(20.2-22)(20.2-23)本文檔共68頁；當前第50頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(15)邊界層方程的基本邊界條件在外邊界處還可以給出一系列附加邊界條件本文檔共68頁；當前第51頁；編輯于星期六\0點13分邊界層方程(16)小結(jié):

運用量階分析法，我們主要獲得了兩個結(jié)果：

1)在平行于固體表面方向上，三個邊界層中的所有分子傳遞項都可以忽略；

2)在邊界層內(nèi)，橫向壓力梯度的影響可以忽略。將此結(jié)果代入變化方程組，就得到三個邊界層方程。本文檔共68頁；當前第52頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(1)考慮流經(jīng)平板表面的邊界層，采用以下物理簡化：1.物理模型穩(wěn)態(tài)過程；常物性；沿一個方向均勻；邊界層外部流動的壓力梯度為零；本文檔共68頁；當前第53頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(2)無化學反應；重力是唯一的外力場；粘性效應可以忽略；混合熱可以忽略；熱輻射可以忽略；

擴散焓通量可以忽略；

壁面處的法向速度遠小于外流速度。本文檔共68頁；當前第54頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(3)2.數(shù)學模型(20.2-20)(20.2-21)(20.2-22)(20.2-23)本文檔共68頁；當前第55頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(4)(20.2-24)(20.2-26)(20.2-25)上述數(shù)學模型有一個明顯的特點：式(20.2-21)~(20.2-23)具有相似的數(shù)學結(jié)構(gòu)和邊界條件，因而可以采用共同的方法求解。本文檔共68頁；當前第56頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(5)(20.2-28)式(20.2-21)~(20.2-23)可以表達成一個共同的形式。3.求解數(shù)學模型定義以下無因次變量和無因次傳遞系數(shù)(20.2-29)本文檔共68頁；當前第57頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(6)于是有根據(jù)式(20.2-20)，

(20.2-27)(20.2-30)(20.2-31)(20.2-32)本文檔共68頁；當前第58頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(7)代入式(20.2-30)

，有在y趨近于無窮大處的邊界條件提示我們可以運用變量組合法求解。通過類似于§4.1的方法，以下無因次組合變量是一個有利的選擇：(20.2-33)(20.2-34)本文檔共68頁；當前第59頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(8)考慮式.(20.2-37)能夠被滿足的情況。通過引入下列函數(shù)很顯然，式(20.2-34)的解可以表示成的一元函數(shù)的充分必要條件是壁面處的速度滿足下式：(20.2-37)(20.2-38)本文檔共68頁；當前第60頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(9)式(20.2-34)

可寫為此式可以直接積分得到本文檔共68頁；當前第61頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量

同時傳遞的邊界層(10)根據(jù)

,代入前式，得到特解根據(jù)

,此特解是一個隱函數(shù)，因為被積函數(shù)f中包含有因變量函數(shù)v=(

;

1,K).(20.2-43)本文檔共68頁；當前第62頁；編輯于星期六\0點13分動量、能量和質(zhì)量