機械振動電子課件清華第五章

rKu(r

)

=

w

2

Mu(r

)sKu(

s

)

=

w

2

Mu(

s

)(5.3-1)(5.3-2)5.3

振型向量(模態(tài)向量)的正交性·展開定理一.固有振型的正交性固有振型有一個非常有用的性質(zhì)，就是固有振型之間存在著關于質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的正交性?？紤]特征值問題(5.2-10)的兩組解wr,u(r)和ws,u(s)。這些解可以寫成用u(s)T左乘方程(5.3-1)的兩邊和用u(r)T左乘方程(5.3-2)的兩邊，得ru(

s

)T

u(

s

)T

Ku(r

)

=

w

2u(

s

)T

Mu(r

)s(5.3-3)(5.3-4)u(r

)T

u(r

)T

Ku(

s

)

=

w

2u(r

)T

Mu(

s

)(w

2

-w

2

)u(

s

)T

Mu(

r

)

=

0r

s(5.3-5)當r?s，即wr?ws時，必須有u(

s

)T

Mu(r

)

=

0(r

?

s)(5.3-6)這就是振型向量的正交性條件。因為矩陣M和K是對稱的，轉(zhuǎn)置方程(5.3-4)，可得u(

s

)T

Ku(r

)

=

w

2u(

s

)T

Mu(r

)s并與方程(5.3-3)相減，可得這個正交性是關于質(zhì)量矩陣M的，它起了加權矩陣的作用。將方程(5.3-6)代入方程(5.3-3)，可得振型向量關于剛度矩陣也是正交的，即需要再次強調(diào)指出，正交性關系式(5.3-6)和(5.3-7)只有當M和K為對稱矩陣時才是正確的。如果r=s，則不論u(s)TMu(r)取任何值，式(5.3-5)都自然滿足，因而可令u(

s

)T

Ku(r

)

=

0(r

?

s)(5.3-7)(5.3-8)(5.3-9)u(r

)T

Mu(r

)

=

Mru(r

)T

Ku(r

)

=

Kr稱Mr為模態(tài)質(zhì)量，Kr為模態(tài)剛度。式中drs為克朗尼格d符號，其數(shù)學定義為如果將振型向量正則化，則稱振型向量為關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正則正交性。若正則化是按照方程(5.2-15)得到的，即rsu(

s

)T

Mu(

r

)

=

drs

ru(

s

)T

Ku(r

)

=

d

w

2(r,

s

=1,

2,,

n)(r,

s

=1,

2,,

n)(5.3-10)(5.3-11)=

1

(r

=

s)0

(r

?

s)rsd(5.3-12)那么振型向量應滿足下面的關系式u(r

)T

Mu(r

)

=1(r

=1,

2,,

n)33mx

=

Ri

cos

ai

+

Qx

,i

=1my

=

Ri

sin

ai

+

Qyi

=1例5.3-1

圖5.3-1所示三個彈簧懸掛著質(zhì)量m，三個彈簧位于同一平面內(nèi)，彈簧常數(shù)分別為k1，k2和k3，試寫出質(zhì)量m的運動微分方程。若彈簧剛度k1=k2=k3=k，并且a1=0，a2=120，a3=210，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，并驗證振型向量的正交性。解：取直角坐標x-y如圖所示。如果只考慮微小位移，并設彈性恢復力為R1，R2

和R3，則質(zhì)量m的運動微分方程為圖5.3-1式中彈性力為Ri=-ki(xcosai+ysinai)將Ri的值代入運動微分方程，得322i

i

ixiiiyi=13i=1mx

+k

(x

cos

a

+

y

sin

a

cosa

)

=Qmy

+k

(x

sin

a

cosa

+

y

sin

a

)

=

Q

i

i寫成矩陣形式為3iiiiiiQ0

mycos2

asin

a

cosasin2

ai=1Qx

msin

a

cosa

x

i

=

y

+k

0

xysin

a1

cosa1

=

0當a1=0

時，有sin

a

2

=

3

2, cosa

2

=

-1

2,sin

a

2

cosa

2

=

-

3

4sina1

=

0, cosa1

=1,當a2=120

時，有3

2,

3

4當a3=210

時，有sin

a3

=

-1

2, cosa3

=

-

sin

a3

cosa3

=將以上各ai值和k1=k2=k3=k代入剛度矩陣，得

201

4

-

3

4

3

4

3

43

4 3

41

033

4 1

4

=

k

0

1

+

k

=

k

0

0

+

k

-kiiii

i

ii=1isin2

asina

cosa cos2

a

sina

cosa

代入質(zhì)量m的運動微分方程為Qx

m

2kk

y

=

Q

y

0

x

0

x

0

m

y

+

0200u特征值問題為2k

-w

2m

u1

0=

0k

-w

m

2

由此得固有頻率為w1

=

k

mw2

=

2k

m由于運動微分方程是兩個獨立的方程，表明x，y正好是兩個固有坐標，因此固有振型為u(1)

=

0

,

u(2)

=

11

0

為了驗證振型向量的正交性，將振型向量u(1)和u(2)代入方程(5.3-6)，有1

mu(1)T

Mu(2)

=

[00

1=

0]

0m

0

滿足正交性條件。第一階主振型第二階主振型二.具有重特征值的系統(tǒng)★具有重特征值，也就是有相同的固有頻率的系統(tǒng)，稱為退化系統(tǒng)。當系統(tǒng)存在p(2￡p￡n)個相同的固有頻率時，對應重特征值的特征向量與其余的n-p個特征向量是正交的，但一般說來，對應重特征值的特征向量之間并非一定正交。當特征值問題是由實對稱矩陣M和K來確定時，相應于重特征值的特征向量有p個、但不超過p個相互正交的特征向量。由于對應于重特征值的特征向量的任一線性組合也是一個特征向量，所以特征向量不是唯一的。一般來說，總可以選擇p個對應于重特征值的特征向量的線性組合，使它們構成相互正交的特征向量組，從而使得問題中的特征向量唯一地確定。▲假定系統(tǒng)的固有頻率w

1和w2相等，其他各固有頻率則與它們不同，則在特征值問題的n方程組中，只有n-2個是獨立的，這正是由于w

1是一個特征方程的二重根?！鴥蓚€固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的任意性，可以把任意的組合C1u(1)+C2u(2)看成是對應于固有頻率w

1=w

2的一個固有振型(其中C1和C2為任意常數(shù))。故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是對應于w

1或w

2的固有振型，所以可以認為有無窮多個固有振型的解，其中只能任意選取兩個相互獨立的解，其他的解均可由這兩個解的線性組合得到。1(K

-w

2

M

)u(1)

=

01(K

-w

2

M

)u(2)

=

0(5.3-13)(5.3-14)將

，和(1)u

、u(2)分別代入方程(5.2-10)，有21w222

1w=

w因此，有(

((

)

(

)(1)(2)21122

(1)2(2)11

2

1M C

uK

-w+

C

u=

C+

C

KK

-w

M

u

-w

M

u=

0(5.3-15)任意的兩個獨立的固有振型u(1)和u(2)一般不滿足正交性條件，即但可以作一個向量

u(2)+Cu(1)

(C為待定常數(shù))，要求這個向量對質(zhì)量矩陣M與u(1)正交，即u(1)T

Mu(2)

?

0,

u(1)T

Ku(2)

?

0(5.3-16)=

0(5.3-17)u(1)T

M

(u(2)

+

Cu(1)由此可解出待定常數(shù)C為1u(1)T

Mu(2)

u(1)T

Mu(

2)MC

=

- =

-u(1)T

Mu(1)(5.3-18)由這個C值而組合的向量u(2)+Cu(1)，就是與u(1)對質(zhì)量矩陣M是正交的。不難進一步證明它們對剛度矩陣K也是正交的，而u(1)與u(2)+Cu(1)是彼此獨立的固有振型。這種既相互獨立又正交的固有振型仍有無窮多組，其中任意一組都可以作為重特征值的特征向量。例5.3-2

在圖5.3-2所示的系統(tǒng)中，m1=m2=m，k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k，試求作微幅振動時，系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：由于系統(tǒng)作微幅振動，

可以認為彈簧k1和k2在x方向的變形不影響其他彈簧的狀態(tài)，而其他彈簧在y方向的變形也不影響彈簧k1和k2的狀態(tài)。系統(tǒng)運動微m00

x

0-k

y

=

0

1

1

分方程為m

0

4k

05k-k

05k

y2

00

x

0 0

y

+

0m

y2

0圖5.3-2特征值問題為200uu

u

04k

-w

2

m

1

=

0

2

005k

-w

2

m-k0-k5k

-w

m

3

特征方程為(4k

-w

2m)[m2w

4

-10kmw

2

+

24k

2

]

=

0解得特征值為w

2

=

w

2

=

4k m

,

w

2

=

6k

m1

2

3可見，此系統(tǒng)存在重特征值。將

代入特征值問題方程之中，求出第三階固有振型為23w1

Tu(3)

=

0-1將代入特征值問題方程為2221w=

w120(r

)uu(r

)0

-1=

0(r

=1,

2)

01

u(r

)

00

0

0

1-1

3可見可取任意值，并有1(r

=1,2)u(r

)(r

=1,2)u(r

)

=

u(r

)2

3取對應于w1和w2的兩階固有振型向量為不難驗證，它們與u(3)是滿足關于M和K的正交性條件，即

0

[1

1

1]Mu(3)

=

[1

1

1]-1

m

=

0

1

0

[-4

1

1]Mu(3)

=

[-4

1

1]-1

m

=

0

1

Tu(1)Tu(2)=

[1

1

1],

=[-4

1

1]-4Tu(1)

Mu(2)

=

[11

1]

1

m

=

-2m

?

0

1

令新的第二階振型向量為u(2)

=

Cu(1)

+

u(2)

=

C

-

4由正交性條件C

+1

C

+1

T1

1]

0Tu(1)

Mu(2)

=

[10

C

+1

=

0

0m

0 0

C

-

4m0

m

C

+1但它們之間不正交，即解得C

=

2

3于是5

3 5

3

T1

Tu(2)

=

-10

3約去比例因子5/3，故取u(2)

=

-2

1所以對應于w1，w2，w3的固有振型為1-2

0

u(1)

=

1

,u(2)

=

1

,u(3)

=

-1

1

1

1

0

u(1)

=

111u(2)

=

0

0

0

u(3)

=

-1

1

(1)

T(2)u

Mu1=

[0

1

1]0

m

0=

0Tu(r

)

Mu(3)1

0

=

-1

m0

1

0

11

0=

0

(r

=1,

2)三.模態(tài)矩陣振型向量可以排列成為n階方陣，稱為模態(tài)矩陣(或振型矩陣)，即u的每一列是一個振型向量u(r)(r=1,2,…,n)。引入振型矩陣u之后，由方程(5.2-14)所表示的特征值問題的所有n個解可以寫成簡潔的矩陣方程，即u

=

u(1)

u(2)

u(n)

(5.3-19)Ku

=

Muw

2式中w

2是固有頻率平方的對角矩陣。(5.3-20)應用振型矩陣u，可以把式(5.3-6)和式(5.3-8)合并成一個式子，即類似地，可將式(5.3-7)和式(5.3-9)合并為2rMM1uT

Mu

=

M=

M

n

(5.3-21)(5.3-22)2rKK1uT

Ku

=

K=

K

n

稱Mr為模態(tài)質(zhì)量矩陣，Kr為模態(tài)剛度矩陣。由于固有振型具有正交性，振型矩陣u可以用來作為使系統(tǒng)的運動微分方程不耦合的變換矩陣。若振型向量按照方程(5.2-15)進行正則化，然后排列成正則振型矩陣u，則模態(tài)質(zhì)量矩陣為單位矩陣，模態(tài)剛度矩陣為固有頻率平方的對角矩陣，即(5.3-23)T1rM

=

u Mu

=

I

=11由于振型向量只表示系統(tǒng)作固有振動時各坐標間幅值的相對大小，所以模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度的值依賴于正則化方法，只有進行正則化后，才能確定振型向量各元素的具體數(shù)值，也才能使Mr和Kr具有確定的值。2122rww

2wK

=

uT

Ku

=

L

=

n

(5.3-24)四.展開定理特征向量u(r)(r=1,2,…,n)形成一個線性獨立組，即有(5.3-25)1

2

nc

u(1)

+

c

u(2)

++

c

u(

n)

?

0(5.3-26)(1)

(2)1式中c1,c2

…,cn是不同時為零的常數(shù)。由于固有振型的線性獨立性，于是系統(tǒng)的任何一個位形的n維向量w可以由n個固有振型的線性組合構成，即n(n)(r

)2

nrC

ur

=1w

=

C

u=+

C

u

++

C

u式中w稱為

的線性組合，系數(shù)1

2C

,

C

…,Cn表示每一個振型的參與程度。(1)

(2)

(n){u

},{u

},,{u

}改變系數(shù)C1,C2

…,Cn而得到的所有線性組合組成向量空間w,這個空間是由u(1),

u(2),

…,

u(n)

生成的。向量組u(r)(r=1,2,…,n)稱為w的生成系統(tǒng)，因為這個向量組是獨立的，所以生成系統(tǒng)稱為w的基。屬于空間w的任何向量都可以表示成線性組合(5.3-26)的形式，即系統(tǒng)的任何可能的運動都可以被描寫為振型向量的線性組合，也就意味著由任意激勵產(chǎn)生的系統(tǒng)的運動可以看作固有振型用適當?shù)某?shù)相乘后的疊加。(1)

(2)n(n)(

r

)1

2

nrC

ur

=1w

=

C

u+

C

u

++

C

u

=如果用正則振型來表示系統(tǒng)的運動，就是把一組聯(lián)立的運動微分方程變換成一組獨立的方程，這里的變換矩陣就是振型矩陣u?！锇崖?lián)立的運動方程變換成一組互不相關的方程來得出系統(tǒng)響應的過程稱為振型分析或模態(tài)分析?？紤]固有振型的正交性條件，用u(s)TM左乘方程(5.3-26)的兩端，得n(

s

)T(

s

)T

(r

)rC

uMuu Mw

=(5.3-27)rr1

u(

r

)T

MwMC

=(r

=1,

2,,

n)r

=1只有當r=s時，內(nèi)才有值，其余情況均為零，得若u(r)為正則振型向量，則式(5.3-27)中的Mr=1，即C

=

u(r

)T

Mw

(r

=1,

2,,

n)r(5.3-28)n(r

)rC

uw

=系數(shù)Cr表示第r階固有振型u(r)對w所起作用的一種度量。方程(5.3-26)和方程(5.3-27)與方程(5.3-28)在振動分析中稱為展開定理?！镎归_定理：rr1

u(r

)T

MwMC

=rr

=1或

C

=

u(r

)T

Mw考察一個保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的動能和勢能為1

2

nT[q

,q

,…,q

]

為廣義坐標向量，為廣義速度向量，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K為系統(tǒng)的剛度矩陣。T1

2

nq

=[q

,

q

,,

q

]2rs

r

sm q

qr

=1

s

=1T

=2=

q

Mqn

n

1

1

T

(5.4-1)T212rs

r

sq

Kqr

=1

s=1n

nU

=

1

k q

q

=(5.4-2)5.4

半正定系統(tǒng)動能和勢能分別是廣義速度和廣義坐標的二次型。質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是實對稱矩陣。按定義動能永遠是正的，且只有當速度全為零時才為零，所以質(zhì)量矩陣M是正定的。勢能如取最小值為零，則它是非負的，它可以在坐標不全為零時等于零，可見剛度矩陣K既可能是正定的，也可能是半正定的，K為負定的情況這里不加以討論。如果振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是正定的，就稱為正定系統(tǒng)。如果質(zhì)量矩陣M是正定的，而剛度矩陣K是半正定的，就稱為半正定系統(tǒng)。由于產(chǎn)生半正定系統(tǒng)的物理條件是系統(tǒng)具有不完全的約束，所以整個系統(tǒng)可能象剛體一樣運動?？梢姲胝ㄏ到y(tǒng)一定會出現(xiàn)零值的固有頻率，相應的固有振型稱為剛體振型或零振型。在一般情況下，對于一個半正定系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動是剛體運動和彈性運動的復合。例5.4-1

如圖5.4-1所示系統(tǒng)，兩質(zhì)量m1=2m，m2=m，兩質(zhì)量之間的彈簧剛度為2k，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：系統(tǒng)的運動微分方程為m1x1

=

-2k(x1

-

x2

)m2

x2

=

2k(x1

-

x2

)寫成矩陣形式2m

2k

-2k

x1

0

02k

x

=

0

2

0

x1

m

x

+

-2k

2

圖5.4-10

X1

-2k

X1

=

w

2

2m2k

X

0

m

X

-2k

2

2

det-

2k-

2k

=

mw

2

(2mw

2

-

6k

)

=

02k

-w

2m特征方程為2k

-

2w

2m假定運動是同步的，有xi

(t)

=

Xi

f

(t)式中Xi(i=1，2)為常數(shù)，f(t)是簡諧函數(shù)，于是有特征值問題

2k求得特征值為w

2

=

0,

w

2

=

3k

m1

2代入特征值問題方程，求出特征向量為X

(1)

=

1

,

X

(2)

=

1

1

-2

此例題中的兩個質(zhì)量組成的系統(tǒng)是不完全約束系統(tǒng)，存在著剛體運動(w1=0，X(1)=[11]T)，作為整體的x方向移動。因為由零固有頻率和剛體振型做所定義的剛體運動是特征值問題的一個解，可見任何其他的特征向量必定與之正交，即應滿足條件TX

(1)m10

X

=

0

0

m

2

由于X(1)是一個元素為同一常數(shù)的向量，上式的結(jié)果為1

1

2

2TX

(1)m10

X

=

m

X

+

m

X

=

0

0

m

2

根據(jù)同步運動解上式也可以寫成m1x1

+

m2

x2

=

0這一式子的物理意義是：半正定系統(tǒng)在這樣的自由振動時，其總動量守恒且恒為零值。所以剛體振型的正交性相當于動量守恒。例5.4-2

圖5.4-2所示系統(tǒng)，三圓盤的轉(zhuǎn)動慣量分別I1，I2和I3，其間兩段軸的抗扭剛度分別為k1和k2，求系統(tǒng)的第一階固有頻率及固有振型，并加以討論。解：系統(tǒng)的動能為22

21

12

23

3)12(I

qT

=+

I

q

+

I

q

=

1

qT

Iq2式中轉(zhuǎn)動慣量矩陣為20I1

0 0

0

I

=

0

I

0I3

圖5.4-222T1

2

12

32系統(tǒng)的勢能為1212q

KqU

=

[k

(q

-q

)+

k

(q

-q

) ]

=1式中剛度矩陣為

k1

-k1

0

K

=

-kk

+

k

-k

2

1

2-k2

k2

0代入拉格朗日方程可得自由振動的方程為I1q

+

k

q

-

k

q

=

01

1

1

1

2I2q2

-

k1q1

+(k1

+

k2

)q2

-

k2q3

=

0I3q3

-

k2q2

+

k2q3

=

0Iq

+

Kq

=

02421212311

2

3I

III

I

I

1

1

1

1

+ +

k

+

I

w

1 2

2 3

w

w

-

kI

+

I

+

I+

k

k=

02

寫成矩陣形式為設同步運動解為q

=Q

f

(t)式中f(t)為簡諧函數(shù)，將此式代入運動微分方程得特征值問題為w

2

IQ

=

KQ系統(tǒng)的特征方程為固有振型的相對幅值為1

1

2

2

3kkQQ

Qk

-w

2

I

3

=

2

Q

k

-w

2

I

2

=

1 1

,顯然可見，系統(tǒng)的第一階固有頻率和相應的固有振型由上面兩式可得可見系統(tǒng)按此振型振動時，各圓盤的扭角都相同，各圓盤之間不產(chǎn)生相對扭角，整個系統(tǒng)以相同的角位移轉(zhuǎn)動，也就是剛體運動。一個不完全約束系統(tǒng)的一般運動是在剛體運動上疊加彈性振型的組合運動。TQ

(1)w1

=

0,=

1

1

1需要再次指出的是，對于一個半正定系統(tǒng)，至少有一個零特征值，相應的固有振型為剛體振型。不能依據(jù)固有振型各元素相等來定義零固有頻率，實際上，有些正定系統(tǒng)的固有振型的各元素同樣相等，但并不存在零固有頻率。因為零固有頻率和相應的剛體振型是特征值問題的一個解，可見任何其他的特征向量必與其正交，即應滿足條件Q

(1)T

IQ

=

0所以上式的結(jié)果為I1Q

1

+

I2Q

2

+

I3Q

3

=

0根據(jù)同步運動的解，并求導可得I1q

+

I

q

+

I

q

=

01

2

2

3

3上式的物理意義是：與彈性運動相關的系統(tǒng)的動量矩等于零。于是得出，剛體振型的正交性相當于動量矩守恒。另一方面的問題是半正定系統(tǒng)的剛度矩陣是奇異矩陣，也就是說其不存在逆矩陣，這一點由剛度矩陣的系數(shù)行列式detK等于零顯然可見。為了克服系統(tǒng)剛度矩陣的奇異性，必須限制剛體運動，消除剛體振型。希望能夠?qū)⒁粋€不完全約束系統(tǒng)的特征值問題變換成為一個僅僅尋求彈性振型的問題。利用剛體振型與其他階固有振型(彈性振型)的正交性條件所建立起來的守恒方程(動量或動量矩守恒)加以約束處理。如以三圓盤系統(tǒng)為例，有I1q1

+

I2q2

+

I3q3

=

021

23

313III

Iq

-

qq

=

-得這樣，受約束向量qr與響應向量q之間的關系表示如下式1

11II

1

0

q

q

q

q

=

q

=

01

2

2

q

2

q

q

3

r

3

-

1-

2

I3I3

i對于角速度q

(i

=1,2,3)也存在類似的結(jié)果，所以r(5.4-3)Iqr

=

rq,

q

=

rq

1

0

r

=

01

I

-

1

-

2

這里

I3

I3

起一個約束矩陣的作用。注意到，雖然受約束向量qr和但方程(5.4-3)中的響應向量只有兩個元素q1和q2

。rq有

三個元素，線性變換(5.4-3)可以用來簡化動能和勢能，使其只含有q1和q2，依據(jù)動能和勢能的公式，有TT

TT1212r

rq

I

'qIq

=

q

r

Irq

=

(5.4-4)TT1212r

rq

K

'qT

=

q

12U

=

q

Kq

=qT

rT

Krq

=(5.4-5)式中21

311

21

22

31I

III

I12I

I

+

II

'

=

rT

Ir

=I

I

+

I

23

2

3I

2K

'

=

rT

Kr1

k

I

2

+

k I

21

3

2

1-k

I

2

+

k I

(I

+

I

)1

3

2

1

2

3=(k

+

k

)I

2

+

k

I

(I

+

2I

)-k

I

2

+

k I

(I

+