拋物線的簡單幾何性質(zhì)

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)y﹒xo復習結(jié)合拋物線y2=2px(p>0)的標準方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì):(1)范圍(2)對稱性(3)頂點類比探索x≥0,y∈R關于x軸對稱,對稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點.XY(4)離心率(5)焦半徑(6)通徑始終為常數(shù)1通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2P思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。特點1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;5.拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1變式:頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸,并且過點M(2,)的拋物線有幾條,求它的標準方程.典型例題：例1.已知拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點,并且過點M(2,),求它的標準方程.當焦點在x(y)軸上,開口方向不定時,設為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.y2=4x解法二:由題意可知,分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．

變式：過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．設AB的中點為E，過A、E、B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜練習:1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是______________.2.過拋物線的焦點,作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為_________3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直線AB的方程.

y2=8xX=3例3.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線DB平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD例3過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。xyOFABD小結(jié):1.掌握拋物線的幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點、離心率、通徑;2.會利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標準方程、焦點坐標及解決其它問題;圖形標準方程范圍對稱性頂點離心率關于x

軸對稱，無對稱中心關于x

軸對稱，無對稱中心關于y

軸對稱，無對稱中心關于y

軸對稱，無對稱中心e=1e=1e=1e=1分析:直線與拋物線有一個公共點的情況有兩種情形：一種是直線平行于拋物線的對稱軸；另一種是直線與拋物線相切．判斷直線與拋物線位置關系的操作程序把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行相交（一個交點）

計算判別式>0=0<0相交相切相離分析:直線與拋物線有兩個公共點時△>0分析:直線與拋物線沒有公共點時△<0注:在方程中,二次項系數(shù)含有k,所以要對k進行討論作圖要點:畫出直線與拋物線只有一個公共點時的情形,觀察直線繞點P轉(zhuǎn)動的情形變式一:已知拋物線方程y2=4x,當b為何值時,直線l:y=x+b與拋物線(1)只有一個公共點(2)兩個公共點(3)沒有公共點.當直線與拋物線有公共點時,b的最大值是多少?分析:本題與例1類型相似,方法一樣,通過聯(lián)立方程組求得.(1)b=1(2)b<1(3)b>1,當直線與拋物線有公共點時,b的最大值當直線與拋物線相切時取得.其值為1變式二:已知實數(shù)x、y滿足方程y2=4x,求函數(shù)的最值變式三:點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數(shù)z=x-y的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點