高中數(shù)學(xué)北師大版必修預(yù)備知識2常用邏輯用語全稱量詞與存在量詞 省賽獲獎(jiǎng)

2.2全稱量詞與存在量詞第1課時(shí)全稱量詞命題與存在量詞命題在我們的生活和學(xué)習(xí)中，常遇到這樣的命題：（1）所有中國公民的合法權(quán)利都受到中華人民共和國憲法的保護(hù)；（2）對任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；（3）存在有理數(shù)x，使x2

－2＝0;（4）有些人沒有環(huán)境保護(hù)意識.

對于這類命題，我們將從理論上進(jìn)行深層次的認(rèn)識.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.會用全稱量詞、存在量詞梳理、表達(dá)學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容（數(shù)學(xué)抽象）掌握判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的方法（邏輯推理）觀察下列命題(1)所有正方形都是矩形.(2)對任意一個(gè)x∈Z，2x+1是整數(shù).(3)空集是任何集合的子集.探究點(diǎn)1全稱量詞短語“所有”“任意”“任何”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等【提升總結(jié)】全稱量詞命題舉例：全稱量詞命題符號記法：命題：對任意的n∈Z，2n+1是奇數(shù)；每一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式。全稱量詞命題“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號簡記為：讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”。要判定全稱量詞命題“x∈M,p(x)”是真命題，需要對集合M中每個(gè)元素x,證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0,使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題.判斷全稱量詞命題真假下列全稱量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)為(

)①末位是0的整數(shù)，可以被2整除．②角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．③正四面體中兩側(cè)面的夾角相等．A．1

B．2

C．3

D．0C【即時(shí)訓(xùn)練】【解析】（1）2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，所以為假命題.（2）真命題.

例1判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）（3）對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)。（3）是無理數(shù)，但=2是有理數(shù).所以為假命題.判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）每個(gè)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；（3）【解析】（1）真命題；（2）-4沒有算術(shù)平方根，所以為假命題；（3）真命題?！咀兪骄毩?xí)】命題：有的平行四邊形是菱形；有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)。這是全稱量詞命題嗎?提示：不是。思考：下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)2x+1=3.(2)x能被2和3整除.(3)存在一個(gè)x0∈R，使2x0+1=3.(4)至少有一個(gè)x0∈Z，x0能被2和3整除.提示：語句(1)(2)不能判斷真假，不是命題；語句(3)(4)可以判斷真假，是命題.探究點(diǎn)2存在量詞（1）與(3)區(qū)別是存在一個(gè)x0∈R，使2x0+1=3；（2）與(4)區(qū)別是至少有一個(gè)x0∈Z，x0能被2和3整除.短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對某個(gè)”“有的”等存在量詞命題舉例：存在量詞命題符號記法：命題：有的平行四邊形是菱形；有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)。存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為：讀作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”。判斷存在量詞命題真假要判定存在量詞命題“x0∈M,p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，則存在量詞命題是假命題.在下列存在量詞命題中假命題的個(gè)數(shù)是(

)①有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0

B．1

C．2

D．3A【即時(shí)訓(xùn)練】【解析】（1）對于x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2＞0恒成立，所以x2+2x+3=0無解，所以為假命題.（2）由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線，所以為假命題.（3）真命題.例2判斷下列存在量詞命題的真假：（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使x02+2x0+3=0；（2）存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線；（3）有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)?！咀兪骄毩?xí)】判斷下列存在量詞命題的真假：（1）()（2）()√√1.下列命題中是存在量詞命題的是(

)A、?x∈R，x2≥0B、?x∈R，x2<0C、平行四邊形的對邊不平行D、矩形的任一組對邊都不相等BB【解析】②③是全稱量詞命題，①④是存在量詞命題.3．下列命題中是真命題的是(

)A.?x0∈R，x02＋1<0B.?x0∈Z,3x0＋1是整數(shù)C.?x∈R，|x|>3D.?x∈Q，x2∈ZB【解析】選B.A中?x0∈R，x02＋1>0;C中x=1時(shí)|x|<3;D中x=0.5時(shí)不成立.4．用符號“?”與“?”表示下列命題，并判斷真假．(1)不論m取什么實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)根；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋4≤0.【解析】(1)?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)根．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程無實(shí)根，是假命題．(2)?x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x+4=+＞0恒成立，所以為假命題.全稱量詞與存在量詞核心知識方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)全稱量詞命題存在量詞命題邏輯推理：通過具體命題真假的判斷，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)（1）注意全稱量詞命題和存在量詞命題的自然語言與符號語言的轉(zhuǎn)化（2）注意省略量詞的命題的真假判斷（3）對于“至多”“至少”型的命題，多采用逆向思維的方法處理判斷全稱、存在量詞命題真假的方法:（1）若全稱量詞命題為真，則給定集合中每一個(gè)元素x使p(x)為真，若為