05至06間-附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)N

附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.1

形心和靜矩§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑§A.3

平行軸定理§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩材料力學(xué)平面圖形的幾何性質(zhì)

——反映平面圖形的形狀與尺寸的幾何量附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)如：本章介紹：

平面圖形幾何性質(zhì)的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)1.在軸向拉〔壓〕中：2.在扭轉(zhuǎn)中：3.在彎曲中：§A.1

形心和靜矩一、靜矩二、形心三、組合圖形的靜矩和形心四、靜矩的性質(zhì)附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)一、靜矩§A.1形心和靜矩整個(gè)圖形A對(duì)x軸的靜矩：整個(gè)圖形A對(duì)y軸的靜矩：ydA——微面積dA

對(duì)

x

軸的靜矩xdA——微面積dA

對(duì)y軸的靜矩定義：〔面積矩〕其值：+、-、0

單位：m3二、形心§A.1形心和靜矩討論：水平面的一塊等厚薄板，在重力場(chǎng)均勻、薄板材質(zhì)均勻連續(xù)的條件下，重心與形心重合，通過(guò)求重心的方法來(lái)求形心，設(shè)厚度為t，單位體積重為g，O-xy平面為水平面?！哺鞣至?duì)任一軸的矩等于其合力對(duì)同一軸的矩〕有它對(duì)

y軸的力矩為：由合力矩定理

微面積dA所受到的重力為：§A.1形心和靜矩

gtdA

gtxdA三、組合圖形的靜矩和形心組合圖形——由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形〔如矩形、圓形等〕組成的平面圖形如：§A.1形心和靜矩1.靜矩2.形心§A.1形心和靜矩四、靜矩的性質(zhì)形心軸

圖形對(duì)形心軸的靜矩為零

——通過(guò)圖形形心的坐標(biāo)軸反之，圖形對(duì)某軸的靜矩為零，那么該軸必為形心軸

性質(zhì)1：§A.1形心和靜矩例1

確定形心坐標(biāo)解：

取參考坐標(biāo)系xy§A.1形心和靜矩舉例求半徑為

r

的半圓形對(duì)其直徑軸

y

的靜矩及其形心坐標(biāo)。解:z軸是對(duì)稱(chēng)軸，

通過(guò)形心。zdzdAyzro§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性積的性質(zhì)四、慣性半徑一、慣性矩與慣性積§A.2慣性矩慣性積慣性半徑整個(gè)圖形A對(duì)x軸的慣性矩整個(gè)圖形A對(duì)y軸的慣性矩y2dA——微面積dA

對(duì)

x

軸的慣性矩x2dA——微面積dA

對(duì)y

軸的慣性矩定義：其值：+

單位：m41.慣性矩整個(gè)圖形A對(duì)x軸和y軸的慣性積定義：xydA——微面積dA

對(duì)x

軸和y

軸的慣性積

的坐標(biāo)軸其值：+、-、0

單位：m4假設(shè)：

x軸和y軸為一對(duì)相互垂直一、慣性矩與慣性積2.慣性積§A.2慣性矩慣性積慣性半徑二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系即：

平面圖形對(duì)任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和

性質(zhì)2：假設(shè)x、y軸為一對(duì)正交坐標(biāo)軸§A.2慣性矩慣性積慣性半徑1.矩形截面常用圖形的慣性矩：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑2.圓形截面由對(duì)稱(chēng)性3.環(huán)形截面§A.2慣性矩慣性積慣性半徑三、慣性積的性質(zhì)當(dāng)x、y軸中有一軸為對(duì)稱(chēng)軸在一對(duì)正交軸中，只要有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，那么該圖形對(duì)這對(duì)軸的慣性積為零。

性質(zhì)3：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑

慣性矩——對(duì)某一軸而言

極慣性矩——對(duì)某一點(diǎn)而言特別指出：

慣性積——對(duì)某一對(duì)正交軸而言§A.2慣性矩慣性積慣性半徑——圖形對(duì)x軸的慣性半徑

單位：m四、慣性半徑

在力學(xué)計(jì)算中，有時(shí)把慣性矩寫(xiě)成即：——圖形對(duì)

y

軸的慣性半徑§A.2慣性矩慣性積慣性半徑注意：試問(wèn)：即：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑§A.2慣性矩慣性積慣性半徑組合截面的慣性矩和慣性積即，各個(gè)分面積對(duì)某軸的慣性矩之和等于它們的組合截面對(duì)同一軸的慣性矩。同理：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑xy例求圖示圓環(huán)截面對(duì)x、y軸的慣性矩Ix、Iy。內(nèi)徑為d，外徑為D。求解中，不僅可以加，還可以減?！霢.3

平行軸定理一、定理推導(dǎo)二、應(yīng)用附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.3平行軸公式一、定理推導(dǎo)即：xc、yc為一對(duì)正交的形心軸，x、y分別平行于xc、yC軸。顯然：性質(zhì)4：在平面圖形對(duì)所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩

中，以對(duì)形心軸的慣性矩為最小。同理慣性矩和慣性積的平行軸定理§A.3平行軸公式§A.3平行軸公式a、b為形心C在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，因而有正負(fù)號(hào)之分。雖然在計(jì)算Ix、Iy時(shí)對(duì)計(jì)算結(jié)果沒(méi)有影響，但是在計(jì)算Ixy時(shí)就不同了。注意：例求圖示工字形截面對(duì)x、y軸的慣性矩Ix、Iyyx解：將截面分成上翼緣、下翼緣和腹板三局部。xyIIIIII三局部均為矩形截面，其對(duì)自身形心主慣性軸的慣性矩為，上、下翼緣自身的形心主慣性軸與x平行、腹板的形心主慣性軸即為x軸。xyIIIIIIxyIIIIIIxyIIIIII將截面看成寬為B，高為H的矩形截面，減去陰影局部面積。方法2：xyIIIIIIxyIIIIII解：例1求和§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)二、主慣性矩附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)規(guī)定：角逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：代入一、公式推導(dǎo)規(guī)定：角逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?結(jié)果：§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩顯然§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩顯然性質(zhì)5：平面圖形對(duì)通過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的兩個(gè)

慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對(duì)該點(diǎn)的極慣

性矩?！霢.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩

1.定義主慣性軸——慣性積為零的一對(duì)坐標(biāo)軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸主慣性矩——圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸——通過(guò)圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩——圖形對(duì)形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)6：圖形的對(duì)稱(chēng)軸是形心主慣性軸§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩2.主慣性軸的方位

設(shè)主慣性軸的方位為0，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸為x0、y0令得到§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩3.主慣性矩因故有§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩4.主慣性矩的性質(zhì)

當(dāng)Ix1取極值時(shí)，對(duì)應(yīng)的方位為1

得到即：性質(zhì)7：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個(gè)為極大慣性

矩Imax，另一個(gè)為極小慣性矩Imin。令

§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

1.確定形心位置解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形