2023屆二輪復(fù)習(xí)學(xué)科思想-對稱思想學(xué)案

對稱思想

方法探究

〃探究點(diǎn)1結(jié)構(gòu)對稱

|典例I）（2022?湖南月考）ab是長為L的均勻帶電細(xì)桿，尸卜尸2是位于ab所在直線上

的兩點(diǎn)，位置如圖所示。用上電荷產(chǎn)生的靜電場在P處的場強(qiáng)大小為田，在P2處的場強(qiáng)

大小為E2。則以下說法正確的是（）

A.兩處的電場方向相同，E\<E2B.兩處的電場方向相反，E\<E2

兩處的電場方向相同，E\>Ez

C.D.兩處的電場方向相反，￡I>￡2

審劇破題

關(guān)鍵信息：均勻帶電細(xì)桿電性未知，則可能帶正電也可能帶負(fù)電

"上電荷在外、P2處的場強(qiáng)大小、方向的判斷微元法結(jié)合對稱性=>根據(jù)電

場疊加原理分析場強(qiáng)的大小以及方向特點(diǎn)

解題思路：由于細(xì)桿均勻帶電，我們?nèi)?點(diǎn)關(guān)于Py的對稱點(diǎn)c,根據(jù)微元法結(jié)合對稱性以

及電場疊加原理，則aPi段與cPi段關(guān)于P點(diǎn)的電場互相抵消，整個(gè)桿在P點(diǎn)的電場，僅

僅相當(dāng)于他部分在尸?所產(chǎn)生的電場。而對于P2點(diǎn)卻是整個(gè)桿所產(chǎn)生的電場，相當(dāng)于他部

分和訛部分所產(chǎn)生電場的疊加，進(jìn)而比較尸卜P2的場強(qiáng)大小以及方向。

鮮答過程

如圖，取a點(diǎn)關(guān)于B的對稱點(diǎn)為c,如圖所示

44

假設(shè)均勻細(xì)桿帶正電，根據(jù)微元法結(jié)合對稱性以及電場疊加原理可知：

在Pi點(diǎn)，aPx與PlC產(chǎn)生的合場強(qiáng)為0,故Pi點(diǎn)場強(qiáng)為ch桿產(chǎn)生的場強(qiáng)E"方向向左。

在P2點(diǎn)，因P、尸2到cb桿距離均為即Pi、P2處于cb桿的對稱位置。故cb桿在

4

尸2處產(chǎn)生的場強(qiáng)與在P處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小相等，為Ei，方向向右。同時(shí)，ac桿還在P2處

產(chǎn)生場強(qiáng)。P2點(diǎn)場強(qiáng)為M桿與ac桿場強(qiáng)的疊加，大小為田=昂+瓦°方向向右。

故兩點(diǎn)場強(qiáng)方向相反，大小滿足：EI<E2。

故選：B

[調(diào)練1]（2022?遼寧月考）如圖所示，一條長為L的細(xì)線，上端固定，下端拴一質(zhì)量為〃？

的帶電小球。將它置于一勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度大小為E,方向是水平的。已知當(dāng)細(xì)線離開

豎直位置的偏角為a時(shí)，小球處于平衡。如果使細(xì)線的偏角由。增大到心然后將小球由靜

止開始釋放，則夕應(yīng)為多大，才能使在細(xì)線到達(dá)豎直位置時(shí)小球的速度剛好為零？

解答過界

解法1

根據(jù)受力分析可以判斷小球帶正電，由小球處于受力平衡狀態(tài)可知，F(xiàn)=m^wa=qE

解得：tana=g￡①

mg

由題意可知小球由靜止釋放過程中，重力做正功，電場力做負(fù)功，動(dòng)能的變化量為零,

根據(jù)動(dòng)能定理有：mgL（l-cosg）-EqLsin（p=0

解得：tan?=底②

2mg

聯(lián)立①②式可得，9=2。。

解法2

由于重力和電場力均為恒力,這兩個(gè)力的合力也是一個(gè)恒力，故可以認(rèn)為這個(gè)合力為'等

效重力”，當(dāng)細(xì)線與豎直方向夾角為a時(shí)小球的位置為平衡位置，那么小球偏離平衡位置后

的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于在“等效重力”作用下的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對稱性（相當(dāng)于單擺在平衡位置兩

側(cè)的擺動(dòng)具有對稱性），細(xì)線偏離平衡位置兩側(cè)的角度都是a,所以小球靜止釋放的位置,

細(xì)線應(yīng)偏離豎直位置的角度為2a,即3=2呢

總結(jié)升華

結(jié)構(gòu)對稱主要指某種幾何形態(tài)的對稱，往往出現(xiàn)在距離相等的靜電場中或位移相等的運(yùn)

動(dòng)過程中。例如，在靜電場中點(diǎn)電荷、等量異號（或同號電荷）電場的對稱，部分均勻帶電

體電場的對稱。在靜電場中找出其對稱性，往往會出現(xiàn)電場強(qiáng)度的大小相等，方向相同（或

相反）的情況，使得問題的求解變得簡單。

電場中也經(jīng)常存在運(yùn)動(dòng)的對稱性。例如，電場中的類豎直上拋運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)、類單擺

以及周期性交變電場導(dǎo)致的往復(fù)運(yùn)動(dòng)等。

〃探究點(diǎn)2中心對稱

［鞏例I）（智學(xué)精選）如圖所示,質(zhì)量為膽的物體放在彈簧上，在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng),

當(dāng)振幅為A時(shí)，物體對彈簧的最大壓力是物重的1.9倍，則下列說法正確的是（）

A.物體對彈簧的最小壓力為02咫

B.若在物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)加上一質(zhì)量為0.1機(jī)的物體，隨彈簧一起振動(dòng)（不分離），

則振動(dòng)的振幅將增大

C.物體在振動(dòng)過程中機(jī)械能守恒

D.要使物體在振動(dòng)過程中不離開彈簧，則振幅不能超過

9

審題破題

關(guān)鍵信息：簡諧運(yùn)動(dòng)=＞具有對稱性，即最高點(diǎn)和最低點(diǎn)加速度大小相等，方向相反

物體對彈簧的最大壓力"＞出現(xiàn)在簡諧運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)

物體對彈簧的最小壓力U＞出現(xiàn)在簡諧運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)

物體在振動(dòng)過程中不離開彈簧=＞物體在最高點(diǎn)時(shí)，彈簧只能處于原長或壓縮狀

態(tài)（重點(diǎn)）

解題思路：由簡諧運(yùn)動(dòng)的對稱性可知物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度大小相等，方向相反,

故求出物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度，進(jìn)而根據(jù)加速度大小相等進(jìn)一步求出物體在最高點(diǎn)對彈簧

的最小壓力；欲使物體不脫離彈簧的臨界是物體振到最高點(diǎn)時(shí)，物塊與彈簧之間的壓力恰好

為零。

簡

諧

運(yùn)振幅

動(dòng)

最高點(diǎn)時(shí)：物塊與彈蓄之間的壓力恰好為零

A、因?yàn)槲矬w在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，物體在最低點(diǎn)時(shí)對彈簧的壓力最大，在最高點(diǎn)

對彈簧的壓力最小，在最低點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有FN-〃琢=，皿，解得a=0.9g,由最高點(diǎn)

和最低點(diǎn)相對平衡位置對稱，加速度大小等值反向，所以最高點(diǎn)的加速度大小也為d=0.9g,

則在最高點(diǎn)時(shí)彈簧依舊處于壓縮狀態(tài)，由牛頓第二定律有mg-入'=機(jī)"，故尸N'=mg-機(jī)

=0.1,“g,根據(jù)牛頓第三定律，物體對彈簧壓力的最小值為0.1〃的故A錯(cuò)誤；

B、若在物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)加上一質(zhì)量為0.1%的物體，隨彈簧一起振動(dòng)（不分離），

根據(jù)牛頓第二定律有尸N-(m+O.lm)g=(s+O/，”)a',加速度將減小，由。=-竺知，振動(dòng)

m

的振幅將減小，故B錯(cuò)誤；

C、物體在振動(dòng)過程中機(jī)械能不守恒，它與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故C錯(cuò)誤；

D、要使物體不脫離彈簧的臨界是物體振到最高點(diǎn)時(shí)，物體與彈簧之間的壓力恰好為零。

根據(jù)牛頓第二定律可知，此時(shí)的最大加速度為g,此時(shí)最高點(diǎn)恰在彈簧原長處。由。=-如

m

知，當(dāng)振幅為A時(shí)，在最低點(diǎn)有0.9g=-&A。設(shè)振動(dòng)過程中不離開彈簧時(shí)其最大振幅不能

m

超過4,在最高點(diǎn)有g(shù)=-&A,由此可得故D正確；

m9

故選：D。

「訓(xùn)練2|(2022?山西月考)如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O點(diǎn)附近做簡諧運(yùn)動(dòng)。若從。

點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過5s質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過w點(diǎn)；再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過2s它第二次經(jīng)過M點(diǎn)；

則該質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過“點(diǎn)還需要的時(shí)間是()

~~aO_Mb

A.6sB.8sC.20sD.24s

斛答過理

設(shè)題圖中〃、方兩點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)過程的最大位移處，從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)從。點(diǎn)

向右運(yùn)動(dòng)，從O到M過程歷時(shí)5s,MjfM運(yùn)動(dòng)過程歷時(shí)2s,根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：

工=6s,所以簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為：T=24s。則質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過M點(diǎn)還需要的時(shí)間為：

4

Ar=T-2s=(24-2)s=22s

從。點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)從。點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，O-*4fofM運(yùn)動(dòng)過程歷時(shí)5s,Mi

一M運(yùn)動(dòng)過程歷時(shí)2s,貝IJ：-+-=(5+l)s=6s,所以簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為：T=8s

24

則質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過M點(diǎn)還需要的時(shí)間：

△t'=T-2s=(8-2)s=6s

故A正確，BCD錯(cuò)誤。

故選：A

總結(jié)升華

相對于某一位置的對稱性稱之為中心對稱。最常見的是簡諧運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)沿某一直線或弧

線，以某一中心位置做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。簡諧運(yùn)動(dòng)相對于特定平衡位置的位移、速度、加速度具有

空間的軸對稱性。對于時(shí)間間隔At=nT(〃=1,2,???),簡諧運(yùn)動(dòng)具有時(shí)間平移對稱性。

解題過程中，往往可以結(jié)合X、V、。與f的對稱性來進(jìn)行求解。

//探究點(diǎn)3時(shí)間反演

|片例」(2022?遼寧皇姑區(qū)模擬)高鐵站臺上，5位旅客在各自車廂候車線處候車，若動(dòng)

車每節(jié)車廂長為/,動(dòng)車進(jìn)站時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。站在2號候車線處的旅客發(fā)現(xiàn)1號車廂

經(jīng)過他所用的時(shí)間為3動(dòng)車停下時(shí)該旅客剛好在2號車廂門口(2號車廂最前端)，如圖

所示，貝I()

imnEiTiii

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

A.動(dòng)車從經(jīng)過5號候車線處的旅客開始到停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷的時(shí)間為/

B.動(dòng)車從經(jīng)過5號候車線處的旅客開始到停止運(yùn)動(dòng)，平均速度為‘

t

C.1號車廂頭部經(jīng)過5號候車線處的旅客時(shí)的速度為史

t

D.動(dòng)車的加速度大小為《

審題破題

關(guān)鍵信息：每節(jié)車廂長為1=＞位移等分

進(jìn)站時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到停下U＞逆過程為初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

解題思路：采用逆向思維，認(rèn)為動(dòng)車是從1號候車處開始做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),

且運(yùn)動(dòng)過程中位移等分，可利用位移關(guān)系、速度關(guān)系以及平均速度關(guān)系進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

解答過理

A.采用逆向思維，動(dòng)車反向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由題意可知?jiǎng)榆嚨?節(jié)

車廂最前端經(jīng)過2號旅客的位移為/,時(shí)間為r,有

2

動(dòng)車第1節(jié)車廂最前端經(jīng)過5號旅客的位移為4/,時(shí)間為右，有

4/="

解得：ts=2t,故A錯(cuò)誤；

B.動(dòng)車第1節(jié)車廂最前端從經(jīng)過5號旅客到停下總位移為4/,用時(shí)2f,則平均速度為

v=—=—,故B錯(cuò)誤；

2tt

C.設(shè)1號車廂頭部經(jīng)過5號候車線處的旅客時(shí)的速度為w，則有

4/=匕刊X2f

2

解得：吻=生，故C正確；

t

D.動(dòng)車從經(jīng)過5號候車線處的旅客開始到停止運(yùn)動(dòng)過程，有：

解得：”=殳=三,故D錯(cuò)誤；

2tV

故選：C

|訓(xùn)練3|（2022?廣西江南區(qū)月考）如圖甲所示，兩消防員在水平地面A、B兩處使用相同口

徑的噴水槍對高樓著火點(diǎn)進(jìn)行滅火。出水軌跡簡化為如圖乙所示，假設(shè)均能垂直擊中豎直樓

面上的同一位置點(diǎn)P。不計(jì)空氣阻力，則（）

A.A處水槍噴出的水在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長

B.8處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大

C.A處水槍噴口噴出水的初速度較大

D.B處水槍噴口每秒噴出水的體積較大

解答過程

A、兩噴水槍噴出的水從A到P、B到P的運(yùn)動(dòng)可分別看成從P到A、P到B的平拋運(yùn)

動(dòng)，因二者高度相同，故水槍噴出的水在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故A錯(cuò)誤;

B、因兩噴水槍噴出的水運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，根據(jù)x=vf可知，A處噴水槍噴出水的水平速

度大，所以A處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大，故B錯(cuò)誤：

C、逆過程為平拋運(yùn)動(dòng)，因水槍噴出的水在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故在4、8兩點(diǎn)處的豎

直分運(yùn)動(dòng)好=/相同，又因A處噴水槍的水平速度大，將速度進(jìn)行合成可得A處水槍噴口

噴出水的初速度較大，C正確；

D、由于A處水槍噴口噴出水的初速度較大，所以A處水槍噴口每秒噴出的水多，體積

較大，故D錯(cuò)誤；

故選：C

總結(jié)升華

時(shí)間反演對稱是指運(yùn)動(dòng)的可逆性，即把一個(gè)過程用攝像機(jī)拍下來，然后把膠卷倒過來放

映，假如看上去運(yùn)動(dòng)規(guī)律（當(dāng)然不是指“現(xiàn)象”）與順放時(shí)一樣，就叫做“時(shí)間反演對稱”。

體現(xiàn)的是一種逆向思維，例如，末速度是0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)利用時(shí)間反演可以看成是初速

度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；斜拋運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程利用時(shí)間反演可以看成平拋運(yùn)動(dòng)。

//探究點(diǎn)鏡像對稱（空間反演）

&例心＞（2022?河南月考）如圖,空間中有兩個(gè)豎直墻壁例N和PQ,豎直虛線OA為兩

墻壁連線的中垂線，M、。、P三點(diǎn)等高，將一小球從。點(diǎn)水平向左拋出，小球與墻壁發(fā)生

兩次彈性碰撞之后恰好落在地面上的A點(diǎn)，每次碰撞時(shí)間極短，碰撞前后，水平方向速度

大小不變，豎直方向速度不變，小球從。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到8的時(shí)間為（從8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)

間為f2,從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為0、8之間的高度差為小，B、C之間的高度

差為"，C、A之間的高度差為加，不計(jì)空氣阻力和摩擦阻力，則（）

vMOP

o<-

B

C

Q

NA

A.A：及：“=1：2：1,h｝：h2：加=1：7：8

B.t\t2:t3=\：2：1,h\：hi〃3=18：7

C.八：上：辦=1：2：3,h\*/i2為3=18：7

/Z3=l：

D.力：亥：￡3=1：2：3,hi：h278

審蜜破題

關(guān)鍵信息：彈性碰撞"＞小球碰撞前后速度大小不變，方向存在對稱性，導(dǎo)致軌跡存在鏡像

對稱

虛線為兩墻壁連線的中垂線=＞水平位移無。8=g4c=XCA

水平拋出、不計(jì)空氣阻力和摩擦阻力=＞平拋運(yùn)動(dòng)

解題思路：根據(jù)鏡像對稱，做出小球平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)三點(diǎn)間的水平距離求出時(shí)間

之比。再根據(jù)豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求三點(diǎn)的高度之比。

解答過理

I21

設(shè)兩墻壁之間的距離為2L小球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有力=2，及=二，"

%%

-..，所以九：/2：：3=1：2：1

%

小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，有hl=^gtf,/n+/?2=；g(h+f2)2,/Zl+/22+/2