第二章農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

第二章農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)第一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的一般概念一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的概念及分類二、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的三個階段

第二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的概念及分類農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)是指把產(chǎn)品的產(chǎn)量隨著投入物數(shù)量的變化而變化的關(guān)系用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式表達(dá)出來，即產(chǎn)品產(chǎn)出的數(shù)量為投入物數(shù)量的函數(shù)。（一）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的基本性質(zhì)

1．客觀性2．時空性3．純質(zhì)性（二）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的表達(dá)方式

1．列表法2．圖示法第三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

圖2－1農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

第四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

3．?dāng)?shù)學(xué)式表達(dá)法它是根據(jù)投入X與產(chǎn)出Y的一一對應(yīng)關(guān)系，采用回歸方法建立起一個方程式，即類似經(jīng)驗(yàn)公式的表達(dá)方法。

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)最一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

Q=F（X1，X2，…，Xn）式中：Q代表某種農(nóng)產(chǎn)品；X1，X2，…，Xn代表n種用于生產(chǎn)產(chǎn)品Q的可變投入，它們可以是生產(chǎn)資源，可以是經(jīng)濟(jì)資源，也可以是技術(shù)；F表示資源投入與產(chǎn)品產(chǎn)出間的函數(shù)關(guān)系。

第五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四生產(chǎn)函數(shù)方程式的經(jīng)濟(jì)含義是：在既定技術(shù)水平條件下，在某一時間內(nèi)為生產(chǎn)出Q數(shù)量的產(chǎn)品，需要相應(yīng)投入的X1，X2，…，Xn等生產(chǎn)要素的數(shù)量及其組合比例。

第六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（三）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的分類

比例函數(shù)：是不改變各種生產(chǎn)要素的配合比例，使各種生產(chǎn)要素的投入量按某一比例增加，產(chǎn)量也相應(yīng)地按該比例增加。遞增函數(shù)：是各種生產(chǎn)要素的投入量都按某一比例增加，會使產(chǎn)量增加的比例大于要素投入量增加的比例，那么，收益就會隨生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大而遞增。遞減函數(shù)：是各種生產(chǎn)要素的投入量都按某一比例增加，會使產(chǎn)量增加的比例小于要素投入量增加的比例，那么，收益就會隨生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大而遞減。

第七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四二、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的三個階段（一）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)量的三種形式

1．總產(chǎn)量（TP）它是指一種可變資源的投入同其他生產(chǎn)要素投入的特定數(shù)量相結(jié)合所產(chǎn)生的產(chǎn)品數(shù)量總和。常用TP或Y表示。

2．平均產(chǎn)量（AP）它是指每一單位可變資源平均提供的產(chǎn)品量。第八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

3．邊際產(chǎn)量（MP）

它是指在其他生產(chǎn)要素的投入量既定不變的條件下，每增加1單位某種可變資源的投入量所引起的總產(chǎn)量的增加量。

第九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

圖2－2總產(chǎn)量、邊際產(chǎn)量

和平均產(chǎn)量曲線圖

第十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四三條產(chǎn)量曲線的關(guān)系（如圖2－2所示）是：當(dāng)總產(chǎn)量曲線達(dá)到最高點(diǎn)A時，邊際產(chǎn)量為0；平均產(chǎn)量達(dá)到最高點(diǎn)B時，邊際產(chǎn)量曲線與平均產(chǎn)量曲線相交；邊際產(chǎn)量曲線達(dá)到最高點(diǎn)C時，總產(chǎn)量曲線從以遞增比率轉(zhuǎn)為以遞減比率增長。

第十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（二）生產(chǎn)彈性

它是用于反映產(chǎn)量增長對于投入資源的敏感程度，即反映產(chǎn)量增加幅度與資源增加幅度的比例關(guān)系。

當(dāng)資源用量增加1％，而產(chǎn)量增加幅度大于1％時，生產(chǎn)彈性大于1。因此，當(dāng)生產(chǎn)彈性大于1時，只要資源條件允許，就應(yīng)該增加資源用量以增加收益。當(dāng)資源用量增加1％，而產(chǎn)量增加幅度小于1％時，生產(chǎn)彈性小于1，這時資源投入量就要適可而止。

第十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（三）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)三階段

從原點(diǎn)起到平均產(chǎn)量最高點(diǎn)止，即生產(chǎn)彈性等于1時為第一階段；第一階段為相對不合理階段。以平均產(chǎn)量最高點(diǎn)到總產(chǎn)量最高點(diǎn)之間，即生產(chǎn)彈性大于0小于1時為第二階段；第二階段為合理階段?？偖a(chǎn)量曲線最高點(diǎn)之后，即生產(chǎn)彈性等于0時為第三階段。第三階段為不合理階段。

第十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型的建立

一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)建模程序

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的回歸建模程序，主要分如下步驟：第一步：首先確定是否需要用生產(chǎn)函數(shù)。第二步：搜集資料。即由問題性質(zhì)的需要來選取樣本數(shù)據(jù)（實(shí)驗(yàn)資料或調(diào)查資料）。第三步：將取得的樣本數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，并觀察散點(diǎn)分布規(guī)律，初步確定回歸模型，如一元回歸模型等。

第十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第四步：建立問題的回歸經(jīng)驗(yàn)方程，確定模型中的待定系數(shù)，求解。第五步：相關(guān)分析，檢驗(yàn)回歸方程的回歸效果。第六步：判定或明確生產(chǎn)函數(shù)式。如果在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)達(dá)不到既定的要求（精度），則需檢查原因，或考察樣本，或重新判定回歸類型，直至相關(guān)性檢驗(yàn)達(dá)到顯著要求，方可完成函數(shù)形式的最后判定。第七步：應(yīng)用。第十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四二、一元線性回歸函數(shù)模型的建立（一）建立回歸方程一元線性回歸是用來將一種生產(chǎn)要素投入量與一種產(chǎn)品產(chǎn)出量的線性相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線確定型的函數(shù)模型。因?yàn)閮蓚€變量間是直線關(guān)系，故用一元一次方程表示：

Y=a＋bX

第十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

由最小二乘法原理，當(dāng)X=Xi（i=1，2，3，…，n）時，樣本離差或稱誤差Qi（即實(shí)際產(chǎn)量Yi－理論產(chǎn)量?i）的平方和最小時，則a、b所確定的直線才最接近已知的數(shù)據(jù)散點(diǎn)。第十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

再由數(shù)學(xué)分析中求極值原理可知，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0時，有極值。因此，要使誤差平方和Q極小，只有分別對a、b求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于0。把上面的分析列成方程，則有：

第十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)：

即Q達(dá)到最小。整理上式得：第十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（二）相關(guān)分析

將有關(guān)系數(shù)代入下列公式，求出r系數(shù)，判定其相關(guān)顯著程度。其公式為：

第二十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表2－1棉花施肥量與畝產(chǎn)量的產(chǎn)量資料

第二十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表2－2參數(shù)計(jì)算表

第二十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四把表2－2中的計(jì)算結(jié)果代入公式，即可求出：

a＝120．99b＝0．829因此，棉花生產(chǎn)過程中，施肥量與畝產(chǎn)量的函數(shù)式為：

Y=120．99＋0．829Xr=0．937

第二十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四三、多元線性回歸模型的建立

現(xiàn)以二元回歸分析為例，說明建立多元線性回歸方程的基本過程。設(shè)投入因素有X1和X2兩個，共有n組數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分布可擬合為一直線。即：式中：b0是常數(shù)項(xiàng)；b1、b2分別為Y對X1、X2的回歸系數(shù)。第二十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四要求確定b0、b1、b2值，使得總誤差（或誤差平方和）達(dá)到極小。即：達(dá)到極小。此時，根據(jù)最小二乘法，必須滿足：

第二十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四整理上式得；

第二十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

多元線性回歸相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

第二十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

四、非線性回歸模型的建立

（一）拋物線回歸模型的建立

根據(jù)給出的資料，作散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)分布呈拋物線，故選用拋物線回歸模型。

Y＝a＋bX＋cX2

為了計(jì)算方便，可令X／=X2，這樣拋物線回歸模型轉(zhuǎn)化為二元回歸模型，即Y=a＋bX＋CX／，其求解原理同二元回歸模型。

第二十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表2－3投入產(chǎn)出資料

第二十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第一步：畫出散點(diǎn)圖，列出回歸模型。初步判斷為拋物線，可確立拋物線的回歸模型。如：

Y＝a＋bX＋cX2第二步：列出計(jì)算表，見表2－4。

第三十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表2－4計(jì)算表

第三十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第三步：代入公式求解。

6a＋28b＋210c＝19．028a＋210b＋1756c＝111．3210a＋1756b＋15474c＝859．9通過行列式求解，得：a=1．304788，b=0．772744，c=－0．049836。

因此，得回歸方程：

?=1．304788＋0．772744X－0．049836X2

第三十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四第四步：結(jié)果分析。由曲線回歸方程計(jì)算的理論值?與實(shí)際值Y相當(dāng)接近，說明此方程符合實(shí)際。再對上述方程求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0。

X=7．75

第三十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（二）對數(shù)回歸模型的建立

對數(shù)回歸是反映產(chǎn)量Y和變量X的對數(shù)成相關(guān)關(guān)系，其一般模型為：

Y=a＋blnX式中：X代表投入量；a、b代表待定系數(shù)。為了計(jì)算方便，可令lnX=X/，這樣對數(shù)回歸模型就轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型，即Y=a＋bX/，其求解原理與一元線性回歸模型完全一樣。

第三十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四五、生產(chǎn)函數(shù)建模中應(yīng)注意的問題

建立合理的生產(chǎn)函數(shù)模型必須正確考慮四個因素，即數(shù)據(jù)的科學(xué)性、變量的選擇、模型的選擇、估計(jì)方法以及模型的檢驗(yàn)，最終可歸結(jié)為變量及模型兩類因素。

第三十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

第三節(jié)柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)一、柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型

美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家道格拉斯（P．H．Douglas）與數(shù)學(xué)家柯布（C．W．Cobb）合作，根據(jù)美國1899－1922年的歷史資料，研究了勞動投入與資本投入和產(chǎn)出之間的相關(guān)關(guān)系，得出這一方程。

Y＝KLαC(1－α)

或Y＝KLαCβ

（α+β=1）式中：Y代表產(chǎn)出量；K代表常數(shù)；L代表勞動投入量；C代表資本投入量；α、（1－α）代表效益系數(shù)。上式中，勞動投放量和資本投入量的效益系數(shù)之和為1，稱之為收益守恒。

第三十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

一般模型：(Y＝ALαKβeδt)式中：Y表示產(chǎn)出；X1表示勞動投入量；X2表示資本投入量；a、b1、b2為參數(shù)。在農(nóng)業(yè)中，主要的投入要素為土地、勞力和資金三項(xiàng)，因而農(nóng)業(yè)上的柯布—道格拉斯函數(shù)模型一般為：式中：X1、X2、X3分別為土地、勞力和資金的投入量。通式

第三十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四二、柯布—道格拉斯函數(shù)模型的經(jīng)濟(jì)意義和特點(diǎn)（一）柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義通過柯布—道格拉斯函數(shù)式，分別對X1和X2求Y的編導(dǎo)數(shù)。

則

第三十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四從公式可知，b1與b2分別表示勞動投入與資本投入的生產(chǎn)彈性。

b1是勞動投入的生產(chǎn)彈性，它表示一定比率的勞動投入所引起的一定比率的產(chǎn)出變化，即勞動投入所引起的邊際產(chǎn)出除以勞動投入的平均產(chǎn)出。

b2是資本投入的生產(chǎn)彈性，它表示一定比率的資本投入所引起的一定比率的產(chǎn)出變化，即資本投入所引起的邊際產(chǎn)出除以資本投入的平均產(chǎn)出。

a是轉(zhuǎn)換系數(shù)，它表示除生產(chǎn)要素X1，X2，X3，…，Xn以外，其他要素對產(chǎn)出量的影響。第三十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（二）柯布—道格拉斯函數(shù)模型的特點(diǎn)第一，可以線性化，建模計(jì)算比較容易。對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上的柯布—道格拉斯函數(shù)兩邊同取對數(shù)，為：

lnY=lna＋b1lnX1＋b2lnX2＋b3lnX3

令Y=lnYA=lnaX1=lnX1

X2=lnX2X3=lnX3

則上式就成了

Y＝a＋b1X1＋b2X2＋b3X3

第四十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

第二，與變量的量綱無關(guān)，計(jì)算方便。第三，所有的投入都必須大于0。第四，彈性值（即效益系數(shù)）的解釋明確而且容易。函數(shù)系數(shù)等于各項(xiàng)投入的b值之和，即B=b1+b2+……+bn。當(dāng)函數(shù)系數(shù)大于1，產(chǎn)出值以遞增的速度增加；當(dāng)函數(shù)系數(shù)等于1，產(chǎn)出值以固定的速度增加；當(dāng)函數(shù)系數(shù)小于1，產(chǎn)出值以遞減的速度增加；第四十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四三、柯布—道格拉斯函數(shù)建模和分析的主要步驟（一）明確農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)問題的性質(zhì)，確定選用道格拉斯函數(shù)模型是否適宜函數(shù)模型為：

（二）搜集整理數(shù)據(jù)資料

根據(jù)模型要求，研究者收集了如上八個方面2000年各農(nóng)業(yè)小組的資料，并進(jìn)行了整理。（三）建立生產(chǎn)函數(shù)模型如下第四十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

（四）對計(jì)測結(jié)果和模型

進(jìn)行檢驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)分析1．R2=0．8728，表示總收入變化的87．28％，可用模型中的7個變量要素來說明，模型是合理的。

2．生產(chǎn)彈性值分析模型中，a1—a7，分別為要素X1—X7的生產(chǎn)彈性值。a1為X1（土地）的生產(chǎn)彈性值，表示在其他條件保持不變的情況下，如果X1增加1％，則農(nóng)業(yè)總收入就會增加0．5202％，意即農(nóng)場在當(dāng)時條件下，若耕地面積增加312畝則種植業(yè)總收入就會增加2．77萬元。其余類推。

第四十三頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

3．邊際生產(chǎn)力的分析

對生產(chǎn)函數(shù)模型

分別求各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則

第四十四頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四求得各種資源的邊際生產(chǎn)力水平如下：

第四十五頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四上面的結(jié)果表示，在農(nóng)場當(dāng)時生產(chǎn)條件下，當(dāng)其他生產(chǎn)要素不變時：每增加1畝耕地，種植業(yè)總收入就增加89元；每增加1個勞力，總收入就減少45．7元；每增加1元化肥，總收入僅增加0．444元；每增加1元農(nóng)藥，總收入會增加2．509元；每增加100元機(jī)械作業(yè)費(fèi)，總收入僅增加21．39元；每增加100元企業(yè)管理費(fèi)，總收入減少83．24元；每增加100元共同生產(chǎn)費(fèi)，總收入減少0．10元。第四十六頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

4．綜合分析和評價結(jié)論（1）上述結(jié)果表明，長江農(nóng)場土地資源彈性值和邊際生產(chǎn)力都較高，因而在當(dāng)時生產(chǎn)條件下應(yīng)盡量擴(kuò)大種植面積，而農(nóng)場只有耕地33762．5畝，僅占土地面積56．27％，機(jī)耕路、溝渠等竟占總土地面積的14．82％，占耕地面積的26．33％（見表4－1），

第四十七頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四表4－1長江農(nóng)場土地占用情況一覽表

第四十八頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四（2）農(nóng)場生產(chǎn)費(fèi)用中商品肥增加較快，2000年占生產(chǎn)費(fèi)用的10．3％，出現(xiàn)了過量施肥現(xiàn)象。對農(nóng)場畝化肥量和糧食產(chǎn)量進(jìn)行回歸分析得出如下經(jīng)驗(yàn)公式：

Y=－1048．74＋838．63lgX式中：Y為糧食畝產(chǎn)量（千克）；X為施化肥量（千克）

R2=0．9617，極顯著。對上述回歸公式進(jìn)行邊際分析，得化肥施用最佳量為135千克。因此應(yīng)控制化肥施用量，不宜超過135千克，否則會增產(chǎn)不增收。第四十九頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

（3）農(nóng)場畝生產(chǎn)費(fèi)用中企業(yè)管理費(fèi)已占到14．8％，不論從其生產(chǎn)彈性值還是邊際生產(chǎn)力分析來看，企業(yè)管理費(fèi)的增加都只能減少收入，因而應(yīng)進(jìn)一步壓縮非生產(chǎn)性開支，努力節(jié)減行政辦公、招待費(fèi)用之類。（4）以上分析均在當(dāng)時生產(chǎn)技術(shù)水平下進(jìn)行，為長遠(yuǎn)計(jì)，應(yīng)從根本上考慮如何進(jìn)一步革新生產(chǎn)經(jīng)營技術(shù)。第五十頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

四、增長速度方程

增長速度方程是描述投入要素增長速度、產(chǎn)出增長速度與科技進(jìn)步速度之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是從柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)通過微分計(jì)算得到的：

Y=A（t）tF（K，L）兩端求全導(dǎo)數(shù)，得：在上式兩端除以Y，并定義：第五十一頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四

則有：令：或δ=Y－αk－βl（α＋β=1）式中：Y、k、l分別是產(chǎn)出量、資本投入量和勞動投入量的增長率。第五十二頁，共五十七頁，編輯于2023年，星期四科技進(jìn)步率(