第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量

第二節(jié)矩陣的特征值與特征向量第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四§2方陣的特征值和特征向量例1~4特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的計(jì)算特征值與特征向量的性質(zhì)例5~9第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的概念定義設(shè)為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個(gè)特征值,零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量.注:階方陣的特征值,就是使齊次線性方程組有非零解的值,都是矩陣的特征值;的即滿足方程非第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的概念定義設(shè)為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個(gè)特征值,零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量.非稱關(guān)于的一元次方程程,為的特征方稱的一元次多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式.為的第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的計(jì)算定義設(shè)為階方陣,如果數(shù)和維非零向量使成立,則稱數(shù)為的一個(gè)特征值,零向量稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量.非根據(jù)上述定義,即可給出特征向量的求法:設(shè)為方陣的一個(gè)特征值,則由齊次線性方程組可求得非零解特征向量.若是方程組的基礎(chǔ)解系,則的對應(yīng)于特征值的特征向量的全體可表示為那么就是的對應(yīng)于特征值的完第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例1解代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組,求矩陣矩陣的特征方程為所以是矩陣的兩個(gè)不同的特征值.以得基礎(chǔ)解系是的特征值與特征向量.故的全部特是矩陣對應(yīng)于征向量.第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例1解求矩陣的特征值與特征向量.完以代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組,得基礎(chǔ)解系是特征向量.故是矩陣對應(yīng)于的全部第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解求的特征值與特征向量.特征值時(shí),當(dāng)解方程設(shè)由基礎(chǔ)解系第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解由基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí),解方程故對應(yīng)于的全體特征向量為由第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例2解由得基礎(chǔ)解系故對應(yīng)于的全體特征向量為不同時(shí)為0).(完第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例3解特征向量.求階數(shù)量矩陣的特征值與故的特征值為把代入得第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例3解把代入得性無關(guān)的向量都是它的基礎(chǔ)解系,取單位向量組作為基礎(chǔ)解系,所以任意個(gè)線于是的全部特征向量為這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是零矩陣,(不全為零).完第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例4解試求上三角矩陣的特征值:因此的特征值等于這是一個(gè)上三角行列式,因此,完第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值.證由有知與有相同的特征多項(xiàng)式,故它們的特征值相同.性質(zhì)2設(shè)階矩陣,是則第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2設(shè)階矩陣,是則式中是的全體階主子式的和.設(shè)是的個(gè)特征值,則完第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例5證試證:是必要性于是充分性對應(yīng)的特征向量為由特征值的定義,有階矩陣是奇異矩陣的充分必要條件有一個(gè)特征值為零.若是奇異矩陣,則即是的一個(gè)特征值.設(shè)有一個(gè)特征值為所以齊次線性方程組有非零解由此可知即為奇異矩陣.第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例6證證明因證畢.設(shè)是方陣的特征值,當(dāng)可逆時(shí),是的特征值;是的特征值.是的特征值;因故有使當(dāng)可逆時(shí),由有知故即是的特征值.是的特征值.所以于是第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).證用數(shù)學(xué)歸納法.時(shí),因特征向量不為零,成立.設(shè)前個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān),欲證線性無關(guān).設(shè)①成立,以矩陣乘①式兩端,由整理得②由①,②消去得結(jié)論第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).證由①,②消去得于是①式化為故線性無關(guān).第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).注:線性無關(guān)的特征向量;有個(gè)不同的特征值,階方陣屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量;矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的,一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一;一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值.則有個(gè)因?yàn)?若設(shè)同時(shí)是的屬于兩個(gè)不同的特征值的特征向量,即第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四定理階方陣互不相等的特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).因?yàn)?若設(shè)同時(shí)是的屬于兩個(gè)不同的特征值的特征向量,即由得與定義矛盾.故結(jié)論成立.完第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解的線性無關(guān)的特征向量組.求階矩陣3的特征多項(xiàng)式為的特征值以及相應(yīng)這個(gè)多項(xiàng)式的根為因此的特征值等于接下來求特征向量:對將代入第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解因此的特征值等于接下來求特征向量:對將代入容易算出這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣秩等于因此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解只有一個(gè)線性無關(guān)的向量,不難求出為得對代入可得齊次方程組:將第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例7解對代入可得齊次方程組:將求出這個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為正好等于因此的相應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量有于是的線性無關(guān)的特征向量有個(gè),個(gè),而相應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量有個(gè),的階數(shù)完第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例8證按題設(shè),故用反證法,則應(yīng)存在數(shù)于是即設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,應(yīng)的特征向量依次為和證明有設(shè)是的特征向量,的特征向量.不是使對故由上式得因由本節(jié)定理知線性無關(guān),第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例8證用反證法,在數(shù)于是即設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,應(yīng)的特征向量依次為和證明設(shè)是的特征向量,的特征向量.不是使對故由上式得因由本節(jié)定理知線性無關(guān),則應(yīng)存即與題設(shè)矛盾.因此不是的特征向量.完第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四例9證即正交矩陣的實(shí)特征值的絕對值為設(shè)為正交矩陣,是方陣的對應(yīng)于特征值的特征向量,則因又所以得注:的特征值是特征方程的也是的根.①