第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

1第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四動(dòng)力學(xué)的抽象模型質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)剛體：特殊質(zhì)點(diǎn)系，其中任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變。9.1動(dòng)力學(xué)的任務(wù)動(dòng)力學(xué)研究作用于物體上的力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容極為豐富，并且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展在不斷發(fā)展。

動(dòng)力學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用也極為廣泛,例如各種機(jī)器、機(jī)構(gòu)等的設(shè)計(jì)、航空航天技術(shù)等，都要用到動(dòng)力學(xué)的知識(shí)。第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四9.2動(dòng)力學(xué)的基本定律

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓(1642—1727)在總結(jié)前人，特別是伽利略研究成果的基礎(chǔ)上提出來(lái)的,稱(chēng)為牛頓三定律。牛頓第一定律:質(zhì)點(diǎn)如不受力作用,則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變,即保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。慣性:不受力作用（包括受平衡力系作用）的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變的性質(zhì)稱(chēng)為慣性。勻速直線運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為慣性運(yùn)動(dòng)。第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四

第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)：質(zhì)點(diǎn)因受力作用而產(chǎn)生加速度，其大小與作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小成正比而與質(zhì)量成反比?；蛘哔|(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即

第二定律建立了質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、作用于質(zhì)點(diǎn)的力和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度三者之間的關(guān)系，并由此可直接導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，它是解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題最根本的依據(jù)。上式表明，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易發(fā)生改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是物體慣性的度量。第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到幾個(gè)力的作用時(shí)，式中的應(yīng)為此匯交力系的合力，此時(shí)，第二定律可表示為：

在國(guó)際單位制(SI)中，力的單位是牛頓。質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，獲得1m/s2的加速度時(shí)，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為1N(牛頓)，即

第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四牛頓和達(dá)因的換算單位是

第三定律(作用與反作用定律)：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在兩個(gè)物體上。第三定律說(shuō)明了力的產(chǎn)生是由于兩個(gè)物體相互作用而引起的。在精密儀器工業(yè)中，也用厘米克秒制(CGS)。力的單位是dyn(達(dá)因)，即第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四9.3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程9.3.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程三種表示法設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，在諸力F1,F2,…,Fn的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程為而故有第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四

上式稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量式。將上式投影到直角坐標(biāo)軸上，有

稱(chēng)為直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。將矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程投影到自然坐標(biāo)軸上，有稱(chēng)為自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四9.3.2質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題1．第一類(lèi)問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。求解這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。求解這類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的步驟可大致歸納如下：(1)選取研究對(duì)象，畫(huà)受力圖；(2)分析運(yùn)動(dòng)，根據(jù)給定的條件，分析某瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況；(3)根據(jù)研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況，列質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(4)求解未知量

2．第二類(lèi)問(wèn)題已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)求積分的運(yùn)算，積分時(shí)出現(xiàn)的積分常數(shù)必須由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件(質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度)來(lái)確定求解第二類(lèi)問(wèn)題時(shí)，求解的步驟和第一類(lèi)問(wèn)題求解的步驟基本相同。3.混合問(wèn)題：第一類(lèi)與第二類(lèi)問(wèn)題的混合.第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例9-1】質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)M在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為x=acosωt，y=bsinωt，其中a、b和ω均為常數(shù)，求質(zhì)點(diǎn)M所受到的力。

解：應(yīng)用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可得質(zhì)點(diǎn)所受的力在x、y軸上的投影的代數(shù)和分別為第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例9-2】質(zhì)量為1kg的重物M，系于長(zhǎng)度為l=0.3m的線上，線的另一端固定于天花板上的D點(diǎn)，重物在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而使懸線成為一圓錐面的母線，且懸線與鉛直線間的夾角恒為60o，如圖所示，試求重物的速度和線上的張力。

解：選擇重物M為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。M的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，選用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程.第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四

解：選擇重物M為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。M的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，選用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程.b

聯(lián)立求解，可得nb第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例9-3】如圖所示的單擺，擺長(zhǎng)為l，擺錘的質(zhì)量為m，初始時(shí)將擺錘拉到最大偏角，然后無(wú)初速度釋放，試求單擺的運(yùn)動(dòng)方程。

解：選擇擺錘為研究對(duì)象，分析受力如圖所示。擺錘的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，選用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

而，，代入上式，可得，

又因?yàn)?，上式可表示為，上面的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為由于第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四引入，則上式可表寫(xiě)為它的通解為由初始條件：，，可得，

，

這樣單擺的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

這是一個(gè)周期函數(shù)，周期為

第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四【例9-4】試求脫離地球引力場(chǎng)的宇宙飛船所需的最小初速度。

解：取地球中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x垂直向上。不妨設(shè)地球的半徑為R，地球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m。取飛船A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。F是地球?qū)︼w船的引力，可表示為在地球的表面，F(xiàn)為飛船的重力，即有

可得即第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四飛船的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

即由于，代入上式，可得兩邊同時(shí)積分，可得

欲使飛船脫離地球引力范圍，則當(dāng)x→∞

時(shí)，v≥0。取v=0，R=6370km，g=9.8m/s2，可得第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四

例9-5粉碎機(jī)滾筒半徑為Ｒ，繞通過(guò)中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在時(shí)才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：研究鐵球已知:勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)小球掉下。求:轉(zhuǎn)速n.第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例9-6：

質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)m，離地面為h，以初速度v0作豎直上拋運(yùn)動(dòng)。設(shè)不計(jì)空氣阻力，試分別用不同坐標(biāo)系，建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：不計(jì)空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下作直線運(yùn)動(dòng)。（a）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：不計(jì)空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下作直線運(yùn)動(dòng)。（b）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：不計(jì)空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下作直線運(yùn)動(dòng)。（c）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：不計(jì)空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下作直線運(yùn)動(dòng)。（d）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例9-7第二十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，編輯于2023年，星期四例9-8：如圖所示，在三棱體的粗糙斜面上放有重為的物體，三棱體以勻加速度沿水平方向運(yùn)動(dòng)。為使物件在三棱體