第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

第五節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5.1和的分布3.5.1.1離散型隨機(jī)變量和的分布3.5.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布3.5.4極值分布第五節(jié)二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布第二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維隨機(jī)變量,

其聯(lián)合分布函數(shù)為

是隨機(jī)變量

的二元函數(shù)

的分布函數(shù)問(wèn)題：如何確定隨機(jī)變量Z的分布呢？

第三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、離散型分布的情形例1

若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,

P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,

求Z=X+Y的概率函數(shù).解:

=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性此即離散卷積公式r=0,1,2,…3.5.1和的分布：Z=X+Y

第四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2

設(shè)

的聯(lián)合分布列為

YX-2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12分別求出（1）X+Y；（2）X-Y的分布列第五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格

概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253第六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解得所求的各分布列為

X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12第七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：依題意

例3

若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為

的泊松分布,

證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…第八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四即Z服從參數(shù)為

的泊松分布.r=0,1，…第九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例4設(shè)X和Y相互獨(dú)立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.

回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋:

我們給出不需要計(jì)算的另一種證法:同樣，Y是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.

若X~B(n1,p),則X

是在n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率都為p.第十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四

故Z=X+Y是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p,于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的隨機(jī)變量即:

若X與Y相互獨(dú)立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，則X+Y～B(n1+n2,p)二項(xiàng)分布的可加性第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例5設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的密度

解:Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.二、連續(xù)型分布的情形第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四

化成累次積分,得由X和Y的對(duì)稱(chēng)性,fZ(z)又可寫(xiě)成以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.交換積分次序第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式

.下面我們用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域

例6若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式即第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四如圖示:于是第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解法二

從分布函數(shù)出發(fā)x+y=z當(dāng)z<0時(shí)，1yx1可用卷積公式直接求密度函數(shù)與通過(guò)分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四x+y=z當(dāng)0z<1時(shí)，1yx1?z?z第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四x+y=z當(dāng)1

z<2

時(shí)，z-11yx1?z?z第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時(shí)，第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例7設(shè)隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N~(0,1),求Y=X1+X2的概率密度函數(shù).解

由題意得

X1和X2相互獨(dú)立,故第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四結(jié)論:兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和仍服從正態(tài)分布.X1+X2~N(μ1+μ2,σ12+σ22)正態(tài)分布的可加性.即:若X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2獨(dú)立,則有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布.

更一般地,

可以證明:第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四推論:

有限個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.即:若Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互獨(dú)立,實(shí)數(shù)a1,a2,...,an不全為零,則

特別,

若X1,X2,...Xn獨(dú)立同正態(tài)分布N(μ,σ2),則記:第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四

從前面例5可以看出,在求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四例8

甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來(lái)到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四所求為P(|X-Y|

5)及P(X<Y)解:

設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻，Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解一：P(|X-Y|5)=P(-5≤

X-Y

≤5)=1/6=1/2P(X<Y)第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解二：P(X<Y)=1/6=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)

是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布密度為

則

是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量

其分布函數(shù)為

是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為

3.5.2一般函數(shù)Z=g(X,Y)的分布第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5.4M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y

相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)即有FM(z)=FX(z)FY(z)第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四

類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,(i=0,1，…,n)它們的分布函數(shù)分別為

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:…N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是…特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n與二維情形類(lèi)似，可得:第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四需要指出的是，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱(chēng)M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實(shí)用價(jià)值.第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四

下面我們舉一例，說(shuō)明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布.第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期四解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1<n)記1-p=q例9設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立,并且有相同的幾何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求