北京2013屆西城高三二模數(shù)學(xué)文科試題及答案

PAGE2013西城高三二模數(shù)學(xué)文科第6頁共8頁北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷高三數(shù)學(xué)（文科）2013.5第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．復(fù)數(shù)（A）（B）（C）（D）2．已知向量，．若與共線，則實(shí)數(shù)（A）（B）（C）（D）3．給定函數(shù)：①；②；③；④，其中奇函數(shù)是（A）①（B）②（C）③（D）④4．若雙曲線的離心率是，則實(shí)數(shù)（A）（B）（C）（D）5．如圖所示的程序框圖表示求算式“”之值，則判斷框內(nèi)可以填入（A）（B）（C）（D）6．對于直線，和平面，，使成立的一個(gè)充分條件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知函數(shù)．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）8．已知集合的非空子集具有性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，必有．則具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．已知直線，．若∥，則實(shí)數(shù)______．10．右圖是甲，乙兩組各名同學(xué)身高（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖．記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，則______．（填入：“”，“”，或“”）11．在△中，，，，則______；△的面積是______．12．設(shè)，隨機(jī)取自集合，則直線與圓有公共點(diǎn)的概率是_____．13．已知命題函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題不等式的解集是．若且為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．在直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積是______；點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積是______．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)．證明：為等差數(shù)列，并求的前項(xiàng)和．16．（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，且．將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)．記．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分別過作軸的垂線，垂足依次為．記△的面積為，△的面積為．若，求角的值．17．（本小題滿分14分）如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)．該四棱錐的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．（Ⅰ）求四面體的體積；因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以．所以平面．………………12分因?yàn)椤危云矫妫?3分因?yàn)槠矫?，所以平面平?………………14分18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：的定義域?yàn)椋遥?分當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判別式，………………5分令，得，或．………………6分和的情況如下：↗↘↗故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．………………9分①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是．………………10分②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是．………………12分③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值是．………………13分綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是．19．（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………2分由點(diǎn)在橢圓上，所以，………………4分解得．………………6分（Ⅱ）解：設(shè)，則，且． ①………………7分因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以．………………8分因?yàn)?，所以? ②………………9分由①，②消去，整理得．………………11分所以，………………13分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立．所以的取值范圍是．………………14分20．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為．………………3分（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．顯然，，，，下面證明：．………………5分由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．因?yàn)榕c是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，所以，從而．所以排列和的生成列也不同．………………8分（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以．………………9分依題意進(jìn)行