第四章相似理論

第四章相似理論第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五ξ1基本概念一、物理量及其量綱基本物理量量綱：用以確定某一系統(tǒng)的特點或本質(zhì)的物理變量?；玖烤V所表示的物理量就是該單位制中的基本物理量無量綱量：當(dāng)一物理量所有量綱指數(shù)都為零，它的量綱為1量綱與單位第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五量綱和諧性任何一個完整的物理方程，其量綱必定是和諧凡一個完整的物理方程，不因采用的單位制度的變化而發(fā)生變化，這類方程在數(shù)學(xué)中稱為齊次方程。凡量綱核心的方程，在數(shù)學(xué)上應(yīng)為齊次方程第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五二、單值條件一個現(xiàn)象區(qū)別于其他現(xiàn)象的個性標(biāo)志幾何條件：說明參與過程的物體的形狀、大小等幾何特征物理條件：說明參與過程的物體的物理性質(zhì)時間條件：說明在時間上預(yù)先已知的特點邊界條件：說明邊界上過程進(jìn)行的特點第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五三、量綱獨立K個物理量，其中任一個物理量的量綱均不能由其它物理量的量綱組合來表示，則稱k個物理量的量綱彼此獨立公理：量綱不獨立的物理量可用量綱彼此獨立量的冪積形式表示第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五量綱獨立條件：對物理量a、b、c有：只有當(dāng)物理量a、b、c具有彼此獨立量綱第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五ξ2量綱分析原理基本原則量綱和諧性原則

Π定理第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五一、π定理描述某現(xiàn)象的n個物理量(a1、a2、a3…an)

其中k個物理量的量綱彼此獨立，且k≤n，則描述該現(xiàn)象：

f(a1、a2、a3…ak、ak+1、ak+2…an)=0其余（n-k）個物理量的量綱可用k個獨立量綱的冪積形式表示：第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五則有：描述物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式可寫成：含有k個量綱的獨立量的n個物理量之間的函數(shù)關(guān)系式，可簡化為（n-k）個無量綱乘積（π）之間的關(guān)系式——無量綱方程第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五無量綱乘積的完整集合由n個參數(shù)組成的函數(shù)式，如有k個基本量，則存在有（n-k）個無量綱乘積（π）。這（n-k）個π為該函數(shù)的無量綱的完整集合完整集合中無量綱乘積的數(shù)目：參量總數(shù)（n）—基本量綱數(shù)（k）參量總數(shù)（n）--量綱矩陣的秩（r）第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五二、量綱分析的指數(shù)法1、柏金漢姆法（π定理法）（E.Buckingham）列出影響現(xiàn)象的各個參量f(x1、x2、x3…xn)=0

確定k個彼此獨立物理量為基本物理量其它物理量用基本物理量的冪積形式表示由π定理可得到（n-k）個無量綱量無量綱方程：f(π1、π2、π3…πn-k)=0第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五2、瑞利分析法

依據(jù)：量綱和諧性原理將與現(xiàn)象有關(guān)的物理量的函數(shù)關(guān)系式寫成冪積式：由量綱和諧性原則：用基本量綱表示各個物理量的量綱，并對基本量綱列出其指數(shù)的代數(shù)方程當(dāng)n≤k，唯一解

n＞k，無唯一解第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五三、量綱分析的矩陣法寫出量綱矩陣，求出矩陣的秩（r）無量綱乘積數(shù)=n–r寫出無量綱乘積的一般式根據(jù)量綱和諧性原理，由量綱矩陣寫出線性齊次方程求解方程封閉：直接求解方程不封閉：以（n--3）個量為待定量寫出結(jié)果矩陣第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五水流中物體的運動

F=f（μ、g、w、L、ρ）寫出量綱矩陣：矩陣的秩：r=3

無量綱乘積數(shù)目n-k=3設(shè)寫出指數(shù)方程n＞3，第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五ξ3相似理論模型實驗主要的理論基礎(chǔ)第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五1636年，伽利略，“論二門新的科學(xué)”1686年，牛頓，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”1848年，法國，J.Bertrand，相似第一定理1911年，俄國，相似第二定理，

1944年美國，柏金漢（E.Buckingham），證明了π定理1931年，蘇聯(lián)，相似第三定理第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五一、基本概念1、物理量相似標(biāo)量場相似矢量場相似

相似倍數(shù)——Cφ第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五幾何相似時間相似運動相似動力相似熱相似第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五2、現(xiàn)象相似描述現(xiàn)象各單值條件彼此相似的同類現(xiàn)象單值條件相似

幾何條件相似物理條件相似邊界條件相似初始條件相似第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五3、相似準(zhǔn)數(shù)（相似準(zhǔn)則）（Criterion）按照一定物理規(guī)律組合而成具有一定的物理意義必須是無量綱的隨空間和位置的變化，在相似現(xiàn)象的對應(yīng)點上，相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值不變。已定準(zhǔn)則和待定準(zhǔn)則（定性準(zhǔn)則和非定性準(zhǔn)則）第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五二、相似三定理相似第一定理（相似正定理）

凡相似現(xiàn)象，對應(yīng)部位上各同名相似準(zhǔn)則分別等值。

(規(guī)定了現(xiàn)象相似的必要條件)相似第三定理（相似逆定理）

凡同類現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似，對應(yīng)部位的同名已知準(zhǔn)則等值，則現(xiàn)象之間彼此相似

(表明了現(xiàn)象相似的充分條件)第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五相似第二定理對于一個包含n個物理量的物理現(xiàn)象，若其中包含有k個基本物理量，則描述現(xiàn)象的函數(shù)式可用（n-k）個無量綱數(shù)的函數(shù)式——準(zhǔn)數(shù)方程來表示。

f（π1π2……πn-k）=0第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五三、相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出量綱分析法指數(shù)法矩陣法步步組合法方程分析法相似轉(zhuǎn)換法積分類比法

以方程的量綱和諧性原理為基礎(chǔ)物理法則法第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五1、相似轉(zhuǎn)換法寫出描述現(xiàn)象的物理方程及單值條件寫出方程中各物理量相似倍數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換各項相似倍數(shù)進(jìn)行組合，寫出其相似指標(biāo)式以等式中其中一項除以其它各項整理，可得相應(yīng)的相似準(zhǔn)數(shù)第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五2、積分類比法基本原理：置換法則二個體系：等比公式即有第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五步驟：寫出描述現(xiàn)象的基本方程和單值條件用方程中任意一項除以其他各項各項中所有導(dǎo)數(shù)用積分類比項代替同類項用其中一項表示坐標(biāo)量用特征量表示整理第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五描述對流換熱的完整微分方程組：試用相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法，推導(dǎo)出該方程組的準(zhǔn)數(shù)方程。第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五三、準(zhǔn)數(shù)與準(zhǔn)數(shù)方程

1、相似準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換準(zhǔn)數(shù)的指數(shù)運算準(zhǔn)數(shù)間的冪積運算準(zhǔn)數(shù)間的和、差運算物理量用其差值代替第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五2、準(zhǔn)數(shù)的物理意義

Re（Rerynolds）準(zhǔn)數(shù)——慣性力與粘性力之比Fr（Froude）準(zhǔn)數(shù)：Fr=gL/w2

——重力與慣性力之比Gr（Grashot）準(zhǔn)數(shù)——浮力與粘性力之比Ga（Galilei）準(zhǔn)數(shù)Eu（Euler）準(zhǔn)數(shù)：Eu=p/w2ρ——壓力（流動阻力）與慣性力之比第三十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五Ho諧時性準(zhǔn)數(shù)：H0=wτ/LFo（Fourier）準(zhǔn)數(shù)：——溫度場、速度場隨時間的變化關(guān)系Pr（Prandtl）準(zhǔn)數(shù)：Pr=ν/a——分子動量擴(kuò)散率與熱擴(kuò)散率之比；速度場與溫度場的關(guān)系Pe（Peclet）準(zhǔn)數(shù)Nu（Nusselt）準(zhǔn)數(shù)——邊界層內(nèi)溫度梯度與平均溫度梯度之比；對流換熱強度與邊界內(nèi)溫度分布的關(guān)系。第三十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五3、準(zhǔn)數(shù)方程

近似模化方法，以對流換熱過程為例準(zhǔn)數(shù)方程的簡化f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0Nu=f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo