2023年高考復(fù)習(xí)《三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式》訓(xùn)練精講（含答案）

2023年高考復(fù)習(xí)專題《三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式》

訓(xùn)練精講

三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式

【題型解讀】

【知識必備】

1?角的概念

⑴任意角：

①角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置

所成的圖形.旋轉(zhuǎn)開始的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線叫做角的終邊，射線

的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)；

②角的分類：按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成

的角叫做俯角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={￡|夕=/360。十

a,kGZ}.

注意：終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360。的整數(shù)倍.

(3)象限角與軸線角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重

合，那么，角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸

上，那么這個角不屬于任何一個象限，稱之為軸線角.

2.弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，這種用弧度作單

位來度量角的單位制叫做弧度制.弧度的單位符號是“rad”，讀作“弧度”(用弧

度制表示角時,rad常常省略不寫).

如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,那么角a的弧度數(shù)的絕對值是同=

正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=兀獻(xiàn),1。=念rad,lrad=-°.

1oU、兀，

(3)扇形的弧長公式：/=|山?廣,扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-i2.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)單位圓定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P?y)時,sina=y,cosa=x,tana

=**0).

(2)比值式定義：設(shè)尸(x,y)是角a終邊上任意一點(diǎn)，且|OP|=r(r>0),則sina=^,cosa

=*tana=］它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

注意:三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x,y)是單位圓上的點(diǎn)時有sina=y,cosa=x,tana=：,

但若不是單位圓時，設(shè)|OP|=r，則sina=7,cosa=7,tana=+.

⑶三角函數(shù)值在各象限的符號：

記憶口訣：”一全正,二正弦，三正切,四余弦”，即第一象限三個三角函數(shù)都是正值,

第二象限正弦值為正，其余兩個為負(fù)值；第三象限正切值為正，其余兩個為負(fù)值；

第四象限余弦值為正值.

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

⑵商數(shù)關(guān)系：^=tana.

5.誘導(dǎo)公式

角2kn+a71

J+a

兀+a-a兀-a2~a2

函(&Z)

正弦sina-sina一sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana一tana

函數(shù)名不變函數(shù)名改變

口訣

符號看象限符號看象限

統(tǒng)一記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”，

對于角保土a”(YZ)的三角函數(shù)記憶口訣"奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不

變''是指"當(dāng)上為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)攵為偶數(shù)時，函數(shù)名不變"符

號看象限”是指"在a的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)a為銳角時，原函數(shù)值的符號

【題型精講】

【題型一扇形面積公式與弧度制】

必備技巧扇形的弧長和面積的求解策略

(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S=/R=%火\其中/是扇形的弧長,R是

扇形的半徑,a是扇形圓心角的弧度數(shù),0<0：<2兀).

⑵找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關(guān)鍵是

分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接

求解或列方程(組)求解.

例1(2022?咸陽百靈學(xué)校高三月考)已知扇形周長是60.

(1)當(dāng)半徑『20,求扇形面積.

(2)當(dāng)半徑為何值時，扇形有最大面積？

(3)并求出最大面積和此時扇形的圓心角.

【答案】(1)200；(2)15；(3)225,2.

【解析】⑴設(shè)扇形所對應(yīng)的圓心角為a，由題意知20a+2x20=60,所以a=l,因此

扇形的面積為gxar2=Jxlx2()2=200；

⑵設(shè)扇形所對應(yīng)的圓心角為a,半徑為J由題意知ar+2r=60,即a="凸，則因

r

止匕扇形的面積為〈xa產(chǎn)=4x竺上x，=-，+30，；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)/-15時,

22r

扇形的面積最大；

⑶由⑵知當(dāng)r=15時，扇形的面積最大,扇形的面積最大值為-152+30x15=225,此

60—2x15

時。=—2；

15

【跟蹤精練】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可

以看做是從一個圓形中前下的扇形制作而成的，當(dāng)折扇所在扇形的弧長與折扇所

在扇形的周長的比值為苴二!時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所

2

在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）

A.75+1B.苴蟲C.立口D.V5-1

24

【答案】A

【解析】設(shè)扇形的弧長為/,半徑為J圓心角的弧度數(shù)為由題意得上一=①,

2/-+/2

2（后-1）

變形可得,==百+1,因為/=如,所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為

r3-石

百+1.故選：A.

2.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知扇形的周長為4cm,當(dāng)它的半徑為cm

和圓心角為弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是cm2.

【答案】121

【解析】/+2廠=4,則S=；/r=gr（4-2r）=--+2r,

則r=l,/=2時，面積最大為1,此時圓心角a=-=2,

r

所以答案為1;2；1.

3.（2022.全國.高三專題練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技

活動,刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵

餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為（米,肩寬約

為g米，"弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

O

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【解析】由題得：弓所在的弧長為：卜會濟(jì)

，兩手之間的距離d=2Rsi吟=0x1.2511.768.故選：B.

4.（2022?浙江高三模擬）三星堆古遺址位于四川省廣漢市西北的鴨子河南岸，是迄

今在西南地區(qū)發(fā)現(xiàn)的范圍最大、延續(xù)時間最長、文化內(nèi)涵最豐富的古蜀文化遺址.

青銅太陽輪是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，該文物中央凸起，周圍

均勻分布了五個芒條，現(xiàn)將該太陽輪的中心記為點(diǎn)A,相鄰的兩個芒條與圓輪交于

B、C兩點(diǎn)，如圖，某考古工作人員為了估計該太陽輪的圓輪周長，現(xiàn)測得3、C兩

點(diǎn)間的距離約為51cm,則太陽輪的圓輪周長約為。加.（參考數(shù)據(jù)：

n

3.14,sin0.6）.

【答案】266.9

27r

【解析】連接A3、AC.8C,由題意得N84C=三,

BD

An—

取3c的中點(diǎn)O,連接A。,則仞，3c,30=25.5，從而.兀,

sin—

5

因此太陽輪的圓輪周長為2"..=受"號/=266.9(cm)

sin—

5

故答案為：266.9.

【題型二三角函數(shù)的定義】

必備技巧三角函數(shù)定義考查

(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)可求a的三角函數(shù)值；已

知角a的三角函數(shù)值，也可以求出角a終邊的位置.

⑵判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)

值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在

坐標(biāo)軸上的情況.

例2⑴(2022.河南洛陽)已知角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終

邊經(jīng)過點(diǎn)尸(cosl50+sinl5°,cosl5°-sinl5°),則tana=().

A.2-V3B.2+6C.—D，X/3

3

【答案】C

rA/J+rif-r_kn-r共附…3mcosl5-sinl51-tan15tan45-tan15

［解析】由正切函數(shù)的定乂得tana=--~——=-----=------———

cos15+sinl51+tan151+tan15tan45

=tan(45-15)=苴.故選：C

a

(2)(2022.湖南.長沙一中高三階段練習(xí))若角a的終邊過點(diǎn)P(8加,-3),且tana="則

m的值為()

D*

A.--C.--

【答案】A

一331

［解析】丁tana=y=1，.??優(yōu)=一彳，故選：A.

8"?42

例3（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）若角a滿足sincrcosa<0,cosa-sina<0,

則。在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】「sincrcosacO,。是第二或第四象限角；

當(dāng)a是第二象限角時,8$。<0,$訪。>0,滿足（：050-5111。<0；

當(dāng)a是第四象限角時,850>0,0而。<0,則8$&-$足0;>0,不合題意；

綜上所述：a是第二象限角.

故選：B.

【跟蹤精練】

1.（2022.河南）在平面直角坐標(biāo)系中ce（0,2/r）,角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)

P.i哈-cos^si哈+cos4],則a的值是（）

【答案】D

71

sm-+costan——Fl

【解析】tana==-tan=—tan—=—y/3.

71i

tan---1

12

71）,所以。=等,故選:

因為sin工一cos—<0,sin—+cos->0,ae（0,2萬），所以ae5"

D.

2.（2022?全國高三練習(xí)）已知角a的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為（Ta）,且a為第二象限

3

角,cosa=-g,貝sina=,tana=.

【答案】|4

3-33

【解析】因為（Ta）為a終邊上的一點(diǎn),cosa=g所以詬向下=下解得“2=16.

又因為a為第二象限角，所以“>0即a=4.所以sina=,4tanc=q4.故答案為：|4

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如果cos6<0,且tan6<0,則卜ine-cose|+cose的化簡為

【答案】sine

【解析】?.飛。$，<0,且130。<0,二。是第二象限角，

bin6—cosq+8s6=sin，-cosO+cos，=sind.

故答案為：sin。.

【題型三同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用】

必備技巧同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用

(1)利用si/a+cos2a=1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角a所在象限確

定符號；利用騁=tana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.

(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這

三個式子，利用(sinaicosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1=sin2q+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

例4(1)(2022.青海西寧)已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)-6),_g.cosa=,IJJlJ

sinatana

A-t

【答案】B

【解析】P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-6<0,且cosa=V<0,所以P在第三象限，所以

13

1211135

tana=------—P—一2=一|■.故選：B

cosaM'sina+tana1212

,3

(2)(2022?廣東惠州?一模)已知tana=2,乃<a<不乃,則cosa—sina=()

A.—B.--C.—D.--

5555

【答案】A

【解析】因為tana="3=2,且sin?a+cos2a=

cosa2

所以sina=,cosa=一q,

55

所以cosa-sina--旦

55

故選：A.

例5（2022.北京市昌平區(qū)實(shí)驗學(xué)校高三期中）已知角。的終邊過點(diǎn)求:

gdsina+cosa小.

①tan。；②一.---------；(3)sincr-cosa

sin二一2cosa

【答案】①-3；②|；③.

【解析】①因為角。的終邊過點(diǎn)P（L-3）,所以犬=l,y=-3,

由三角函數(shù)的定義可得：tane=?=-3

X

②sina+cosa_tana+1_-3+1_2

sina-2cosatana-2-3-25’

sina-coscrtana-33

③sina?cosa=

sin2a+cos2atan2a+l(-3『+]10'

【跟蹤精練】

1.（2022?廣東?深圳外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）已知角ae（￡,0）,cosa=|,則

tana=()

A.嚕

--D

B-T13-T

【答案】B

【解析】因為ae（-1.O）,所以sina<0,所以

sina=-V1-cos2a=-^^,tana=sina=岑故選：B

3cosa

2.（2022.全國,高三階段練習(xí)）若嗎+。嗎=2,則包改產(chǎn)觸手=（）

sin8-cos8sin+cos8

6

'A?-飛B-4

Di

【答案】C

【解析】因為電誓感=2,所以sin8=3cos6,所以如。,8$。同號,即.%0$。>0,

sin"-cos?

sin20+cos20=9cos20+cos20=1Ocos20=1,cos2，從而sin?,

Q3

sin2，cos20=----，所以sincos，=,，

100910，

sin^(1+sin20)sin^(sin20+cos20+2sin0cos6).6?八八、

--------------------=---------------------------------------------=sin6(sin0+cos0)

sin0+cos0sin6+cos0

936

=sin29+sin，cos8=----F—=—.

10105

故選：C.

3.(2022?湖南益陽?一模)若」na+c°s°=：，則sin?a-sinacosa-3cos2a=

sina-cosa2

393

A1B.—C.—D.-

-io10102

【答案】C

,sina+cosa1—r.八.sina+cosatancr4-11.C

【解析】由1-------------=7可知：cosa^O,--------------=-----------=tana=-3,

sina-cosa2sintz-cosatana-12

sin2a-sinacosa-3cos2atan1A-tanA-3_9+3-3_9,,

又sin%-sinacosa-3cos%=

sin2A+cos2A1+S2A1+910

選C.

【題型四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】

必備技巧利用誘導(dǎo)公式化簡、求值的策略

⑴已知角求值問題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成銳角的三角

函數(shù)值求解,轉(zhuǎn)化過程中注意口訣"奇變偶不變，符號看象限”的應(yīng)用.

⑵對式子進(jìn)行化簡或求值時，要注意要求的角與已知角之間的關(guān)系，并結(jié)合誘導(dǎo)

公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，特別要注意角的范圍.

(3)常見的互余的角：、a與5+a,：+a與￡—a等，常見的互補(bǔ)的角：看+a與子一

434

sin(2左一a)cos(cr+—)cos(cr-2%)sin(—一a)

例6(2022?綏德中學(xué)高三月考)化簡:

9乃

cos(4-a)sin(3萬-a)sin(-a-))sin(^-+a)

【答案】1

【解析】由誘導(dǎo)公式可得,

TF37r

sin（24一a）cos（a+萬）cos（a-2乃）sin（：-a）

.9兀

cos（^-a）sin（3^-a）sin（-a-%）sin（^-+a）

_-sincr（-sina）cosa（-cosa）

-cosasinasinacosa

=1.

例7(1)(2022?江西九江市?九江一中高三期中)已知sin(a+f=4,則

A.-3B.-逅C巫D.巫

33