2022年廣東省肇慶市羅源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年廣東省肇慶市羅源中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為

A.

B.

C.

D.參考答案：A由題意可計(jì)算得；

；

，綜上，故選A.2.已知數(shù)列滿足，且是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則等于（

）A．24

B．32

C．48

D．64參考答案：D3.已知等比數(shù)列中，，則前9項(xiàng)之和等于（

）Ks5uA．50

B．70

C．80

D．90參考答案：B4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：B【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算并輸出k的值．【解答】解：第一次循環(huán)：n=3×5+1=16，k=0+1=1，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：n==8，k=1+1=2，繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)：n==4，k=2+1=3，繼續(xù)循環(huán)；第四次循環(huán)：n==2，k=3+1=4，繼續(xù)循環(huán)；第五次循環(huán)：n==1，k=4+1=5，結(jié)束循環(huán)．輸出k=5．故選B．5.某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備．該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)（

）年后需要更新設(shè)備.A.

10

B.11

C.13

D.

21參考答案：A由題意可知年的維護(hù)費(fèi)用為，所以年平均污水處理費(fèi)用為，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以選A.6.已知四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)E、F分別在線段PA、PC上，且EF∥底面ABCD，則異面直線EF與PB所成角的大小為（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：D【分析】連接，，設(shè)，由線面平行的性質(zhì)定理推得，運(yùn)用線面垂直的判定定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理和平行線的性質(zhì)，即可得到所求角．【詳解】解：連接，，設(shè)，則平面，平面平面，由底面，可得，由四邊形為菱形，可得，由為的中點(diǎn)，，可得，又，平面，平面，可得平面，又平面，則，又，可得，即異面直線與所成角的大小為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的判定和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．7.等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)半徑為1的球面上，A、B兩點(diǎn)的球面距是，

則△ABC的外接圓面積為

（

）

A．B．C．D．參考答案：C略8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為(

)

A

y=cos2x，xR

B.

y=log2|x|，xR且x≠0

C.y=，xR

D.，xR

參考答案：BA,B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)，D為非奇非偶函數(shù)，排除C,D.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，選B.9.函數(shù)f（x）是自變量不為零的偶函數(shù)，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在實(shí)數(shù)n使得f（m）=g（n），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】求出g（x）的范圍，利用存在實(shí)數(shù)n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，即﹣1≤log2|m|≤1，，∴，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10.（10）設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若有且只有一對(duì)相較于點(diǎn)、所成的角為的直線和，使，其中、和、分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=x2﹣2x+5的定義域是x∈（﹣1，2]，值域是．參考答案：[4，8）考點(diǎn)：函數(shù)的值域．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意，配方法化簡(jiǎn)f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4；從而求值域．解答：解：f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4；∵x∈（﹣1，2]，∴（x﹣1）2+4∈[4，8）；故答案為：[4，8）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．12.平面上的向量與滿足，且，若點(diǎn)滿足，則的最小值為______________________參考答案：由得，所以。即的最小值為。13.

已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,4](x∈[－2，2])，函數(shù)g(x)＝ax－1，x∈[－2,2]任意x1∈[－2,2]，總存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：a≥或a≤－

14.已知四棱錐P-ABCD的外接球?yàn)榍騉，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且，AB=4，則球O的表面積為

．參考答案：設(shè)球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，

∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且有側(cè)面PAD⊥底面ABCD，

∴四棱錐的高為，底面矩形外接圓半徑為，

∴5+h2=(－h(huán))2+4，∴h=，∴R2=5+h2=，∴四棱錐的外接球表面積為，故答案為.

15.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長(zhǎng)度單位為m），則該幾何體的體積為__________m3．參考答案：4略16.若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：4【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意可得，f（﹣x）=f（x）對(duì)于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對(duì)于任意的x都成立，從而可求a【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)∴f（﹣x）=f（x）對(duì)于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題17.若函數(shù)對(duì)定義域D內(nèi)的每一個(gè)x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，則稱f(x)為“自倒函數(shù)”．給出下列命題：

①是自倒函數(shù)；

②自倒函數(shù)f(x)可以是奇函數(shù)；

③自倒函數(shù)f(x)的值域可以是R；

④若都是自倒函數(shù)，且定義域相同，則也是自倒函數(shù)．

則以上命題正確的是

(寫出所有正確命題的序號(hào))．參考答案：①②為上的單調(diào)函數(shù)，否則方程不止一個(gè)實(shí)數(shù)解．對(duì)于①，在是單調(diào)增函數(shù)，且其值域?yàn)?，?duì)于任意的，則，故在有唯一解，①正確；對(duì)于②，取，，的值域?yàn)?，因?yàn)樵诤投际菃握{(diào)減函數(shù)，故對(duì)于，有唯一解，，為“自倒函數(shù)”，②正確；對(duì)于③，如果的值域?yàn)?，取，無(wú)解，③不正確；④取，其中，它們都是“自倒函數(shù)”，但是，這是常數(shù)函數(shù)，它不是“自倒函數(shù)”．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)（Ⅰ）當(dāng)，解不等式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（I）時(shí)原不等式等價(jià)于即，所以解集為．---------------5分（II）當(dāng)時(shí)，，令，由圖像知：當(dāng)時(shí)，取得最小值,由題意知：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.-------------------10分略19.已知．（1）解關(guān)于的不等式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1），由可得∴不等式的解集為．（2）由（1）知的最小值為2，∴恒成立等價(jià)于，即，∴，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,1)． 20.已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）比較與的大小且，并證明你的結(jié)論.參考答案：（I）見解析；（II）見解析【分析】（Ⅰ）運(yùn)用零點(diǎn)法，把函數(shù)的解析式進(jìn)行分段表示，然后利用導(dǎo)數(shù)，判斷每段函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知當(dāng)，時(shí)，，即，所以.這樣，注意到，最后可以得出：.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)可化為，當(dāng)時(shí)，，從而在上總是遞減的，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)要考慮與1的大小.若，則，故在上遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，在上遞增，而在處連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)，時(shí)，，即，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，判斷數(shù)列的和求代數(shù)式之間的大小關(guān)系，放縮法是解題的關(guān)鍵.21.（14分）在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an﹣qan﹣1（n≥2，q≠0）．（Ⅰ）設(shè)bn=an+1﹣an（n∈N*），證明{bn}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)．參考答案：【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定；等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）整理an+1=（1+q）an﹣qan﹣1得an+1﹣an=q（an﹣an﹣1）代入bn中進(jìn)而可證明{bn}是等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可分別求得a2﹣a1，a3﹣a2，…an﹣an﹣1，將以上各式相加，答案可得．（Ⅲ）由（Ⅱ），當(dāng)q=1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，判斷q≠1．根據(jù)a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求得q．用q分別表示出an，an+3與an+6進(jìn)而根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)an+1=（1+q）an﹣qan﹣1（n≥2），得an+1﹣an=q（an﹣an﹣1），即bn=qbn﹣1，n≥2．又b1=a2﹣a1=1，q≠0，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）a2﹣a1=1，a3﹣a2=q，…an﹣an﹣1=qn﹣2，（n≥2）．將以上各式相加，得an﹣a1=1+q+…+qn﹣2（n≥2）．所以當(dāng)n≥2時(shí)，上式對(duì)n=1顯然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），當(dāng)q=1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q≠1．由a3﹣a6=a9﹣a3可得q5﹣q2=q2﹣q8，由q≠0得q3﹣1=1﹣q6，①整理得（q3）2+q3﹣2=0，解得q3=﹣2或q3=1（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得an﹣an+3=an+6﹣an，n∈N*．所以對(duì)任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．22.（本題滿分13分）已知橢圓的方程為,其中.（Ⅰ）求橢圓形狀最圓時(shí)的方程；（Ⅱ）若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上.參考答案：（Ⅰ）根據(jù)已知條件有，且，