2021-2022學(xué)年浙江省寧波市余姚第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年浙江省寧波市余姚第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖．G2【答案解析】A

解析：因?yàn)橐粋€(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：

故選A．【思路點(diǎn)撥】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．2.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則

（

）A.B.C.D.參考答案：C略3.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金杖，長五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何？”其大意是：“現(xiàn)有一根長五尺的金杖，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺重4斤．在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，則金杖的質(zhì)量為（）A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意可知等差數(shù)列的首項(xiàng)和第5項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得金杖的質(zhì)量為．【解答】解：由題意可知等差數(shù)列中a1=4，a5=2，則d=，∴，，．∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；S5=，∴金杖重15斤．故選：B．4.已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，則(

)A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3，a2<a4C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4參考答案：B∵，∴，得，即，∴.若，則，，矛盾.∴，則，.∴，.5.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上實(shí)根的個(gè)數(shù)是（

）A．7

B．8

C.9

D．10參考答案：C由題意知，，所以是以2為周期的函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示，觀察圖象可知這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上的交點(diǎn)有9個(gè)，故選C.

6.在中，，，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.如圖，半徑為1的扇形中，，是弧上的一點(diǎn)，且滿足，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．

B．

C.1

D．參考答案：C8.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為 A． B． C．

D．參考答案：B9.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū);間(.）A．

(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)參考答案：B10.如圖是函數(shù)y=sin（ωx+j）（x∈R）在區(qū)間[-，]上的圖像，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將y=sinx（x∈R）的圖像上所有點(diǎn)

A．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。

B．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變。

C．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。

D．向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變。參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則

。參考答案：略12.為了參加全市的中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競賽，綿陽一中舉行選拔賽，共有2000名學(xué)生參加.為了了解成績情況，從中抽取了50名學(xué)生成績（得分均為整數(shù)，滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)請(qǐng)你根據(jù)如下表所示未完成的頻率分布表，估計(jì)該校成績超過80分的人數(shù)為______.參考答案：88013.已知六棱錐P-ABCDEF的七個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若，PA⊥底面ABCDEF，且六邊形ABCDEF是邊長為1的正六邊形，則球O的體積為____________________.參考答案：【分析】根據(jù)底面為正六邊形，可知底面外接圓的半徑為，由勾股定理可求外接球的半徑，即可求出體積.【詳解】解：在六棱錐中，由于底面正六邊形邊長為1，故底面外接圓半徑，，底面，設(shè)外接球的半徑為則解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查錐體的外接球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)，定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間[1，2013]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有

個(gè)參考答案：915.已知雙曲線C的方程為﹣=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=120°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線C的離心率的取值范圍是．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得＞tan60°=，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．【解答】解：由C的右支上存在兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=120°，而漸近線方程為y=±x，可得＞tan60°=，即為b＞a，即為b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即有c2＞4a2，即c＞2a，e=＞2，故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.設(shè)復(fù)數(shù),則=

▲

.參考答案：答案：

17.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為________.參考答案：6【分析】令解得時(shí)方程的根，作和即為所求零點(diǎn)之和.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，解得：或所求零點(diǎn)之和為：本題正確結(jié)果：6【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品?，F(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做實(shí)驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：（以下均視頻率為概率）A配方的頻數(shù)分布表

B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[75,80)[80,85)

[85,90)[90,95)

指標(biāo)值分組[75,80)[80,85)

[85,90)[90,95)[75,80)頻數(shù)10304020頻數(shù)510154030(1)若從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)品”為事件，求事件的概率；(2)若兩種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)值滿足如下關(guān)系：，從長期來看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大？參考答案：(1)（2）投資A配方的產(chǎn)品平均利潤大.

(2)A的分布列為：yt5t2P0.60.4∴E(A)=0.6t+2t2B的分布列為：yt5t2t2P0.70.250.05∴E(B)=0.7t+1.3t2∵∴∴E(A)較大，投資A.考點(diǎn)：1.隨機(jī)事件的概率；2.隨機(jī)事件的概率分布列與期望.19.(本題滿分14分)在直角坐標(biāo)系xOy中，若角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊為射線l：(≥0)．（1）求的值；（2）若點(diǎn)P，Q分別是角始邊、終邊上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=4，求△POQ面積最大時(shí)，點(diǎn)P，

Q的坐標(biāo)．參考答案：(1)由射線的方程為，可得，………2分故＝．

………………4分(2)設(shè)．在中，因?yàn)椋?/p>

………………6分即，所以≤4

…………8分所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號(hào)．…10分所以面積最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．…………14分略20.如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD=2，AB=1，在邊AD的中點(diǎn)O處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠EOF始終為，設(shè)∠AOE=α，探照燈照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S；（1）當(dāng)時(shí)，求S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求S的最大值；（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個(gè)來回”，忽略O(shè)E在OA及OC處所用的時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且，求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中被照到的時(shí)間．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根據(jù)題意過點(diǎn)O作OH⊥BC于H．再討論α的范圍，可得當(dāng)0≤α≤時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上，因此S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF；當(dāng)＜α＜時(shí)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上，因此S=S△OEF．由此即可得到當(dāng)0≤α＜時(shí)S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等號(hào)成立的條件；（3）求出在“一個(gè)來回”中OE共轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，并求出其中點(diǎn)G被照到時(shí)共轉(zhuǎn)的角度，結(jié)合題意列式即可求出“一個(gè)來回”中點(diǎn)G被照到的時(shí)間．【解答】解：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足當(dāng)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），此時(shí)，AE=tanα，F(xiàn)H=tan（﹣α），∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF；當(dāng)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），EH=，F(xiàn)H=；（2）當(dāng)，；即S=2﹣，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．，當(dāng)tanα=﹣1時(shí)，S取得最大值為2﹣（3）在“一個(gè)來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×=，其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2×=，∴在“一個(gè)來回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間為9×=2分鐘；21.（本題滿分12分）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且(是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求.參考答案：解：設(shè)（），

…………1分∵，∴，

……………………3分

而，

………………