北京北方交通大學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

北京北方交通大學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角B的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A由余弦定理，得，即，由，知角.選.2.已知命題：，命題，若命題

是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略3.設(shè)△AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，則（）A．{Sn}為遞減數(shù)列B．{Sn}為遞增數(shù)列C．{S2n﹣1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n﹣1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列參考答案：B【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的邊BnCn為定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，則在△AnBnCn中邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值，由此可知頂點An在以Bn、Cn為焦點的橢圓上，根據(jù)bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞時bn→cn，據(jù)此可判斷△AnBnCn的邊BnCn的高hn隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由題意，+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，又由題意，bn+1﹣cn+1=，∴=a1﹣bn，∴bn+1﹣a1=，∴bn﹣a1=，∴，cn=2a1﹣bn=，∴[][]=[﹣]單調(diào)遞增（可證當n=1時＞0）故選B．4.如圖，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當這個幾何體的體積最大時圓的半徑是（

） A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，數(shù)列滿足（其中為的前項和），則A.3 B.2 C. D.參考答案：【知識點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性．B4A

解析：由函數(shù)為奇函數(shù)得，又所以，所以，，即函數(shù)是以3為周期的周期函數(shù).由兩式相減并整理得，，即，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，首項為，故，所以，所以故選A.【思路點撥】先由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)和，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63計算即可．6.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x-y的取值范圍是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

參考答案：B繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點處取得最小值.在點處取得最大值.本題選擇B選項.

7.設(shè)F為雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點，若OF的垂直平分線與漸近線在第一象限內(nèi)的交點到另一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得交點坐標，利用點到直線的距離公式可知：=，即可求得4a2=3c2，利用雙曲線的離心率即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線（a＞0，b＞0）漸近線方程y=±x，由OF的垂直平分線為x=，將x=，代入y=x，則y=，則交點坐標為（，），由（，），到y(tǒng)=﹣x，即bx+ay=0的距離d===，解得：c=2b=2，即4a2=3c2，則雙曲線的離心率e==，故選：B．8.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A.若，則B.若，則C.若，且，則D.若，且，則參考答案：D【分析】根據(jù)空間中直線和平面的位置關(guān)系分別去判斷各個選項，均可舉出反例；可證明得出.【詳解】若，，則或與異面或與相交，故選項錯誤；若，，則與可能相交，故選項錯誤；若直線不相交，則平面不一定平行，故選項錯誤；，

或，又

，故選項正確.本題正確選項：【點睛】本題考查空間中直線、平面之間位置關(guān)系有關(guān)命題的判斷，考查學(xué)生的空間想象能力和對定理的掌握程度.9.若直角坐標平面內(nèi)的兩點P、Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P、Q關(guān)于原點對稱，則稱點對［P，Q］是函數(shù)y=f（x）的一個“友好點對”（點對［P，Q］與［Q，P］看作同一個“友好點對”）．已知函數(shù)f(x)=，則此函數(shù)的“友好點對”有（

）A、0對B、1對C、2對D、3對參考答案：考點：函數(shù)圖像.10.命題：；命題：，，則下列命題中為真命題的是A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.根據(jù)如圖所示的偽代碼可知，輸出的結(jié)果為

．參考答案：70【考點】程序框圖．【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，可得當i=9時不滿足條件i＜8，退出循環(huán)，輸出S的值為70．【解答】解：模擬程序的運行，可得i=1，S=﹣2滿足條件i＜8，執(zhí)行循環(huán)體，i=3，S=7滿足條件i＜8，執(zhí)行循環(huán)體，i=5，S=22滿足條件i＜8，執(zhí)行循環(huán)體，i=7，S=43滿足條件i＜8，執(zhí)行循環(huán)體，i=9，S=70不滿足條件i＜8，退出循環(huán)，輸出S的值為70．故答案為：70．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，當循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時，常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎(chǔ)題．12.不等式的解集是

．參考答案：13.在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令=，=，若=x+y（x，y∈R）．現(xiàn)給出下面結(jié)論：①當x=時，點D是△ABC的重心；②記△ABD，△ACD的面積分別為S△ABD，S△ACD，當x=時，；③若點D在△ABC內(nèi)部（不含邊界），則的取值范圍是；④若=λ，其中點E在直線BC上，則當x=4，y=3時，λ=5．其中正確的有

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．參考答案：①②③【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義．【分析】①設(shè)BC的中點為M，判斷是否與相等即可；②設(shè)，，將△ABD，△ACD的面積轉(zhuǎn)化為△APD，△AQD的面積來表示；③求出x，y的范圍，利用線性規(guī)劃知識求出的范圍；④用表示出，根據(jù)共線定理解出λ．【解答】解：①設(shè)BC的中點為M，則=，當x=y=時，=，∴D為AM靠近M的三等分點，故D為△ABC的重心．故①正確．②設(shè)，，則S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，∴，故②正確．③∵D在△ABC的內(nèi)部，∴，作出平面區(qū)域如圖所示：令=k，則k為過點N（﹣2，﹣1）的點與平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y）的直線的斜率．∴k的最小值為kNS=，最大值為kNR=1．故③正確．④當x=4，y=3時，，∵，∴=，∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④錯誤．故答案為：①②③．14.當和取遍所有實數(shù)時，恒成立，則的最小值為

.參考答案：15.直線與函數(shù)的圖象恰有三個公共點，則實數(shù)的取

值范圍是

▲

。參考答案：16.函數(shù)的最小正周期為

.參考答案：17.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：連結(jié)，因，是的中點，故．

又因平面平面，故平面，

…………2分于是．

又，所以平面，

所以， …………4分又因，故平面，所以． …………6分（Ⅱ）解法一：由（I），得．不妨設(shè)，．

…………7分因為直線與平面所成的角，故，所以，為等邊三角形．

…………9分設(shè)，則，分別為，的中點，也是等邊三角形．取的中點，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角．

…………12分在中，，，

…………13分故，即二面角的余弦值為．

…………14分

解法二：取的中點，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．不妨設(shè)，，則，，，，

…………8分從而，.

設(shè)平面的法向量為，由，得，可?。?/p>

…………10分同理，可取平面的一個法向量為

．

………12分于是，

……13分易見二面角的平面角與互補，所以二面角的余弦值為．

…………14分

略19.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣﹣bx．（1）當a=﹣2，b=3時，求函數(shù)f（x）的極值；（2）令F（x）=f（x）+，其圖象上任意一點P（x0，y0）處切線的斜率k≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當a=0，b=﹣1時，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)恰有兩個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）將a，b的值帶入f（x），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的極值即可；（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥，從而求出a的范圍即可；（3）求出f（x）的解析式，問題轉(zhuǎn)化為m=1+在區(qū)間[1，e2]內(nèi)恰有兩個實數(shù)解．【解答】解：（1）依題意，f（x）的定義域為（0，+∞），當a=﹣2，b=3時，f（x）=lnx+x2﹣3x，（x＞0），f′（x）=或x=1列表f（x）的極大值為，f（x）的極小值為f（1）=﹣2；（2）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，則有k=F'（x0）=，在（0，3]上有解，∴a≥所以當x=1時，﹣取得最小值，∴a≥．（3）當a=0，b=﹣1時，f（x）=lnx+x=mx，（x∈[1，e2]），得m=1+，時方程有兩個實數(shù)解．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．20.已知曲線，直線（為參數(shù)）（1）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；過曲線上任意一點作與夾角為30°的直線，交于點，求的最大值與最小值.參考答案：.(Ⅰ)曲線C的參數(shù)方程為：

（為參數(shù)），直線l的普通方程為：

………5分（Ⅱ）（2）在曲線C上任意取一點P(2cos,3sin)到l的距離為，則??，其中為銳角．且.當時，取得最大值，最大值為；當時，取得最小值，最小值為.

…………10分21.已知集合，其中，表示的所有不同值的個數(shù)．（1）已知集合，，分別求，；（3）求的最小值．參考答案：解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得l(P)＝5

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l(Q)＝6

（3）不妨設(shè)a1＜a2＜a3＜…＜an，可得a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an，故ai＋aj(1≤i＜j≤n)中至少有2n－3個不同的數(shù)，即l(A)≥2n－3．事實上，設(shè)a1，a2，a3，…，an成等差數(shù)列，考慮ai＋aj(1≤i＜j≤n)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當i＋j≤n時，ai＋aj＝a1＋ai＋j－1；當i＋j＞n時，ai＋aj＝ai＋j－n＋an；因此每個和ai＋aj(1≤i＜j≤n)等于a1＋ak(2≤k≤n)中的一個，或者等于al＋an(2≤l≤n－1)中的一個．故對這樣的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值為2n－3．

略22.斜率為的直線l與橢圓+=1（a＞b＞0）交于不同的兩點A、B．若點A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點．（1）求橢圓的離心率；（2）P是橢圓上的動點，若△PAB面積最大值是4，求該橢圓的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標準方程．【分析】（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點坐標，根據(jù)兩點間的斜率公式，求出離心率e；（2）由（1）知，設(shè)出橢圓的標準方