等差數(shù)列及前和

等差數(shù)列及前和第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。等差數(shù)列定義第2項(xiàng)起同一個(gè)常數(shù)第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4、數(shù)列-3，-2，-1，1，2，3；練一練公差是3不是

公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.注意3、數(shù)列1,1,1,1,1；

公差是02、數(shù)列6，4，2，0，-2，-4；公差是-2判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列；如果是，求出公差1、數(shù)列4，7，10，13，16，….第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，它的公差是d，那么…，…，由此可知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為當(dāng)d≠0時(shí)，這是關(guān)于n的一個(gè)一次函數(shù)。第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此得到：（通項(xiàng)公式）分析2：根據(jù)等差數(shù)列的定義：第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

結(jié)論：若一個(gè)等差數(shù)列，它的首項(xiàng)為，公差是d，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是：a1、d、n、an中知三求一第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在等差數(shù)列｛an｝中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+9×3=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)×2n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5dd=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10練一練第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

例1.

1）等差數(shù)列8，5，2,······的第20項(xiàng)是幾？

2）-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13······的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：1）由題意得，a1=8,d=-3

2）由題意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d∴n=100∴-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)?！郺20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4)第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五=

即得第二通項(xiàng)公式

∴d=知識(shí)延伸：第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2.在等差數(shù)列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d。解：由題意，a5=a1+4da12=a1+11d解之得a1=-2d=3若讓求a7，怎樣求？即10=a1+4d31=a1+11d第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=0

2.在等差數(shù)列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由題意得，a1+d=3,a1+3d=7∴a6=a1+5d=1+5×2=11a8=a1+7d=1+7×2=15∴a1=1,d=2鞏固練習(xí)第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五基礎(chǔ)自測(cè)1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7＝(

)A．12

B．13

C．14

D．15【答案】B第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(

)A．40 B．42C．43 D．45【答案】B【解析】等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13.∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n項(xiàng)和Sn＝100，則n＝(

)A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【解析】由a1＝1，a3＋a5＝14，得公差d＝2，又由n＋n(n－1)＝100得n＝10.第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝－5n＋2，則其前n項(xiàng)和Sn＝

.第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【答案】4第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五提問(wèn)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：

A–a=b-A即例如5如果a，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么A

叫做a與b的等差中項(xiàng)

等差中項(xiàng)第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五等差數(shù)列的圖象1（1）數(shù)列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五等差數(shù)列的圖象2（2）數(shù)列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五等差數(shù)列的圖象3（1）數(shù)列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

1.一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差是多少？解：由題意得，

a6=a1+5d＞0a7=a1+6d＜0

2.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為30，這個(gè)數(shù)列從第12項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，求公差d的范圍。解：a12=30+11d＜0a11=30+10d≥0∵d∈Z∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6∴-3≤d＜-30/11即公差d的范圍為：-3≤d＜-30/11應(yīng)用延伸第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1．(2010重慶卷·文)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(

)A．5

B．6

C．8

D．10【答案】A【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.在等差數(shù)列{an}中，2a5＝a1＋a9＝10，∴a5＝5.故選擇A.第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2．(2009高考山東卷·文)在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝

.【答案】13【解析】設(shè)公差為d，則由a5＝a2＋6知d＝2，故a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3．(2011湖南卷·理)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝

.【答案】25第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五性質(zhì)3：等差數(shù)列平均分組，各組之和仍為等差數(shù)列．即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數(shù)列．

第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范圍；(2)問(wèn)前幾項(xiàng)的和最大，并說(shuō)明理由．【分析】解決此類(lèi)問(wèn)題有兩條思路：一是利用前n項(xiàng)和公式，可以用配方法求最值，也可以用頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d>0時(shí)，一定為遞增數(shù)列，當(dāng)d<0時(shí)，一定為遞減數(shù)列，所以當(dāng)a1>0且d<0時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和才有最大值，而最大值是將所有非負(fù)項(xiàng)求和；當(dāng)a1<0且d>0時(shí)，無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和才有最小值，其最小值是將所有非正項(xiàng)求和．第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五【點(diǎn)評(píng)】本題給出了有關(guān)數(shù)列中最值問(wèn)題的三種解答思路，揭示了數(shù)列、函數(shù)、不等式知識(shí)之間的聯(lián)系．第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1．(2011江西卷·文)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10＝S11，則a1＝(

)A．18

B．20

C．22

D．24【答案】B【解析】因?yàn)镾10＝S11，所以a11＝0.又因?yàn)閍11＝a1＋10d，所以a1＝20.故選擇B.第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2．(2011天津卷·文)已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，則S10＝

.【答案】110第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3．(2010遼寧卷·文)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝

.【答案】15第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4．(2009高考海南卷·理)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，則m＝

.【答案】10第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五5．(2011安徽卷·理)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為

.【答案】15【解析】由于三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，故可設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x－4，x，x＋4.由一個(gè)內(nèi)角為120°知其必是最長(zhǎng)邊x＋4所對(duì)的角．由余弦定理得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin120°＝15.第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五6.在等差數(shù)列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1