翻轉(zhuǎn)課堂之對變化進行建模

翻轉(zhuǎn)課堂之對變化進行建模第一頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五我們常見的模型玩具，飛機，火箭模型......實物模型地圖，電路圖，分子結(jié)構(gòu)圖......符號模型水箱中的艦艇，風(fēng)洞中的飛機......物理模型模型

是為了一定的目的，對客觀事物的一部分進行減縮、抽象、提煉出來的原型的替代物，而且集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。模型是對實際現(xiàn)象的理想化，他可以幫助我們更好更快的了解一種行為或幫助我們規(guī)劃未來。因此，對變化進行建模是十分必要的。第二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五實例：航行問題

甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是什么？解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：（x＋y）×30=750（x－y）×50=750解得x=20y=5答：船速每小時20千米/小時。第三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟做出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）用符號表示有關(guān)量（x、y表示船速和水速）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）求解得到數(shù)學(xué)答案（x=20，y=5）回答原問題（船速每小時20千米/小時）在我們?nèi)粘Ｉ钪?，各種各樣的實際問題需要我們運用模型來簡化，以便于我們的研究發(fā)展除了航行問題，還有汽車的剎車減速問題、微生物的繁殖問題、彩票中獎等等第四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五WHAT數(shù)學(xué)模型

對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)WHY

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。第五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五HOW數(shù)學(xué)建模的過程

實際問題的數(shù)據(jù)簡化模型分析數(shù)學(xué)結(jié)論翻譯預(yù)測/解釋檢驗實際問題的數(shù)據(jù)第六頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五簡化多數(shù)模型簡化了實際情形。一般說，模型只能近似的表達(dá)實際行為。一種非常有利的簡化關(guān)系就是比例關(guān)系。定義比例關(guān)系

兩個變量y和x是（一個對一個）成比例的，如果一個變量總是另一個變量的常數(shù)倍；即如果對某個非零常數(shù)k，有y=kx這個定義的含義就是y作為x的函數(shù)的圖形位于一條過原點的直線上。在測試給定的數(shù)據(jù)集是否合乎比例關(guān)系時，對圖形的觀察常常是有幫助的。如果比例關(guān)系是合理的，那么一個變量對另一個變量的圖示就應(yīng)近似位于一條過原點的直線上。第七頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五

先聯(lián)系一下我們密切相關(guān)的校園從同和樓到北苑有一個坡度很大的下坡路，如果校車司機在下坡時不控制車速，或者及時反映采取剎車等必要措施，很有可能造成不同程度的危險。那么我們該怎樣簡化這一過程呢？例1、（測試司機反映距離的比例關(guān)系）在驚慌之余的緊急停車過程中，汽車司機必須對緊急情況作出反應(yīng)，然后剎車，并把車停下來。什么是汽車司機的安全緊隨距離呢？為回答這個問題，知道在剎車前車輛以給定速度走了多遠(yuǎn)是有幫助的（司機反映距離）。美國公路局對一大批汽車司機采集了反映距離和剎車距離的數(shù)據(jù)。表中x是以每小時英里數(shù)（mph）計的汽車速度，而y是以英尺（ft）計的剎車前汽車走過的距離。x（mph）20253035404550556065707580y（ft）22283339445055616672777788司機反應(yīng)距離第八頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五反應(yīng)距離對速度的圖示從數(shù)據(jù)采集情況來看，假定緊急情況作出反應(yīng)所需要的時間近似不變，那么反應(yīng)期間走過的距離和速度成比例，圖中的點位于過原點的一條直線上，所以比例性假設(shè)是有依據(jù)的。我們可以通過圖形估計比例常數(shù)，近似求得該直線的斜率。y=1.1x速度距離XY第九頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五驗證模型我們過去通過把函數(shù)圖形重疊到散點圖上來測試方程擬合該數(shù)據(jù)有多好，另一種方法就是考察誤差和殘差。殘差=觀察值-預(yù)測值也就是真實數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的差值作為判斷模型的合適性以及獲得如何改進模型的洞察力的一種強有力的方法就是做出殘差對自變量的圖形，然后觀察誤差的相對大小。第十頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五模型構(gòu)建過程模型構(gòu)建的步驟第一步識別問題

為估計安全緊隨距離，我們決定先估算司機的反應(yīng)距離第二步對要包括那些變量以及這些變量間的關(guān)系作出假設(shè)反應(yīng)距離依賴于包括速度、能見度、天氣以及司機的年齡等許多因素。為簡單起見，我們假設(shè)反映距離只依賴于速度。我們還進一步假設(shè)反映距離和速度成比例。第三步求一個滿足這些關(guān)系的函數(shù)或圖形我們通過確定反映距離對速度的散點圖是否近似于沿一條過原點的直線來測試成比例關(guān)系的假設(shè)。因為確實如此，所以我們可以計算該直線的斜率，它就是比例常數(shù)。第四步檢驗?zāi)Ｐ头治鰵埐畹拇笮『湍Ｊ降谑豁?，共十七頁，編輯?023年，星期五經(jīng)驗建模：抓住所收集數(shù)據(jù)的趨勢在例1中，我們假設(shè)了因變量和自變量之間的一種關(guān)系。另一種構(gòu)建模型的方法是采集數(shù)據(jù)并找到能抓住數(shù)據(jù)趨勢的模型。這種經(jīng)驗方法既有優(yōu)點也有缺點第十二頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五例2（求預(yù)測種群水平的曲線）我們可能要預(yù)測某個種群未來數(shù)量的大小，例如漁場的鮭魚和鯰魚的數(shù)目。下表展示了酵母細(xì)胞在營養(yǎng)物中隨時間增長的數(shù)據(jù)。時間X01234567生物量Y9.618.32947.271.1119.1174.6257.3散點圖顯示了比較光滑的且有一種向上彎曲的趨勢。我們可以試圖利用多項式（例如，二次多項式y(tǒng)=ax2+bx+c）或冪函數(shù)(y=ax^b)或指數(shù)函數(shù)(y=ae^bx)來擬合這個趨勢.第十三頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五用計算器可以擬合一個二次模型y=6.10x2-9.28x+16.43，這個模型恰當(dāng)?shù)臄M合了所采集的數(shù)據(jù)，利用這個模型，我們就可以對未來的變化情況做出預(yù)測，同時用實際的觀測值與模型的預(yù)測值相比較，從而計算出殘差，進一步檢驗該數(shù)學(xué)模型的擬合程度。時間0123456789101112131415161718觀測值9.618.32947.271.1119.1174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8預(yù)測值16.213.422.543.677.7122.3188.2255.2333.2422.4533.5655.2788.1922.41088.51255.61433.71622.81827.3第十四頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五顯然，上述模型預(yù)測值與實際觀測值有較大的偏差，為什么二次模型不能預(yù)測更精確的值呢？問題在于預(yù)測的能力及范圍超出了用來建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷臄?shù)據(jù)的范圍，當(dāng)所選的模型不是由某種建議這種形式模型的根本性的理由所支持的時候，這種外推特別危險，在例2中，為什么我們要預(yù)測二次函數(shù)作為基本的種群增長模型呢？為什么不是指數(shù)函數(shù)？面對這些問題，我們應(yīng)該怎樣預(yù)測將來的值呢？這就需要用運到微積分第十五頁，共十七頁，編輯于2023年，星期五在建模中應(yīng)用微積分微積分的