2023年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版)

2023年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一.填空題(本大題總分值56分)本大題共有12題，考生必須在答題紙相應(yīng)

編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，第1?6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7?12題每個(gè)

空格填對(duì)得5分，否那么一律得零分.

1.設(shè)集合M={X|X2=X},N={x|lgxW0},那么MAN.

2.a,bGR,i是虛數(shù)單位.假設(shè)a+i=2-bi,那么(a+bi)2=.

3.函數(shù)f(x)=ax-l的圖象經(jīng)過［1,1)點(diǎn)，那么fi(3).

4.不等式x|x-l|>0的解集為.

5.向量(sinx,cosx),己=(sinx,sinx),那么函數(shù)f(x)=彳。的最小正周期

為.

6.里約奧運(yùn)會(huì)游泳小組賽采用抽簽方法決定運(yùn)發(fā)動(dòng)比賽的泳道.在由2名中國

運(yùn)發(fā)動(dòng)和6名外國運(yùn)發(fā)動(dòng)組成的小組中，2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道的概

率為.

7.按如下圖的程序框圖運(yùn)算：假設(shè)輸入x=17,那么輸出的x值是.

,^91

n23n

8.設(shè)(1+x)=ao+aix+a2x+a3X+...+anx,假設(shè)—=—,那么n=.

9.圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,如果圓錐的體積與球的體積恰好也相等,

那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是cm2.

么IPF1I+IPF2I的最大值=.

J-v2+4x—3>

11.函數(shù)f(x)=?J，假設(shè)F(x)=f(x)-kx在其定義

2X-8,x>3

域內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k@.

12.數(shù)列{aj滿足ai=l,a2=3,假設(shè)-a/=2n(n6N*),且⑸…}是遞增數(shù)

列、&}是遞減數(shù)列，那么日?qǐng)F(tuán)生工.

二、選擇題(本大題總分值20分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答

案，考生必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，

否那么一律得零分.

13.a,b￡R,那么"ab>0"是也+々>2"的()

ab

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)P在截面AiDB上，那么

線段AP的最小值等于()

A.—B.—C.返D.返

3232

/\

Siidio3ii12

.假設(shè)矩陣"滿足：且1那么

15an，a.a2i，a22e{0,1},=0,

121a22)a21a22

這樣的互不相等的矩陣共有()

A.2個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)

16.解不等式依)x-x+*>0時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-x,由f(x)在

x￡R是減函數(shù)，及f(x)>f(1),可得x<l.用類似的方法可求得不等式

arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為()

A.(0,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.[-1,0)

三.解答題(本大題總分值74分)本大題共有5題，解答以下各題必須在答題

紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.如圖在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=a,E是棱PC的中點(diǎn).

(1)求證：PC1BD；

(2)求直線BE與PA所成角的余弦值.

18.函數(shù)F(x)=a，2X-1,(a為實(shí)數(shù)).

2X+1

(1)根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f[x)的奇偶性，并說明理由；

(2)假設(shè)對(duì)任意的x2l,都有l(wèi)Wf(x)W3,求a的取值范圍.

19.上海市松江區(qū)天馬山上的“護(hù)珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號(hào)

稱“世界第一斜塔”.興趣小組同學(xué)實(shí)施如下方案來測(cè)量塔的傾斜度和塔高：如

圖，記。點(diǎn)為塔基、P點(diǎn)為塔尖、點(diǎn)P在地面上的射影為點(diǎn)H.在塔身OP射影

所在直線上選點(diǎn)A,使仰角kZHAP=45°,過。點(diǎn)與OA成120。的地面上選B點(diǎn)，

使仰角NHPB=45°(點(diǎn)A、B、。都在同一水平面上)，此時(shí)測(cè)得NOAB=27。，A與

B之間距離為33.6米.試求：

(1)塔高(即線段PH的長，精確到0.1米)；

(2)塔身的傾斜度(即PO與PH的夾角，精確到0.1。).

22

20.雙曲線C：三-弓=1經(jīng)過點(diǎn)(2,3),兩條漸近線的夾角為60。，直線I交

b2

雙曲線于A、B兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)假設(shè)I過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A,B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率kpA，

kpB均存在，求證：kpA?kpB為定值；

(3)假設(shè)I過雙曲線的右焦點(diǎn)Fi，是否存在x軸上的點(diǎn)M(m,0),使得直線I

繞點(diǎn)Fi無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有瓦?而=0成立？假設(shè)存在，求出M的坐標(biāo)；假設(shè)不

存在，請(qǐng)說明理由.

21.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2,那么稱這個(gè)數(shù)

列為"H型數(shù)列".

⑴假設(shè)數(shù)列｛a。｝為"H型數(shù)列"，且ai」-3,a2=^,a3=4,求實(shí)數(shù)m的取值

IDID

范圍；

(2)是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛aj為"H型數(shù)列〃，且其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn

<n2+n(n￡N*)?假設(shè)存在，請(qǐng)求出｛aj的通項(xiàng)公式；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理

由.

(3)等比數(shù)列｛aj的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且｛aj為"H型數(shù)列〃，bn=|an,

Cn=----------當(dāng)數(shù)列｛卜｝不是"H型數(shù)列"時(shí)，試判斷數(shù)列｛CJ是否為"H型

(n+l)-2n5

數(shù)列”，并說明理由.

2023年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.填空題(本大題總分值56分)本大題共有12題，考生必須在答題紙相應(yīng)

編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，第1?6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7?12題每個(gè)

空格填對(duì)得5分，否那么一律得零分.

1.設(shè)集合M={x|x2=x},N={x」gxWO},那么MPNM}.

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】先求出集合M和N,由此能求出MCN.

【解答】解：?.?集合M={x|x2=x}={0,1},

N={x|IgxWO}{x|OVxWl},

/.MnN={i}.

故答案為：{1}.

2.a,b￡R,i是虛數(shù)單位.假設(shè)a+i=2-bi,那么(a+bi)2=3-4i.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】由等式結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件求得a,b的值，那么復(fù)數(shù)a+bi可求，然后

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算得答案.

【解答】解：由a,b￡R,且a+i=2-bi,得

(a=2

《，，，即a=2,b=-1.

[-b=l

/.a+bi=2-i.

二(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.

故答案為：3-4i.

3.函數(shù)f(x)=ax-l的圖象經(jīng)過(1,1)點(diǎn)，那么fi(3)2.

【考點(diǎn)】反函數(shù).

【分析】根據(jù)反函數(shù)的與原函數(shù)的關(guān)系，原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域可得答

案.

【解答】解：函數(shù)f(x)=ax-l的圖象經(jīng)過(1,1)點(diǎn)，

可得：l=a-1,

解得：a=2.

Af(x)=2X-1

那么：f】(3)的值即為2x-1=3時(shí)，x的值.

由2*-1=3,解得:x=2.

Af1(3)=2.

故答案為2.

4.不等式x|x-l>0的解集為(0,1)U(1,+8).

【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.

【分析】通過討論x的范圍，去掉絕對(duì)值號(hào)，求出不等式的解集即可.

【解答】解：Yx|x-1|>0,

.,.x>0,|x-1|>0,

故x-1>0或X-1<0,

解得：x>l或0Vx<l,

故不等式的解集是(0,1)U(1,+8),

故答案為：(0,1)U[1,+8).

5.向量W=(sinx,cosx),百(sinx,sinx),那么函數(shù)f(x)的最小正周期

為n.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得f(x),再由輔助角公式化積，利用周期公

式求得周期.

【解答】解：(sinx,cosx),己=(sinx,sinx),

.zs——.1-cos2x1

??frlx)=a*b=sm2x-smxcosx=--------------ysin2x

=-ysin2x-yCOs2x+y=_乎5瓦(2*+子)卷.

故答案為：R.

6.里約奧運(yùn)會(huì)游泳小組賽采用抽簽方法決定運(yùn)發(fā)動(dòng)比賽的泳道.在由2名中國

運(yùn)發(fā)動(dòng)和6名外國運(yùn)發(fā)動(dòng)組成的小組中，2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道的概

率為點(diǎn)

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.

【分析】先求出根本領(lǐng)件總數(shù)n=A：,再求出2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道

的概率為m=A^A；,由此能求出2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道的概率.

【解答】解：里約奧運(yùn)會(huì)游泳小組賽采用抽簽方法決定運(yùn)發(fā)動(dòng)比賽的泳道.

在由2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)和6名外國運(yùn)發(fā)動(dòng)組成的小組中，

根本領(lǐng)件總數(shù)n=

2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道的概率為m=A^A；,

A2A71

...2名中國運(yùn)發(fā)動(dòng)恰好抽在相鄰泳道的概率為p=-^=-V4.

nV4

A8

故答案為：

7.按如下圖的程序框圖運(yùn)算：假設(shè)輸入x=17,那么輸出的x值是143.

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的x,k的值，當(dāng)x=143時(shí)滿

足條件x>115,退出循環(huán)，輸出x的值為143,即可得解.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

x=17,k=0

執(zhí)行循環(huán)體，x=35,k=l

不滿足條件x>115,執(zhí)行循環(huán)體，x=71,k=2

不滿足條件x>115,執(zhí)行循環(huán)體，x=143,k=3

滿足條件x>115,退出循環(huán)，輸出x的值為143.

故答案為：143.

,^91

8.設(shè)(1+x)n=a+aix+ax2+a3X3+...+axn,假設(shè)—=—,那么n=11.

02na33

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

【分析】利用二項(xiàng)式定理展開可得：(1+x)

n=1+1x+[?x?+[3x3+...=a+aix+a2X2+a3X3+...+axn,比擬系數(shù)即可得出.

nnn0n

n1223323n

【解答】解：(1+x)=1+[x+[x+[x+...=ao+aix+a2x+a3x+...+anx,

nnn

n(n-1)

aL「2

2_l.n_l2_1-八

，n(n-l)(n-2)"T。-?=9，

3X2X1

那么n=ll.

故答案為：IL

9.圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,如果圓錐的體積與球的體積恰好也相等,

那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是JT加cm2.

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體1圓柱、圓錐、圓臺(tái)).

【分析】由求出圓錐的母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式，可得答案.

【解答】解：由題意可知球的體積為：等X13=l|Lcm3,

圓錐的體積為：-^-XnXl2Xh=-^-hcm3,

因?yàn)閳A錐的體積恰好也與球的體積相等，

所以萼=?h,所以h=4cm,

O0

圓錐的母線：l=Vl2+42=V17cm-

故圓錐的側(cè)面積S=Rrl=Vi7Rcm2,

故答案為：

居+母=1上的點(diǎn)，F(xiàn)i(-4,0),F2(4,0),那

10.設(shè)P(x,y)是曲線C：

么IPFi|+1PF21的最大值=10

【考點(diǎn)】曲線與方程.

【分析】先將曲線方程化簡(jiǎn)，再根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知|PF/+PFzl的最大值為

10.

【解答】解：曲線C可化為：以上L1,它表示頂點(diǎn)分別為(±5,0),(0,

±3)的平行四邊形，

根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知IPF1I+IPF2I的最大值為10,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為(0,±3)

時(shí)取最大值，

故答案為10.

J-x2+4X-3，14x《3

11.函數(shù)f(X)='X，假設(shè)F(x)=f(x)-kx在其定義

2X-8,x>3

域內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)ke(0,哼).

【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

【分析】問題轉(zhuǎn)化為f(x)和丫=1?(有3個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)f(x)和丫=1?的圖象,

求出臨界值，從而求出k的范圍即可.

【解答】解：假設(shè)F(x)=f(x)-kx在其定義域內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn),

即f(x)和丫=1<*有3個(gè)交點(diǎn)，

畫出函數(shù)f(x)和丫=1?的圖象，如圖示：

點(diǎn)(2,0)到直線y=kx的距離d=/7=1,

Vl+k2

解得：k=乎，

故：OVkV返；

3

故答案為：(0,夸).

12.數(shù)列⑸｝滿足ai=l,22=3,假設(shè)|an,「anl=2n(nGN*),且⑸…｝是遞增數(shù)

1L

列、匕器是遞減數(shù)列，那么^Z^=-4.

…@2n2

【考點(diǎn)】數(shù)列的極限.

2n-1

【分析】依題意，可求得a3-az=22,-a3=-23,…，a2n-a2n-i=-2,累加

求和，可得a2n=吉?22n,a2n-l=a2n+22n-l=#+W?22n；從而可求得三暝二

3336n—8a2n

的值.

n

【解答】W：Vai=l,32=3,|anti-an|=2(nGN,),

.*.33-32=±22,

又｛a2n」｝是遞增數(shù)列、｛a2n｝是遞減數(shù)列,

/.as-a2=4=22；

3

同理可得，a4-a3=-2,

35-34=24,

36-3s=-25,

a2n-1-32n-2=22n2,

a2n-32n-1=-22n1,

2

a2n=(a2n-a2n-i)+(a2n-i-a2n-2)+…+(a3-a2)+(a2-aj+ai=l+2+(2-

2n2

=3+4[l-(-2)-]=13.4.22n-2=13.L.22n.

23+24-...+22n2-22nl)

1-(-2)3333'

2n

a2n-l=a2n+2-1=孕+卜22”；

36

1_

.??那么1.

2

~3

故答案為：-

二、選擇題（本大題總分值20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答

案，考生必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分,

否那么一律得零分.

13.a,b￡R,那么"ab>0"是也+仔>2”的（）

ab

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

【解答】解：由良+導(dǎo)>2,得：殳-方？〉。,

abab

故ab>0且aWb,

故"ab>0"是也吟>2”的必要不充分條件，

ab

應(yīng)選：B.

14.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1BGD1中，點(diǎn)P在截面AiDB上，那么

線段AP的最小值等于（）

A.看B.—C.返D.返

3232

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.

【分析】由可得ACi_L平面AiDB,可得P為ACi與截面AiDB的垂足時(shí)線段AP

最小，然后利用等積法求解.

【解答】解：如圖，連接ACi交截面AiDB于P,由CCi，底面，可得CCi_LBD,

又AC_LBD,可得BDL平面ACCi,那么ACi_LBD.

同理可得ACiLAiB,得到AG，平面AiDB,此時(shí)線段AP最小.

由棱長為1，可得等邊三角形AiDB的邊長為證,.?.““□[乂&乂李率.

由。-ABD-VA-ARD,可得Lx^XIX1X1」X?AP,得AP=^.

113232

應(yīng)選：C.

/\

1a12

15.假設(shè)矩陣滿足：an,an，a2i，a22G{0,1},且

-21a22,a21a22

這樣的互不相等的矩陣共有()

A.2個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)

【考點(diǎn)】幾種特殊的矩陣變換.

【分析】根據(jù)題意，分類討論，考慮全為0;全為1;三個(gè)0,一個(gè)1;兩個(gè)0,

兩個(gè)1,即可得出結(jié)論.

a”a12

【解答】解：由=0,

a21a22

可得311322-312321=0,

由于an，ai2,a2i,a22@{0，1}>

可得矩陣佇X可以是(:

[oMoMoMoMiMil1

那么這樣的互不相等的矩陣共有10個(gè).

應(yīng)選：D.

16.解不等式6)x-x+*>0時(shí)，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=弓)x_x,由f(x)在

xER是減函數(shù)，及f(x)>f(1),可得X<1.用類似的方法可求得不等式

arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為()

A.[0,1]B.[-1,1)C.[-1,1]D.(-1,0)

【考點(diǎn)】類比推理.

【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=arcsinx+x3,在xd[-1,1]上是增函數(shù)，且

是奇函數(shù)，不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0可化為g(x2)>gOx),即可得出

結(jié)論.

【解答】解：由題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=arcsinx+x3,在xW[-l,1]上是增函數(shù),

且是奇函數(shù)，

不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0可化為g(x2)>g(-x),

二--x<x2Wl,

，0<xWl,

應(yīng)選：A.

三.解答題(本大題總分值74分)本大題共有5題，解答以下各題必須在答題

紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=a,E是棱PC的中點(diǎn).

(1)求證：PC1BD；

(2)求直線BE與PA所成角的余弦值.

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì).

【分析】(1)推導(dǎo)出△PBC,aPDC都是等邊三角形，從而BELPC,DE±PC,由

此能證明PC1BD.

⑵連接AC,交BD于點(diǎn)0,連0E,那么AP〃OE,NBOE即為BE與PA所成

的角，由此能求出直線BE與PA所成角的余弦值.

【解答】證明：(1)?四邊形ABCD為正方形，且PA=AB=a,

.?.△PBC,△PDC都是等邊三角形，…

???E是棱PC的中點(diǎn)，

/.BE±PC,DE±PC,又BEADE=E,

，PC_L平面BDE...

又BDc平面BDE,

.?.PC±BD...

解：(2)連接AC,交BD于點(diǎn)0,連0E.

四邊形ABCD為正方形，,。是AC的中點(diǎn)…

又E是PC的中點(diǎn)

A0E為AACP的中位線，，AP〃0E

.../BOE即為BE與PA所成的角…

在RtaBOE中，BE=?a，E0=yPA=a，...

22

-BOE嗡岑.

二直線BE與PA所成角的余弦值為李.…

a*2X-1

18.函數(shù)F(x)=——(a為實(shí)數(shù)).

2X+1

(1)根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)假設(shè)對(duì)任意的x21,都有l(wèi)Wf(x)W3,求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題.

【分析】(1)、根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，易得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

求出F(-x)的解析式，進(jìn)而分2種情況討論：①假設(shè)y=f(x)是偶函數(shù)，②假

設(shè)y=f(x)是奇函數(shù)，分別求出每種情況下a的值，綜合即可得答案；

(2)根據(jù)題意，由f(x)的范圍，分2種情況進(jìn)行討論：f(x)21以及flx)

W3,分析求出每種情況下函數(shù)的恒成立的條件，可得a的值，進(jìn)而綜合2種情

況，可得答案.

【解答】解：(1)函數(shù)F(x)=—―-^1定義域?yàn)镽,

2X+1

且F(-x)篁,

2X+11+2X

①假設(shè)y=f(x)是偶函數(shù)，那么對(duì)任意的x都有f(x)=f(-x),

.2X-1a-2X

BP—a即2x(a+1)=a+l,

2X+11+2X

解可得a=-1；

②假設(shè)y=f(X)是奇函數(shù)，那么對(duì)任意的x都有flx)=-f(-x),

即三二L-即2X(a-1)=1-a,

2X+11+2X

解可得a=l；

故當(dāng)a=-l時(shí)，y=f(x)是偶函數(shù),

當(dāng)a=l時(shí)，y=f(x)是奇函數(shù)，

當(dāng)a#±l時(shí)，y=f(x)既非偶函數(shù)也非奇函數(shù)，

2

(2)由f(x)與1可得：2x+l^a?2x-1,即二7Wa-1..

2X

2

???當(dāng)x?l時(shí)，函數(shù)九=彳單調(diào)遞減，其最大值為1,

2

那么必有a22,

4

同理，由f(x)W3可得：a?2x-l<3?2x+3,即a-3Wf,

2X

4

?.?當(dāng)時(shí)，y2=f單調(diào)遞減，且無限趨近于0，

2X

故aW3,

綜合可得：2WaW3.

19.上海市松江區(qū)天馬山上的“護(hù)珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號(hào)

稱“世界第一斜塔”.興趣小組同學(xué)實(shí)施如下方案來測(cè)量塔的傾斜度和塔高：如

圖，記。點(diǎn)為塔基、P點(diǎn)為塔尖、點(diǎn)P在地面上的射影為點(diǎn)H.在塔身OP射影

所在直線上選點(diǎn)A,使仰角kZHAP=45°,過。點(diǎn)與OA成120。的地面上選B點(diǎn),

使仰角NHPB=45°(點(diǎn)A、B、。都在同一水平面上)，此時(shí)測(cè)得NOAB=27。，A與

B之間距離為33.6米.試求：

(1)塔高(即線段PH的長，精確到0.1米)；

(2)塔身的傾斜度(即P。與PH的夾角，精確到0.1。).

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線及其所成的角.

【分析】(1)由題意可知：ZXPAH,APBH均為等腰直角三角形，AH=BH=x,Z

AB

16.8

HAB=27°,AB=33.6,即可求得x=~T=18.86；

cos27°

cos/HAB

(2)ZOBH=180°-120°-2X27°=6°,BH=18,86,由正弦定理可知：

OH=BH

OH=1'般)一=2.28,那么傾斜角N

sinZOBH-sinZBOHsml20

OPH=arctan—=arctan-^-^-=6.89°.

PH18.86

【解答】解：(1)設(shè)塔高PH=x,由題意知,ZHAP=45°,ZHBP=45°,

...△PAH,ZXPBH均為等腰直角三角形，

/.AH=BH=x...

在4AHB中,AH=BH=x,ZHAB=27°,AB=33.6,

AB

16.8

Ax="2"■=18.86...

cos270

CQSNHAB

(2)在△BOH中，ZBOH=120°,

ZOBH=180°-120°-2X27°=6°,BH=18.86,

由鼻缶

18.86Xin6°

得0H=.s=2.28,

sinl20°

.,.ZOPH=arctan—=arctan^^-=6.89°,

PH18.86

...塔高18.9米，塔的傾斜度為6.8°.

22

20.雙曲線C：%-4=1經(jīng)過點(diǎn)(2,3),兩條漸近線的夾角為60。，直線I交

a?b2

雙曲線于A、B兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)假設(shè)I過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A,B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率kpA，

kpB均存在，求證：kpA?kpB為定值；

(3)假設(shè)I過雙曲線的右焦點(diǎn)Fi，是否存在x軸上的點(diǎn)M(m,0),使得直線I

繞點(diǎn)Fi無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有瓦?而=0成立？假設(shè)存在，求出M的坐標(biāo)；假設(shè)不

存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系.

22

【分析】(1)利用雙曲線C：三-4=1經(jīng)過點(diǎn)(2,3),兩條漸近線的夾角為

a?b2

60°,建立方程，即可求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)Mlx。，y。)，由雙曲線的對(duì)稱性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),結(jié)合題

意，又由M、P在雙曲線上，可得yo2=3xo2-3,y2=3x2-3,將其坐標(biāo)代入kpMekpN

中，計(jì)算可得答案.

(3)先假設(shè)存在定點(diǎn)M,使MALMB恒成立，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量級(jí)為0,

求得結(jié)論.

fdl

2L2T

【解答】(1)解：由題意得廣b...

a

解得a=l,b=-s/3...

2

，雙曲線C的方程為*2-J=i；...

3

⑵證明：設(shè)A(xo,yo),由雙曲線的對(duì)稱性，可得B(-xo，-yob

設(shè)P(x,y),...

2_2

fc,yy0

那么kpA,kPB=------------,

x-x0

*.*yo2=3xo2-3,y2=3x2-3,...

22

y-yn

所以kpA*kpB=—-------=3...

X-X。

(3)解：由(1)得點(diǎn)Fi為(2,0)

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=k(x-2),A(X1,yj,B(x2,y2)

將方程y=k(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,

假設(shè)雙曲線C上存在定點(diǎn)M,使MA,MB恒成立，設(shè)為M(m,n)

那么瓦?而=(xi-m)(x2-m)+[k(xi-2)-n][k[x2-2)-n]

=(k2+l)X1X2-(2k2+kn+m)(X1+X2)

22,222-2-22

AIzu(m+n4in-5)k12nk-3(m+n-1)n

+m2+4k2+4kn+n2=--------------------------------------------------------------------=0,

k2-3

故得：(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1]=0對(duì)任意的k2>3恒成立,

m2+n2_4m_5=0

A-12n=0，解得m=-l,n=0

m2+n2-1=0

，當(dāng)點(diǎn)M為(-1,0)時(shí)，MA_LMB恒成立；

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，由A(2,3),B(2,-3)知點(diǎn)M(-1,0)使得

MA±MB也成立.

又因?yàn)辄c(diǎn)(-1,0)是雙曲線C的左頂點(diǎn)，

所以雙曲線C上存在定點(diǎn)M(-1,0),使MA_LMB恒成立.…

21.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2,那么稱這個(gè)數(shù)

列為"H型數(shù)列〃.

(1)假設(shè)數(shù)列W為"H型數(shù)列"，且ai=^-3,a?」"，a3=4,求實(shí)數(shù)m的取值

IDID

范圍；

(2)是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛an｝為"H型數(shù)列〃，且其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn

<n2+n(ndN*)?假設(shè)存在，請(qǐng)求出｛aj的通項(xiàng)公式；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理

由.

(3)等比數(shù)列｛aj的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且｛a/為"H型數(shù)列〃，bn=|an,

Cn=——9E"，當(dāng)數(shù)列伯力不是"H型數(shù)列"時(shí)，試判斷數(shù)列｛。｝是否為"H型

(n+l)-2n5

數(shù)列”，并說明理由.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.

【分析】(1)由題意得，a2-ai=3>2,a3-a2=4-^>2,即2-1=芻口>0,

IDIDID

解得m范圍即可得出.

(2)假設(shè)存在等差數(shù)列｛aj為"H型數(shù)列"，設(shè)公差為d,那么d>2,由ai=l,

n(n1：>2

可得：Sn=n+若且小由題意可得：n+-d<n+n對(duì)nGN*都成立，即

丁都成立.解出即可判斷出結(jié)論.

n-1

(3)設(shè)等比數(shù)列｛a。｝的公比為q,那么an=a1Q,且每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且

==

an+ianan(q-1)>2>0,可得an-ianan(q-1)>an-an-1，即在數(shù)歹U｛an

-an-il(n22)中，"a