課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五“將軍飲馬”--相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河流l抽象為一條直線．B··Al你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五（1）從A地出發(fā)，到河流l邊

飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五思考1：如何將點(diǎn)B轉(zhuǎn)“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小呢？B·lA·思考2：你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎？第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。瓸·lA·B′CC′思考：證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五變式1：已知直線m、l和點(diǎn)B，在直線m、l上分別取點(diǎn)A、點(diǎn)C，使點(diǎn)B到點(diǎn)C再到點(diǎn)A的距離之和最小。第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五變式2：如圖，有兩條直線m、l和一點(diǎn)B，在直線m、l上分別取點(diǎn)A、點(diǎn)C，使△BAC的周長最小。第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五變式3：如圖，有兩條直線m、l和點(diǎn)B、點(diǎn)D，在直線m、l上分別取點(diǎn)A、點(diǎn)C，使四邊形DACB的周長最小。第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五問題2：你能證明一下如果在不同于MN的位置造橋M/N/，距離是怎樣的，能證明我們的做法AM+MN+NB的和是最短距離嗎？試一下。ABMNabA′第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五ABMNabA′M′N′證明:取不同于,M，N的另外兩點(diǎn)M/，N/由于M/N/=MN=AA/；由平移的性質(zhì)可知：AM=A/N,AM/=A/N/又根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知A/N/+N/B>A/B所以，AM/+N/B＞AM+NB,所以，AM/+N/B+M/N/>AM+NB+MN.問題2第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五問題3：還有其他的方法選兩點(diǎn)M,N，使得

AM+MN+NB的和最小嗎？試一試。ABMNab第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

如何在四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)O，使得點(diǎn)O到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小。

第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

如何在四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)O，使得點(diǎn)O到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小。

證明：如果存在不同于點(diǎn)O的交點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，

那么PA+PC＞AC，

即PA+PC＞OA+OC，

同理，PB+PD＞OB+OD，

∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，

即點(diǎn)O是線段AC、BD的交點(diǎn)時(shí)，OA+OB+OC+OD之和最?。谑隧?，共二十一頁，編輯于2023年，星期五變式4：如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋變式練習(xí)第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．同問題2是一種類型，自己在練習(xí)本上獨(dú)立完成ABCPQ山河岸大橋第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五2.如圖：A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。