高中數(shù)學(xué)-3.2 簡單的三角恒等變換教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

§3．2簡單的三角恒等變換（2）教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1.通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“輔助角公式”:,體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對本章公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2.通過三角恒等變換，將形如：的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的函數(shù)形式后,可以研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值、對稱性等性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)一、三章知識的完美融合，讓學(xué)生體會化歸思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用,使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題。3.通過利用公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用，體會建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):利用公式將形如：的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的函數(shù)形式,并研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值、對稱性等性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn):通過利用公式解決實(shí)際問題、變換的技巧。教學(xué)過程了解目標(biāo)、有的放矢[教學(xué)環(huán)節(jié)]:展示教學(xué)目標(biāo)：1．通過三角恒等變換，將形如：的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)。2．靈活利用公式，通過三角恒等變換，解決函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性等問題3.靈活運(yùn)用三角函數(shù)解決一些實(shí)際問題[設(shè)計意圖]:在前面的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)積累了一定的解決問題的方法和能力,本節(jié)課將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納和延伸,展示教學(xué)目標(biāo)可以讓學(xué)生清楚學(xué)習(xí)內(nèi)容,有目的的進(jìn)行學(xué)習(xí).復(fù)習(xí)回顧、引入新知：[教學(xué)環(huán)節(jié)]:展示本章公式的推導(dǎo)過程:[設(shè)計意圖]:通過回顧本章公式的推導(dǎo)過程,既復(fù)習(xí)了前面學(xué)到的公式,加深了學(xué)生對公式的印象,又為后面靈活地運(yùn)用公式進(jìn)行三角恒等變換做好準(zhǔn)備.引入新課、探究新知[教學(xué)環(huán)節(jié)]:提出問題:你能把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式嗎?在教師的引導(dǎo)下學(xué)生容易想到:接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考:學(xué)生通過對比歸納前兩道題容易想到y(tǒng)=asinx+bcosx=（cosx）∵(φ,則有asinx+bcosx=（sinxcosφ+cosxsinφ）=sin（x+φ）.因此，我們有如下結(jié)論：asinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=.在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進(jìn)行求幾何中的最值問題或者角度問題.可以通過類似的方法轉(zhuǎn)化成[設(shè)計意圖]:讓學(xué)生通過容易解決的問題入手,經(jīng)歷歸納總結(jié)得出把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)的一般方法.為后面研究函數(shù)y=asinx+bcosx的周期、最值等性質(zhì)作準(zhǔn)備.鞏固提升、學(xué)以致用[教學(xué)環(huán)節(jié)]:例1：求函數(shù)的周期、最大值和最小值分析:利用三角恒等變換，先把函數(shù)式化簡，再求相應(yīng)的值.解析:所以的周期是，最大值為2，最小值為-2.思考：如果在選擇、填空題中我們只求周期，你有們有什么好的方法？學(xué)生容易得出結(jié)論：由于在這種變換中，x前面的系數(shù)沒有變化，如果是小題也可直接求周期.點(diǎn)評：通過三角恒等變換，我們把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)，從而使問題得到簡化.同時讓學(xué)生思考不同的情境下解決問題的不同方法.課堂練習(xí)1．已知函數(shù)，求f(x)的最小正周期.學(xué)生活動：嘗試獨(dú)立解決問題例2:已知函數(shù)，求的單調(diào)增區(qū)間.分析:利用三角恒等變換，先根據(jù)降冪公式將函數(shù)式化簡，后再求相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.解析:可得可得所以的單調(diào)增區(qū)間為所以的單調(diào)減區(qū)間為思考：如果將函數(shù)變?yōu)?，你能求函?shù)的最大最小值嗎？點(diǎn)評：通過對比，使學(xué)生了解題目的特征，抓住問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.課堂練習(xí)2．已知函數(shù)，求f(x)在區(qū)間上的最值.學(xué)生活動：讓一位同學(xué)上黑板上板演解題過程，其他同學(xué)獨(dú)立完成問題后可以按小組進(jìn)行討論.課堂練習(xí)3．已知函數(shù)，討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.學(xué)生活動：嘗試獨(dú)立解決問題.[設(shè)計意圖]:1.三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識聯(lián)系密切，它是研究其他各類知識的重要工具.高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問題，大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運(yùn)算、化簡、求值、證明過程中不可缺少的解題技巧，通過例題的講解和相應(yīng)的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)設(shè)條件靈活運(yùn)用三角公式的能力，使學(xué)生掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能.2.通過講練結(jié)合，加深學(xué)生印象，通過學(xué)生板演解析過程，教師評析其解題過程，規(guī)范學(xué)生的解題步驟.3.通過同學(xué)之間的交流探究，分享學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例3如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP=α,求當(dāng)角α取何值時,矩形ABCD的面積最大?并求出這個最大面積.活動：要求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積S最大，先找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)的最值.找S與α之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決，得到：S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosα-sin2α.求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函數(shù)求最值.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角α取何值時,矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進(jìn)行:圖1(1)找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系;(2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt△OAD中,=tan60°=,所以O(shè)A=DA=BC=sinα.所以AB=OB-OA=cosαsinα.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α=sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)-=sin(2α+)-.由于0<α<,所以當(dāng)2α+=,即α=時,S最大=-=.因此,當(dāng)α=時,矩形ABCD的面積最大,最大面積為.點(diǎn)評：可以看到,通過三角變換,我們把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而使問題得到簡化.這個過程中蘊(yùn)涵了化歸思想.此題可引申即可以去掉“記∠COP=α”,結(jié)論改成“求矩形ABCD的最大面積”，這時，對自變量可多一種選擇，如設(shè)AD=x,S=x(),盡管對所得函數(shù)還暫時無法求其最大值，但能促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)點(diǎn).課堂小結(jié)、歸納反思1.形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)求解，體現(xiàn)化歸思想.2.用函數(shù)法求平面圖像的面積的最大最小值問題，常以某個變化的角作為自變量，再將面積表示為這個角的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.當(dāng)堂檢測、小試牛刀1.求函數(shù)的最小正周期2.求函數(shù)在區(qū)間上的值域3.求值：PQPQRSO板書設(shè)計：3