第二十章解直角三角形教材分析

第二十章解直角三角形教材分析第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

一、教材地位和內(nèi)容二、課時(shí)安排三、知識(shí)結(jié)構(gòu)四、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵五、教學(xué)建議提綱六、章節(jié)分析第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、教材地位和內(nèi)容銳角三角函數(shù)的概念是以相似三角形和勾股定理的知識(shí)為基礎(chǔ)的，它的建立是對(duì)代數(shù)中已初步涉及的函數(shù)概念的一次充實(shí)和進(jìn)一步開(kāi)闊視野，也將是高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的重要準(zhǔn)備。解直角三角形是建立在銳角三角函數(shù)的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)之上的，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。解直角三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是對(duì)直角三角形作定量的研究。即對(duì)直角三角形中邊與邊、邊與角之間的制約關(guān)系從數(shù)量上加以揭示。解直角三角形體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的橋梁是銳角三角形。解直角三角形提供了一種以計(jì)算手段處理幾何問(wèn)題的途徑和方法。有些簡(jiǎn)單的幾何圖形通過(guò)做垂線可分解為直角三角形和特殊的四邊形，從而也能用本章知識(shí)加以處理；圓中有關(guān)半徑、弦長(zhǎng)及圓的正多邊形中的有關(guān)問(wèn)題都可以劃歸為解直角三角形的問(wèn)題。高中立體幾何、物理學(xué)科許多問(wèn)題也需要通過(guò)解直角三角形來(lái)解決。解直角三角形的知識(shí)在實(shí)際生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，特別是在測(cè)量、建筑學(xué)、物理學(xué)等方面起著十分重要的作用。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要認(rèn)真分析題意,善于將已知條件和未知?dú)w結(jié)到一個(gè)三角形中,然后利用直角三角形的知識(shí)加以解決。直角三角形是一種抽象的數(shù)學(xué)模型，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題要轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問(wèn)題，必須在圖形中找到要解的直角三角形。解決這類問(wèn)題需要進(jìn)行計(jì)算。三角形中的計(jì)算和邏輯思維是密不可分的。通過(guò)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生獲得用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的成功體驗(yàn)，提升用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、課時(shí)安排本章教學(xué)約需13課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：20.1銳角三角函數(shù)3課時(shí)20.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值1課時(shí)20.3用科學(xué)計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值1課時(shí)20.4解直角三角形2課時(shí)20.5測(cè)量與計(jì)算4課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí)（測(cè)試）

2課時(shí)第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、知識(shí)結(jié)構(gòu)直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)解直角三角形實(shí)際問(wèn)題本章知識(shí)展開(kāi)順序第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四解直角三角形核心知識(shí)核心方法核心思維核心能力整體把握銳角三角函數(shù)解直角三角形數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化運(yùn)算、建模特殊到一般第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四教學(xué)目標(biāo)1.探索銳角三角函數(shù)的概念的形成過(guò)程，認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)概念，在直角三角形中能利用定義表示直角三角形的兩邊比。2.經(jīng)歷求特殊銳角三角函數(shù)值的過(guò)程，知道300、450、600角的三角函數(shù)值。3.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角。4.能用銳角三角函數(shù)值解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。5.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情景認(rèn)識(shí)仰角、俯角、坡角等與測(cè)量有關(guān)的術(shù)語(yǔ)。6.通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)中變化與對(duì)應(yīng)的思想；進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四考試內(nèi)容考試要求ABC銳角三角形1.理解銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）的概念；2.知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.1.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解直角三角形；2.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

.運(yùn)用直角三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問(wèn)題解直角三角形理解解直角三角形的概念.

1.會(huì)解直角三角形；2.能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解直角三角形.2017年中考說(shuō)明第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法。特殊銳角的三角函數(shù)值也非常重要，應(yīng)該讓學(xué)生牢記。1.銳角三角函數(shù)的概念既是本章的難點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵；2.運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。四、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵重點(diǎn)：難點(diǎn)和關(guān)鍵：第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四五、教學(xué)建議銳角三角函數(shù)感念是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵。它反映的是角度與數(shù)值之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及用含有幾個(gè)字母的符號(hào)sinA、cosA、tanA表示函數(shù)等，學(xué)生過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)，因此對(duì)學(xué)生來(lái)講有一定的難度。只有正確掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而更好的利用這些關(guān)系解直角三角形。（一）重視概念教學(xué)第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程正弦函數(shù)的值在本質(zhì)上是一個(gè)“比值”，結(jié)合圖引導(dǎo)。如圖：①正弦函數(shù)是一個(gè)比值；②這個(gè)比是∠α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的比值；③這個(gè)比值隨∠α的確定而確定，與點(diǎn)在∠α的終邊上的位置無(wú)關(guān)。

緊扣函數(shù)這一概念，讓學(xué)生找出上述“比值”中的自變量、函數(shù)以及它們的對(duì)應(yīng)規(guī)律（自變量是∠α，函數(shù)是“比”。之所以將這個(gè)“比”叫做∠α的函數(shù)，是因?yàn)閷?duì)于∠α的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比值與之相對(duì)應(yīng)。）第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四（二）緊密聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。同一圖形，不同情境┌102頁(yè)91頁(yè)第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四（三）加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四（四）重視基本圖形教學(xué)，注意數(shù)形結(jié)合。CBAD┌300450┌600450ABCD┌300600ABCDABC600450D┐300450┌CBAD300600ABCD┌第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四關(guān)于引例的思考

體現(xiàn)測(cè)量物高的多樣性：1.可由相似的知識(shí)得到；2.可由解直角三角形的知識(shí)得到。最重要的目的：感受數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，反之又可以解決生活中的問(wèn)題。六、章節(jié)分析第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.1銳角三角函數(shù)（3課時(shí)）課題引入從實(shí)際需要（測(cè)高）的實(shí)質(zhì)，由角求邊，和數(shù)學(xué)內(nèi)部（以前學(xué)過(guò)邊邊關(guān)系、角角關(guān)系，那么邊角之間有關(guān)系嗎？）兩方面引入。定量概括由特殊到一般，由熟悉的30度直角三角形入手，到45度，到一般角度，邊的比值確定。比值的確定性，引入定義，然后辨析及概念應(yīng)用。第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四規(guī)律一：當(dāng)∠A的大小不變時(shí)，比值也是不變的規(guī)律二：當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，比值也跟著變化對(duì)邊與斜邊的比值隨∠A的變化而變化一個(gè)變量（銳角的對(duì)邊與斜邊的比值）隨另一變量（銳角大?。┑淖兓兓覀儼唁J角∠A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦記作：sinA=對(duì)于每一個(gè)確定的X（銳角大?。℡（銳角的對(duì)邊與斜邊的比值）都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

sinA=4.２sinA盡量不寫成sinA?２根據(jù)直角三角形定義，依賴于形，超越于形，與邊長(zhǎng)大小無(wú)關(guān).分析提升認(rèn)識(shí)1.sinA是∠A的函數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)于每一個(gè)∠A都有唯一確定的值sinA和它對(duì)應(yīng)。2.在這個(gè)函數(shù)中，變量A是一個(gè)角度，另一個(gè)變量sinA是一個(gè)比值，而函數(shù)法則是邊之間的關(guān)系，此函數(shù)溝通了直角三角形中邊、角之間的關(guān)系。3.學(xué)生對(duì)表示符號(hào)的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)過(guò)程：sinA不是sin與A的乘積；如sinA，不寫sin∠A；∠APB的正弦寫sin∠APB，不寫sinAPB。5.第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四銳角的正弦是本章的起點(diǎn)，同時(shí)又是重點(diǎn)。銳角的正弦概念的建立應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程。20.1.1銳角三角函數(shù)---正弦直角三角形中，三條邊組成六個(gè)比，其比值都是固定不變的，因有倒數(shù)關(guān)系，故只研究其中的三個(gè)就夠了。第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1.已知：在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求sinA和sinB的值．例2.已知:如圖，在△

ABC中，CD是AB

邊上的高，CD=12,AD=9,BD=5,求:sinA、sin∠ACD、sinB、sin∠BCD的值.第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，將題中的圖去掉，由學(xué)生畫圖完成。那么將涉及到高在三角形內(nèi)與外的區(qū)別。（分類討論）高在內(nèi)高在外例2的變式練習(xí)第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3：已知：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求sinB的值。練習(xí)1.在Rt△ABC中，如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正弦值（）

A.沒(méi)有變化 B.擴(kuò)大2倍

C.縮小2倍D.不能確定2.在△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=13,那么sinA的值等于（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.在△ABC中，C=90°則BC∶AC的值等于（）

A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶55．在Rt△ABC中，∠C=900，a：b=1：，則c=

a，sinA=

，sinB=

；

6．在Rt△ABC中，∠C=900，a=,三角形的面積為,則斜邊長(zhǎng)是

，sinA=

；第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.1.2銳角三角函數(shù)---余弦、正切可以讓學(xué)生類比正弦函數(shù)的研究方法，更好的體會(huì)函數(shù)思想。第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四教材80頁(yè)交流2.利用幾何畫板驗(yàn)證一般銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律及范圍；3.讓學(xué)生嘗試從理論上說(shuō)明猜想的正確性。關(guān)于確定函數(shù)值范圍的建議：1.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊角的函數(shù)值猜想一般銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律；第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四80頁(yè)例3例4教材81頁(yè)例4的說(shuō)明：本例題運(yùn)用了等角代換的方法，將所求角從一個(gè)直角三角形中轉(zhuǎn)移到另一個(gè)直角三角形中，從而使計(jì)算簡(jiǎn)單。嘗試讓學(xué)生在一題多解的方法中體會(huì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)潔，體會(huì)等角的三角函數(shù)值相等。這種思想在將來(lái)的習(xí)題中，特別是圓中，經(jīng)常會(huì)用到，所以教學(xué)時(shí)要加強(qiáng)重視。第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四通過(guò)教學(xué)使學(xué)生逐步形成“銳角三角函數(shù)值是直角三角形中的兩條邊的比值”的認(rèn)識(shí)：由直角三角形中兩條邊的比，可以求得這個(gè)銳角的三角函數(shù)值；反之，已知一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以得到這個(gè)角所在直角三角形中兩條邊的比。培養(yǎng)學(xué)生逆向思維第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四逐步幫助學(xué)生總結(jié)求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值的幾種常用思路（1）直接用定義求銳角三角函數(shù)值（P78例2）（2）設(shè)參數(shù)后用定義求銳角三角函數(shù)值（P80例3（2）)（3）轉(zhuǎn)化為等角后用定義求銳角三角函數(shù)值（P81例4）（4）構(gòu)造直角三角形后用定義求銳角三角函數(shù)值（P82練習(xí)3）20.1.3銳角三角函數(shù)第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)1已知：如圖，△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為AC上一點(diǎn)，AD:DC=1：2

（1）求∠ADB的三角函數(shù)值。（2）求∠DBC的三角函數(shù)值。練習(xí)2如圖，在△ABC中∠A=30°,tanB=,AC=2求AB第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一個(gè)三角板為Rt△ABC，∠B=90°,∠C=30°,另一個(gè)三角板為Rt△DEF,∠D=90°,∠E=45°,現(xiàn)擺放這兩個(gè)三角板，使BC邊與EF邊重合，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，請(qǐng)計(jì)算∠BDA的正切值。（某些非特殊角的三角函數(shù)值）（補(bǔ)充）直角三角板的組合問(wèn)題-----分類討論DBCABADC第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值借助三角板或畫圖推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值并要求熟記。

利用圖形或表格記憶特殊角的三角函數(shù)值。(數(shù)形結(jié)合)明確這些含特殊角直角三角形邊的關(guān)系是關(guān)鍵.第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三角函數(shù)30°45°60°表格功能可挖掘第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四這部分的相關(guān)計(jì)算題是中考會(huì)涉及到的，應(yīng)多加練習(xí)。計(jì)算含特殊角的三角函數(shù)式的值。82頁(yè)例1

由已知特殊角的三角函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的銳角.

要求82頁(yè)例1第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)：如圖,p是∠α的邊OA上一點(diǎn),且p點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),則sinα=cosα=oxyP3

4(3,4)αA第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.3用科學(xué)計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值（1課時(shí)）會(huì)用計(jì)算器求三角函數(shù)值和給出函數(shù)值求角度。重在借助計(jì)算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)計(jì)算器可以幫助我們做數(shù)學(xué)。建議第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.4解直角三角形（2課時(shí)）這里需要確認(rèn)：1.解直角三角形實(shí)質(zhì)上是對(duì)直角三角形作定量的研究，即對(duì)直角三角形中邊與邊、邊與角之間的制約關(guān)系從數(shù)量上加以揭示。2.解直角三角形體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的橋梁是銳角三角函數(shù)。3.解直角三角形提供了一種以計(jì)算手段處理幾何問(wèn)題的途徑和方法，是解決許多問(wèn)題的工具。4.解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用需要培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模的思想。5.解直角三角形的理論依據(jù)是：直角三角形中的邊角關(guān)系，這一點(diǎn)需要學(xué)生有明確的認(rèn)識(shí)！第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四直角三角形中有3邊3角6個(gè)元素，由直角三角形中已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形。引入問(wèn)題這6個(gè)元素中怎樣盡可能給出少的元素就可以求出其它的未知元素？①已知一直角邊和一個(gè)銳角；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一個(gè)銳角；④已知斜邊和一直角邊；已知兩邊；已知一角一邊。其它形式上不同的問(wèn)題都可以歸結(jié)到這兩種情況?？偨Y(jié)出四大類最后歸納出兩種情況第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四解直角三角形的關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇關(guān)系式，把已知和未知聯(lián)系起來(lái)。解直角三角形主要依據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°,1.角的關(guān)系：兩銳角互余（∠A+∠B=90°）2.邊邊關(guān)系：勾股定理（）3.邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)4.面積關(guān)系：第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四一個(gè)直角三角形的求解問(wèn)題有斜用弦，無(wú)斜用切，寧乘毋除，取原避中。第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.4.1解直角三角形給基本元素求解直角三角形P88例1例2將已知中的非基本元素轉(zhuǎn)化為基本元素后再求解直角三角形P89例3第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1已知:在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=60°,a=15，解這個(gè)直角三角形．變式1：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=15,c=30,解這個(gè)直角三角形．變式2：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

，解這個(gè)直角三角形.

第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,,,解這個(gè)直角三角形.變式：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,∠B=600,CD=2,求AB第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.4.2解直角三角形P90例4變式練習(xí)：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°，求BC的長(zhǎng).思路：作AE⊥BC于點(diǎn)E.Rt△ABE，可解，求出AE、BE，使Rt△ABE可解BCA第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí)1已知Rt⊿ABC中，∠C=900AC=6,∠A的平分線AD=

,解這個(gè)三角形.練習(xí)2在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6,,求菱形ABCD的周長(zhǎng).第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四20.5測(cè)量與計(jì)算（4課時(shí)）

4課時(shí)：4個(gè)例題一個(gè)例題1課時(shí)。(練習(xí)冊(cè))91頁(yè)例1：測(cè)高問(wèn)題（底部可到達(dá)）（仰角、俯角）。93頁(yè)例3：航海中的探索問(wèn)題（方位角）。92頁(yè)例2：修路筑壩問(wèn)題（坡度、坡角）。94頁(yè)例4：測(cè)高問(wèn)題（底部不可到達(dá)）。第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四實(shí)際問(wèn)題明確術(shù)語(yǔ)30°45°BOA東西北南第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四重視基本圖形的歸納和總結(jié)第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四章首頁(yè)引例：用測(cè)角儀測(cè)量計(jì)算紀(jì)念碑的高；P91例1：用測(cè)角儀測(cè)量計(jì)算學(xué)校旗桿的高;P94例