高等數(shù)學(xué)概率 大數(shù)定律

高等數(shù)學(xué)概率大數(shù)定律第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科.隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象.第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律

研究大量的隨機現(xiàn)象時，隨機試驗的次數(shù)n要足夠大，因此常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六第五章第二節(jié)大數(shù)定律第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六一、切貝謝夫不等式設(shè)隨機變量有期望值和方差，則任給，有或證明：如果是連續(xù)型r.v.，其概率密度為，則第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六切貝謝夫不等式的意義：給出了r.v.的分布未知時，事件“”的概率的一個估計。

切貝謝夫不等式的適用范圍：（1）期望和方差已知（或易求得）；（2）估計落入內(nèi)的概率。第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六例1、已知正常男性成人的血液中，每毫升的白細胞數(shù)平均為7300，均方差為700，試估計每毫升血液中白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解：設(shè)正常男性成人每毫升血液中白細胞數(shù)為，則第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率

字母使用頻率

生產(chǎn)過程中的廢品率

……

第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六二、大數(shù)定律1、依概率收斂：若存在常數(shù)a，使對于任何，有則稱隨機變量序列依概率收斂于a。第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六切貝謝夫

2、切貝謝夫定律：設(shè)…是相互獨立的隨機變量序列，各有數(shù)學(xué)期望…及方差…并且對于所有i=1,2,…都有，其中l(wèi)是與i無關(guān)的常數(shù)，則任給，有證明：因為…相互獨立，所以第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六由夾逼定理即得根據(jù)切貝謝夫不等式，對于任意，有即第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述

切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機變量序列{}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的

概率接近于1.

隨機的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時，差不多不再是第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六貝努里

引入i=1,2,…,n

作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.

設(shè)是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則

是事件A發(fā)生的頻率第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

于是有下面的定理：3、貝努里大數(shù)定律或貝努里

設(shè)是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的

次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.任給ε>0，

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.4、辛欽大數(shù)定律辛欽

設(shè)隨機變量序列…獨立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望,

i=1,2,…，

則對任給ε>0，

辛欽大數(shù)定律使算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù).第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六

例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.第十七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期六這一講我們介