工程力學下冊動量矩定理公開課一等獎市優(yōu)質課賽課獲獎課件

第14章彈簧

第7章動量矩定理●

7.1質點系的動量矩定理與動量矩守恒定律

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7.1.1質點系的動量矩

●7.1.2質點系的動量矩定理

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7.1.3動量矩守恒定律

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7.1.4動量矩定理與動量矩守恒定律的應用舉例●

7.2剛體的定軸轉動

●7.2.1剛體對軸的轉動慣量

●7.2.2定軸轉動剛體的動量矩●

7.2.3定軸轉動剛體運動微分方程●

7.3相對于質心的動量矩定理及剛體的平面運動微分方程

●7.3.1相對于質心的動量矩定理

●7.3.2剛體的平面運動微分方程

●7.3.3應用舉例

●7.3.4結論與討論●本章習題

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7.1.1質點系的動量矩假定質點系有n個質點,任取一固定點O.設第i個質點的質量為m,速度為v，則質點i的動量為mv,對點O的矢徑為r。如圖7.1所示，質點i對O點的動量矩L,定義為：則質點系對O點的動量矩L為……………(7-1)動量對于的動量矩在經過該點的任一軸上的投影等于動量對該軸的動量矩，即………(7-2)式中動量矩的單位為

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7.1質點系的動量矩定理與動量矩守恒定律●7.1.2質點系的動量矩定理已知任一質點的動量定理的微分式,在兩邊分別用矢徑r叉乘得由于則將式(7-3)求和得(7-4)

(7-3)

由于式(7-4)為一矢量表達式，可以向任意軸進行投影，得到投影式。即質點系對某一固定點(軸)的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用在質點系上所有外力(由于內力的成對出現(xiàn)，因此這里不必考慮內力作用)對同一點(軸)的矩的矢量和。這就是質點系的動量矩定理。

在靜力學中，已經介紹了力矩平衡的概念，作為矢量的動量矩是否也具有這樣的特征呢？回答是肯定的。將動量矩定理表達式(7-4)經變換得(7-5)即質點系對某一固定點(軸)的動量矩在任一時間內的增量，等于作用在質點系上所有外力在同一時間內對同一點(軸)的沖量矩的矢量和。和動量守恒定律一樣，對方程(7-4)，如果，則有也就是說，如果作用在質點系上所有外力對某一固定點(軸)的力矩平衡，則質點系對該點(軸)的動量矩保持不變。這就是質點系的動量矩守恒定律?！?/p>

7.1.3動量矩守恒定律【例7.1】如圖7.2所示，試用動量矩定理導出單擺(數(shù)學擺)的運動微分方程。解：把單擺看成一個在圓弧上運動的質點A，設其質量為m，擺線長l。又設在任一瞬時質點A具有速度v，擺線OA與鉛垂線的夾角是。通過懸點O而垂直于運動平面的固定軸z作為矩軸，對此軸應用動量矩定理有由于動量矩和力矩分別為從而可得化簡即得單擺的運動微分方程

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7.1.4動量矩定理與動量矩守恒定律的應用舉例【例7.2】如圖7.3所示，無外力矩作用的半徑為R，質量為m0的圓柱形自旋衛(wèi)星繞對稱軸旋轉，質量均為m的兩個質點沿徑向對稱地向外伸展，與旋轉軸的距離x不斷增大。連系衛(wèi)星與質點的變長度桿的質量不計，設質點自衛(wèi)星表面出發(fā)時衛(wèi)星的初始角速度為。試計算衛(wèi)星自旋角速度的變化規(guī)律。解：衛(wèi)星系統(tǒng)對旋轉軸的動量矩L為

令，為動量矩的初始值。由于衛(wèi)星系統(tǒng)不受外力矩作用，根據(jù)動量矩守恒定律得

解得

由上面結果可以看出，自旋衛(wèi)星的角速度隨著質點的向外移動而不斷降低

剛體的轉動慣量是剛體轉動慣性的量度，它等于剛體內各質點的質量與質點到定軸z的垂直距離平方的乘積之和，轉動慣量用字母J表示即

由式(7-6)可以看出，轉動慣量的國際單位制中的單位為；剛體轉動慣量的大小不僅與其質量的大小有關，而且與剛體內質量的分布情況有關。

在工程中，往往要根據(jù)工程實際需要確定某個工件或零件的轉動慣量，如蛤蟆夯、沖床、粉碎機械和手機振動等裝置的偏心輪。只有了解了這些裝置的轉動慣量，才能對這一工作機械有更進一步的了解和把握。由此可見，如何測定剛體的轉動慣量就是一件非常重要的工作。在工程實際當中，一般采用計算方法和實驗的方法確定剛體對軸的轉動慣量?！?/p>

7.2剛體的定軸轉動●7.2.1剛體對軸的轉動慣量

(7-6)（1）如圖7.4所示，均質細直桿對z軸的轉動慣量。設桿長為l，質量為m，取桿上一微段，則此桿對z軸的轉動慣量為

(2)如圖7.5所示，均質細圓環(huán)對過圓心z軸的轉動慣量。設圓環(huán)半徑為R，質量為m，由于圓環(huán)到其中心軸的距離都等于半徑R，所以圓環(huán)對于中心軸z的轉動慣量為

1.簡單形狀剛體轉動慣量的計算(3)如圖7.6所示，均質薄圓盤對過圓心z軸的轉動慣量。設薄圓盤半徑為R，質量為m，如圖所示將薄圓盤分為無數(shù)同心的圓環(huán)，則薄圓盤對中心軸z的轉動慣量為

仔細觀察物體的轉動慣量可以看出，對于均質物體，其轉動慣量與質量m的比值僅與物體的幾何形狀和尺寸有關，如均質細直桿、細圓環(huán)、薄圓盤的比值分別為由此可見，質量均勻幾何形狀相同而材料不同的物體，其轉動慣量與質量m的比值是相同的。令(7-7)

式中，稱為定軸轉動剛體的回轉半徑(或慣性半徑)。將式(7-7)經變換得(7-8)即物體的轉動慣量等于該物體的質量與慣性半徑平方的乘積。在表7-1中，已將簡單幾何形狀的物體的轉動慣量和慣性半徑給出，以供查詢2.定軸轉動剛體的回轉半徑(或慣性半徑)

表7-1常見均質物體的轉動慣量和慣性半徑

定理剛體對于任一軸z的轉動慣量，等于剛體對于通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量m與兩軸之間距離d平方的乘積，即

3.平行軸定理(7-9)

由質點系動量矩公式,對定軸轉動剛體有，那么定軸轉動剛體的動量矩為

即定軸轉動剛體的動量矩等于剛體對定軸的轉動慣量與其轉動角速度的乘積●7.2.2定軸轉動剛體的動量矩

下面介紹質點系動量矩定理應用于繞定軸轉動剛體的情形。如圖7.7所示，設剛體上作用有主動力系，,…，和約束反力FN1，F(xiàn)N2。已知剛體對z軸的轉動慣量為，轉動角速度為，則剛體對z軸的動量矩為。若不計軸承的摩擦，而又軸承的約束反力FN1、FN2對z軸的力矩為零根據(jù)質點系對軸的動量矩定理有即由于，則式(7-11)也可寫為或式(7-12)稱為繞定軸轉動剛體的運動微分方程，即剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動力對該軸矩的代數(shù)和。

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7.2.3定軸轉動剛體運動微分方程(7-12)由剛體繞定軸的運動微分方程可知：(1)如果作用在剛體上的主動力系對轉動軸矩的代數(shù)和為零，則剛體作勻速轉動。(2)如果作用在剛體上的主動力系對轉動軸矩的代數(shù)和為一恒量，則剛體作勻加速轉動。(3)在某一時刻，剛體的轉動慣量越大，轉動的角加速度越小，反之，其轉動慣量越小，轉動的角加速度越大。這就是說，剛體轉動慣量的大小表現(xiàn)了使剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度。因此，轉動慣量是剛體轉動慣性的量度?！纠?.3】

如圖7.8所示，已知滑輪半徑為R，轉動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度解：根據(jù)剛體繞定軸的轉動微分方程有

于是得又此可見，只有當定滑輪為勻速轉動(包括靜止)或雖非勻速轉動，但可忽略滑輪的轉動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。

【例7.4】

如圖7.9所示，兩鼓輪固連在一起，其總質量是m，對水平轉軸O的轉動慣量是JO；鼓輪的半徑分別為r1和r2。繩端懸掛的重物A和B質量分別是m1和m2，且m1>m2，繩的質量不計。試求鼓輪的角加速度。

解：取鼓輪、重物A、B為研究對象。對鼓輪的轉軸z(垂直于圖面，指向讀者)應用動量矩定理，

有……①系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于考慮到，則得…②外力主矩僅由重力m1g和m2g產生，有…③

將表達式②和③代入方程①，即得從而求出鼓輪的角加速度方向為逆時針方向?！纠?.5】

如圖7.10(a)所示，質量為m半徑為r的滑輪(可視作均質圓盤)上繞有軟繩，將繩的一端固定于點A而令滑輪自由下落。不計繩子的質量，求輪心C的加速度和繩子的拉力。

解：如圖7.10(b)所示，取滑輪和軟繩組成的系統(tǒng)為研究對象，畫出受力圖?；喌倪\動可看作沿過點A的鉛垂線向下做純滾動，滾動角速度，滾動角加速度。應用質心運動定理沿鉛垂軸的投影，得………①在列寫第二個方程時，可以任意選用以下方法中的一種：(1)對固定軸Az的動量矩定理

將代入上式得

再代入式①解得

(2)對平移軸Cz的動量矩定理

即……②聯(lián)立求解式①，式②，得到

前面介紹了動量矩定理應用于相對于慣性參考系的為固定點或軸，而對于一般的動點或動軸，運用動量矩定理處理則十分的復雜。然而，相對于質點系的質心或通過質心的動軸，動量矩定理則仍然保持著簡單的形式。如圖7.11所示，質點系的質心為C，O為一固定點，則質點系對于定點O的動量矩為對于任一質點，由圖可以看出則有顯然于是得(7-13)●

7.3相對于質心的動量矩定理及剛體的平面運動微分方程●7.3.1相對于質心的動量矩定理

式(7-13)表明，質點系對于任一點的動量矩等于質點系動量對該點的動量矩再加上質點系相對于質心的動量矩L。將式(7-13)兩邊對時間t求導得(7-14)將式(7-14)右邊展開化簡得由于于是(7-15)式(7-15)表明：①質點系相對于質心的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用于質點系的外力(在此內力不起作用)對質心的主矩，這就是質點系相對于質心的動量矩定理；②該定理在形式上與質點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣；③質點系相對于質心的動量矩定理，對于質心靜止或運動情形都適用。

由剛體的運動學可知，要確定平面運動剛體的位置，可用一基點和繞基點的轉動角度來確定。即剛體的平面運動可以分解為隨質心的平動和繞質心的轉動。剛體對質心的動量矩為式中，為剛體對通過質心且與運動平面垂直的軸的轉動慣量；為剛體轉動的角速度。由質心運動定理和相對于質心的動量矩定理

式中，m為剛體的質量；為質心的加速度，為剛體的角加速度。

●7.3.2剛體的平面運動微分方程

(7-16)則式(7-16)又可寫為…………(7-17)式(7-17)稱為剛體平面運動微分方程。應用時通常取的投影式?！纠?.6】

如圖7.12所示，長度為l，質量為m1的均質桿OA與半徑為R，質量為m2的均質圓盤B在A處鉸接，鉸鏈O，A均光滑。初始時，桿OA有偏角θ0，輪B有角速度(逆時針向)。求系統(tǒng)在重力作用下的運動方程。解：(1)考慮圓盤B，根據(jù)對質心的動量矩定理(2)考慮桿輪系統(tǒng)，應用對固定點O的動量矩定理，計算輪B動量矩時使用式得

●7.3.3應用舉例對上式積分代入積分常數(shù)得，微幅振動時的運動規(guī)律為(3)運動特性：圓盤的轉動不影響系統(tǒng)的擺動，而系統(tǒng)的擺動也不影響圓盤的轉動。【例7.7】

如圖7.13(a)所示，勻質半圓柱體的質心C與圓心O1的距離為e，柱體的半徑為R，質量為m，它可在固定平面上做無滑動滾動。求偏離平衡位置后，柱體的運動微分方程和微小擺動的周期。解：如圖7.13(b)所示，選取柱體平衡位置與地面的接觸點O為原點，作定坐標系Oxy，柱體偏離平衡位置滾過角后，質心C的坐標為

對t求二階導數(shù)得受力如圖7.13(a)所示。注意靜滑動摩擦力F的方向與A點的滑動趨勢相反，大小應滿足物理條件圓柱體的平面運動微分方程為

令，是柱體對質心C的回轉半徑。這是一組非線性微分方程。如僅研究微小擺動，如很小，則,。又、、均為一階微量，略去二階以上微量，故可將上面微分方程組線性化為……①……②…………③由式①，式②求出F，F(xiàn)N后代入式③得此處，這是線性系統(tǒng)自由振動微分方程。振動周期為應用動量矩定理時要注意以下幾點：(1)動量矩定理主要應用于分析具有轉動系統(tǒng)的動力學問題。(2)一般情形下，應該以定點、定軸或質心(平移系)為矩心，或取矩軸；對于加速度指向質心的速度瞬心，對質心(平移系)動量矩定理與對定點的動量矩定理形式相同。(3)對于定軸問題，系統(tǒng)各部分對定軸的角速度必須是同一慣性參考系中的角速度，也就是絕對角速度。(4)計算動量矩以及外力矩時，都要采用相同的正負號規(guī)則——右手定則?！?.3.4結論與討論7-1某質點系對空間任一固定點的動量矩都完全相同，且不等于零，這種運動情況可能嗎？7-2

平面運動剛體，若所受外力主矢為零，剛體只能是繞質心轉動嗎？如所受外力對質心的主矩為零，剛體只能是平動嗎？7-3試求如圖7.14所示各均質物體的對轉軸的動量矩，設各物質量均為m。7-4如圖7.15所示，一根不能伸長質量不計的繩子繞過質量不計的定滑輪，繩的一端懸掛物塊，另一端有一個與物塊質量一樣的人，從靜止開始沿繩子往上爬，不計摩擦力。試問物塊動還是不動？為什么？

思考題7-5如圖7.16所示，一繩子繞過定滑輪掛一重物P，輪子的角加速度為，若用一大小等于重物P的力F代替重物在繩子的一端。輪子的角加速度還為嗎？為什么？7-6花樣滑冰運動員，為什么在做高速旋轉時，將身體縮成一團，而當要停下來時則將身體打開？十米跳臺跳水運動員，剛離開跳臺時，將身體團起來，而當要接觸水面時，則要將身體打開，這又是為什么？7-7一均質圓盤，沿水平面只滾不滑，若在圓盤面內作用一力。試問力如何作用能使地面摩擦力等于零？在什么情況下，地面摩擦力的方向能與作用力相反？習題7-1質量為m的質點在平面Oxy內運動，其運動方程為

其中a、b和為常量。求質點對原點O的動量矩。7-2如圖7.17所示，質量為m，長為l的均質細桿AB，繞Oz勻角速度轉動。桿與軸的夾角為，求當桿運動到Oyz平面內時，對軸x、y、z及O點的動量矩。7-3

質量為m的足球在空氣中飛行，其旋轉的角速度與受到的阻力矩M之間的關系滿足方程，R為足球半徑，k為常數(shù)。若足球的初始角速度為，求經多長時間足球角速度減半。7-4

如圖7.18所示，小球A，質量為m，連接在長為l的無重桿AB上，放在盛有液體的容器中。桿以初角速度繞O1O2軸轉動，小球受到與速度相反方向的阻力，k為比例常數(shù)。求經過多長時間角速度減為一半？7-5

如圖7.19所示，質量不計的桿OA以角速度繞O軸轉動，均質圓盤質量m=25kg，半徑為R=200mm。求在以下情況下圓盤對O軸的動量矩：(1)圓盤與桿固接在一起；(2)圓盤與桿鉸接，且圓盤相對于桿以角速度逆時針轉動；(3)圓盤與桿鉸接，且圓盤相對于桿以角速度順時針轉動。7-6如圖7.20所示，質量為m、半徑為R的偏心輪在水平面上滾動，輪子對軸心A的轉動慣量為JA，質心為C，AC=e，A、B、C在一鉛直線上。(1)當輪子純滾動時，若已知，求輪子對B點的動量矩。(2)當輪子又滾又滑時，若已知，求輪子對B點的動量矩。

7-7

如圖7.21所示，已知電機產生的轉矩MO與其角速度的關系為MO=MO1(1/)，其中MO1表示電機的啟動轉矩，表示電機無負載時的空轉角速度，且MO1和都是已知常量。又作用在飛輪上的阻力矩MF可以認為不變。電機軸連同其上的飛輪對軸O的轉動慣量是JO。試求當MO>MF時電機啟動后角速度隨時間t而變化的規(guī)律。7-8如圖7.22所示，小球A，B以細繩相連。質量皆為m，其余構件質量不計。忽略摩擦，系統(tǒng)繞z軸自由轉動，初始時系統(tǒng)的角速度為。當細繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成角時系統(tǒng)的角速度。

7-9

如圖7.23所示，傳動軸Ⅰ和Ⅱ的轉動慣量分別為J1和J2，傳動比，R1，R2分別為輪Ⅰ，Ⅱ的半徑。今在軸Ⅰ上作用主動力矩M1，軸Ⅱ上有阻力力矩M2，轉向如圖所示。設各處摩擦忽略不計，求軸Ⅰ的角加速度。7-10如圖7.24所示，勻質細桿AB的質量為m，長度2l，放在鉛直面內，兩端分別沿光滑的鉛直墻壁和光滑的水平地面滑動。假設桿的初位置與墻成交角，初角速度等于零；試求桿沿鉛直墻壁下滑時的角速度和角加速度以及桿開始脫離墻壁時它與墻壁所成的角度1。

7-11

如圖7.25所示，高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉動，它關于轉軸O的轉動慣量為J。沿傾角為的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動轉矩為M。設繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。7-12如圖7.26所示，均質圓盤，質量為m，半徑為R，不計軸承摩擦，圖示位置時，OB處于水平?，F(xiàn)將繩子BD突然切斷，求：該瞬間軸承O處的反力。

7-13

如圖7.27所示系統(tǒng)。均質圓輪為A，質量為m1，半徑為r1，以角速度繞軸A轉動；均質圓輪為B，質量為m2，半徑為r2，繞軸B轉動。初始靜止；現(xiàn)將輪A放置在輪B上，問自A輪放在B輪上到兩輪間無相對滑動為止，需用多少時間。設兩輪間的摩擦因數(shù)為，略去軸承摩擦和桿OA的質量