壓桿穩(wěn)定性計(jì)算

....16壓桿穩(wěn)定性的概念條件，就能保證其正常工作。但是，實(shí)踐與理論證明，這個(gè)結(jié)論僅對(duì)短粗的壓桿就是本章將要爭(zhēng)論的壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題。當(dāng)短粗桿受壓時(shí)(圖16-1a)，在壓力F由小漸漸增大的過(guò)程中，桿件始終保F到達(dá)屈服強(qiáng)度載荷Fs

(或抗壓強(qiáng)度載荷F)，b桿件發(fā)生強(qiáng)度破壞時(shí)為止。但是，假設(shè)用一樣的材料，做一根與圖16-1a所示的同樣粗細(xì)而比較長(zhǎng)的桿件(圖16-1b)，當(dāng)壓力F比較小時(shí)，這一較長(zhǎng)的桿件尚能F漸漸增大至某—數(shù)值F1的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。此時(shí)，F(xiàn)1

可能遠(yuǎn)小于Fs

(或F)?？梢?jiàn)，瘦長(zhǎng)桿b在尚未產(chǎn)生強(qiáng)度破壞時(shí)，就因失穩(wěn)而破壞。16－1側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)(圖16-2)；受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過(guò)大時(shí)，其外形可能突然變成橢圓(圖16-3)；圓環(huán)形拱受徑向均布?jí)毫r(shí)，也可能16-4)。本章中，我們只爭(zhēng)論受壓桿件的穩(wěn)定性。 16-3第一種狀態(tài)，小球在凹面內(nèi)的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5a所示。先用外衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。其次種狀態(tài)，小球在凸面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5c所示。當(dāng)用外置。因此，小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。O16-5b加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃诘奈恢肙1再次處于平衡，既沒(méi)有恢復(fù)原位的趨勢(shì)，也沒(méi)有連續(xù)偏離的趨勢(shì)。因此。我們稱小球原有的平衡狀態(tài)為隨遇平衡。16-516-616-6aF由小變大的過(guò)程中，可以觀看到：當(dāng)壓力值F較小時(shí)，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來(lái)的平衡位置。假設(shè)1平衡位置，如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。當(dāng)壓力值F超過(guò)其一限度F

時(shí)，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時(shí)，只2 cr要有一稍微的橫向干擾，壓桿就會(huì)連續(xù)彎曲，不再恢復(fù)原狀，如圖16-6d所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。Fcr

時(shí)，一旦續(xù)彎曲，如圖16-6c稱為臨界狀態(tài)。態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為臨界力或臨界載荷，用Fcr

表示。關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。兩端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力16-7a16-7以認(rèn)為能夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開(kāi)，保存局部如圖16-7bMxF

v (a)在式(a)中，軸向壓力Fcr

cr取確定值。這樣，在圖示的坐標(biāo)系中彎矩M與撓度v的符號(hào)總相反，故式(a)中加了一個(gè)負(fù)號(hào)。當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí)，根據(jù)撓曲線近似微分方程有d2v

F v cr

(b)dx2

EI EII應(yīng)當(dāng)是橫截面的最小慣性矩。令

Fk2 crEI

(c)

dx2

k2v0 (d)12vCsinkxCcoskx (e)12式中C、C 為積分常數(shù)。由壓桿兩端鉸支這一邊界條件1 2x0，v0 (f)xl，v0 (g)將式(f)代入式(e)，得C 0，于是2v Csinkx (h)1(h)，有

Csinkl 0 (i)1在式(i)中，積分常數(shù)C不能等于零，否則將使有v 0，這意味著壓桿處于直線1平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)相沖突，所以只能有sinkl0 (j)(j)解得kln則

k＝n (k)lk2或

n2 2 F cr l2 EIF n22EI

n

(l)cr l2 由于n可取0，1，2，…中任一個(gè)整數(shù)，所以式(1)說(shuō)明，使壓桿保持曲線形態(tài)界力公式式(16-1)又稱為歐拉公式。

F 2EIcr l2

(16-1)在此臨界力作用下，k＝l

，則式(h)可寫成v Csinx1 l

(m)

l代入式(m)，可得壓桿跨長(zhǎng)中點(diǎn)處撓度，即壓桿的最大撓度2v C

sinxlC vxl 12

l 2

maxC是任意微小位移值。C之所以沒(méi)有一個(gè)確定值，是由于式(b)中承受了撓曲線1 1的近似微分方程式。假設(shè)承受撓曲線的準(zhǔn)確微分方程式，那么C值便可以確定。1這時(shí)可得到最大撓度v 與壓力F之間的理論關(guān)系，如圖16-8的OAB曲線。此max曲線說(shuō)明，當(dāng)壓力小于臨界力Fcr

F與v

max

Fcr

時(shí)，壓桿撓度急劇增加。C1vvmax圖16-8在以上爭(zhēng)論中，假設(shè)壓桿軸線是抱負(fù)直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻桿件上的壓力有一個(gè)微小的偏心距e。試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，實(shí)際壓桿的F與v 的關(guān)max16-8ODODOAB。不同桿端約束瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力(16-1)臨界力與約束有關(guān)。約束條件不同，壓桿的臨界力也不一樣，即桿端的約束對(duì)臨界力有影響。但是，不管桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端鉸支臨界力出幾種常見(jiàn)約束條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。一端固定另一端自由瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力16-9形式下保持平衡。將撓曲線AB對(duì)稱于固定端A向下延長(zhǎng)，如圖中假想線所示。一樣。所以，對(duì)于—端固定另一端自由且長(zhǎng)為l的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長(zhǎng)為2l的壓桿的臨界力，即F 2EIcr 圖16-9 圖16-10 圖16-11兩端固定瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)C和Dl4

l2

對(duì)于兩端固定且長(zhǎng)為l的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長(zhǎng)為即

l的壓桿的臨界力，2F 2EIcr l22 一端固定另一端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力16-11B為0.7l處，C0.7ll0.7l的壓桿的臨界力，即

F 2EIcr 0.7l2便可將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫F cr

(16-2)(16-2)數(shù)上。稱為長(zhǎng)度系數(shù)l為壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度，表示把長(zhǎng)為l的壓桿折算成兩端鉸支壓桿后的長(zhǎng)度。幾種常見(jiàn)約束狀況下的長(zhǎng)度系數(shù)列入表16-1中。表16-1 壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)壓桿的約束條件壓桿的約束條件兩端鉸支兩端固定一端固定，另一端鉸支長(zhǎng)度系數(shù)=1=2=1/2≈0.7，對(duì)于這些簡(jiǎn)單約束的長(zhǎng)度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得。歐拉公式的適用范圍閱歷公式臨界應(yīng)力和柔度A應(yīng)力cr，F(xiàn) cr

2EI

(a)引入截面的慣性半徑i(a)，得

cr A i2IA

(16-3)cr假設(shè)令li則有

2El2 i

(16-4) 2Ecr 2

(16-5)式(16-5)就是計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的公式，是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，li

稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，它集中反映了壓桿的長(zhǎng)度、約束條件、截面尺(16-5)在壓桿穩(wěn)定問(wèn)題中，柔度是一個(gè)很重要的參數(shù)。歐拉公式的適用范圍d2vdx2

Mx，而EI材樹(shù)比例極限 時(shí)，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗(yàn)曲線格外相符，而當(dāng)臨p界應(yīng)力超過(guò) 時(shí)，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來(lái)越大(如圖16-12所示)。p這說(shuō)明歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí)才適用，即EPEP 2EIcr 2 p

或

(b)假設(shè)用表示對(duì)應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限 時(shí)的柔度值，則p pEP EPp

〔16-6〕pE和比例極限pQ235E＝200GPa， 代入式(16-6)，得p200109200200109200106

99.3從以上分析可以看出：當(dāng) 時(shí)， p cr p壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足 的壓桿稱為瘦長(zhǎng)桿或大柔度桿。p中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于 。試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，這種壓桿喪失p承載力量的緣由仍舊是失穩(wěn)。但此時(shí)臨界應(yīng)力 已大于材料的比例極限 ，歐cr p的閱歷公式：直線公式和拋物線公式。直線公式把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。 ab (16-7)crab(16-7界應(yīng)力 隨著柔度的減小而增大。crpp的壓桿都可以應(yīng)用直線公式。由于當(dāng)值很小時(shí)，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過(guò)了材料的屈服強(qiáng)度s或抗壓強(qiáng)度b，這是桿件強(qiáng)度條件所不允許的。因此，只有在臨界應(yīng)力cr不超過(guò)屈服強(qiáng)度s(或抗壓強(qiáng)度b)時(shí)，直線公式才能適用。假設(shè)以塑性材料為例，它的應(yīng)用條件可表示為 abcr s

或asb假設(shè)用表示對(duì)應(yīng)于 時(shí)的柔度值，則s sa s b

(16-8)這里，柔度值是直線公式成立時(shí)壓桿柔度的最小值，它僅與材料有關(guān)。對(duì)sQ235鋼來(lái)說(shuō)， 235MPa，a=304MPa，b1.12MPa。將這些數(shù)值代入式(16-8)，s得 30423561.6s 1.12當(dāng)壓桿的柔度值滿足 條件時(shí)臨界應(yīng)力用直線公式計(jì)算這樣的壓桿s p被稱為中柔度桿或中長(zhǎng)桿。拋物線公式把臨界應(yīng)力 與柔度的關(guān)系表示為如下形式cr 2

(16-9)cr s1a c c式中 是材料的屈服強(qiáng)度，a是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，是歐拉公式與拋物線s c公式適用范圍的分界柔度，對(duì)低碳鋼和低錳鋼E0.57s E0.57sc

(16-10)小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度滿足條件時(shí)，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實(shí)s驗(yàn)證明，小柔度桿主要是由于應(yīng)力到達(dá)材料的屈服強(qiáng)度 (或抗壓強(qiáng)度 )而發(fā)s b強(qiáng)度(或抗壓強(qiáng)度)看作臨界應(yīng)力，即s b cr 〔或 〕cr s b臨界應(yīng)力總圖16-13該曲線是承受直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說(shuō)明如下：16-13當(dāng) 時(shí)，是瘦長(zhǎng)桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問(wèn)題，臨界應(yīng)力用p歐拉公式計(jì)算。當(dāng)〔或〕< 時(shí)，是中長(zhǎng)桿，存在超過(guò)比例極限的穩(wěn)定問(wèn)題，臨界應(yīng)s b p力用直線公式計(jì)算。當(dāng)〔或〕時(shí)，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，只有強(qiáng)度問(wèn)題，臨s b界應(yīng)力就是屈服強(qiáng)度 或抗壓強(qiáng)度 。s b向失穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式(16-5)和式(16-9)，可以繪出承受拋物線公式時(shí)的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-1416-14壓桿穩(wěn)定性計(jì)算AI。FcrF數(shù)n，它應(yīng)當(dāng)不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst

。因此壓桿的穩(wěn)定性條件為FncrnF

(16-11)常,nst

規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)高，緣由是一些難以避開(kāi)的因素(例如壓桿的初彎曲、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等)對(duì)壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)對(duì)強(qiáng)度的影響。式(16-11)是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件

(a)A其中st

stncr

(b)st

st為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力cr

隨壓桿的柔度而變，而且對(duì)不同柔nst

st

是柔度的函數(shù)。在某些1作為穩(wěn)定許st

st

(c)式中稱為折減系數(shù)st

是柔度也是1。幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表16-3中，引入折減系數(shù)后，式(a)可寫為(16-12)A例16-1 圖16-15為—用20a工字鋼制成的壓桿材料為Q235鋼=200Mpa，=200MPa，壓桿長(zhǎng)度l=5m，F(xiàn)=200kNn=2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。p st16-15解計(jì)算由附錄中的型鋼表查得i 2.12cmi y z小，柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)肯定發(fā)生在壓桿 的縱向平面max內(nèi)max

iy

0.552.12102

117.9計(jì)算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性EP200109200EP200109200106p

99.3由于 ，此壓桿屬瘦長(zhǎng)桿，要用歐拉公式來(lái)計(jì)算臨界應(yīng)力max p 2E

2200103

MPa142MPacr

2max

117.92F Acr cr

35.5104142106N504.1103N504.1kNFn crF

504.1 2.57nF 200 st所以此壓桿穩(wěn)定。例16-2 =200MPa，p F=110kNn=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。s st16-16解 依據(jù)圖16-16中連桿端部約束狀況在xy縱向平面內(nèi)可視為兩端鉸支；在xz平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以I I。y z在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再依據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來(lái)計(jì)算臨界力。計(jì)算xy1，z軸為中性軸IzA2 32 3i h 6 cmIzA2 32 3z lz iz

54.31.7320.5，y軸為中性軸IyAi IyAy

2.52 32 32 32 3

cm0.722cm ly iy

0.59062.30.722 xz縱向平面內(nèi)。y z max y計(jì)算臨界力，校核穩(wěn)定性EP200109200EP200109200106p

99.3 ,該連桿不屬瘦長(zhǎng)桿，不能用歐拉公式計(jì)算其臨界力。這里承受直線公max p16-2，Q235鋼的a304MPab1.12MPa as30423561.6s ，屬中等桿，因此s max p

b 1.12F Acr cr

62.5104234.2103kN351.3kNFn cr

該連桿穩(wěn)定。

st F 110 st例16-3 螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內(nèi)徑d5.2cm，最大長(zhǎng)度sl50cm。材料為Q235鋼，E=200GPa， 240MPa，千斤頂起重量F=100kN。假設(shè)sn＝3.5，試校核絲杠的穩(wěn)定性。st16-17解計(jì)算絲杠可簡(jiǎn)化為下端固定，上端自由的壓桿IAIAd464d44i 4l

4l425077Fcr

i，校核穩(wěn)定性

d 5.2E0.57s2001090.57240E0.57s2001090.57240106cc，承受拋物線公式計(jì)算臨界應(yīng)力c

2

772crs1a

24010.43 MPa197.5MPa120 c

cr cr

5.221044

197.5103kN419.5kNFn crF

419.54.2nst F 100 st千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用活塞直徑D65mm油壓p1.2MPa活塞桿長(zhǎng)度l1250mm兩端視為鉸支材料為碳鋼， 220MPa，pE=210GPa。取nst

6，試設(shè)計(jì)活塞直徑d。解Fcr活塞桿承受的軸向壓力 2F4D2p465103

1.2106N3982N活塞桿工作時(shí)不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為

F ncr

F63982N23892N2 d4Fcr

2EI

E64l2

23892N464238921.252d3210109

m0.0246m可取d25mm，然后檢查是否滿足歐拉公式的條件l

4l41250200i p

d 25Ep210Ep210109220106

97由于p，所以用歐拉公式計(jì)算是正確的。例16-5 簡(jiǎn)易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端鉸接的AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力140MPa，試校核AB桿的穩(wěn)定性。16-18解AB桿所受軸向壓力，由平衡方程M 0，F(xiàn)1500sin302023F 0c Q得F53.3KN計(jì)算i

1IA1D2dIA1D2d2

502402mm16mm

i

1 1500 cos3010816據(jù)10816-30.55,穩(wěn)定許用應(yīng)力AB桿工作應(yīng)力

st

0.55140MPa77MPaFA 4

53.3103 502402106

MPa75.4MPast

AB桿穩(wěn)定。拉公式。解16-19F。于是撓曲線的微分方程為FcrFFcrFd2vM(x)

Fv F cr (lx)cr設(shè)k2FcrEI

dx2，則上式可寫為dx2

EI EI EIFk2vEI(l