八年級數(shù)學(xué)上冊《第十三章學(xué)習(xí)最短路徑問題》練習(xí)題

八年級數(shù)學(xué)上冊《第十三章學(xué)習(xí)最短路徑問題》練習(xí)題

（含答案解析）

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.如圖，在等邊三角形A5C中，D,E分別是8C,AC的中點，點尸是線段AO上的一個動點，當(dāng)，PCE

的周長最小時，P點的位置在（)

A.A點處B.。點處

C.AO的中點處D.二三條高的交點處

2.如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中,

可以瞄準的是（）

A.點AB.點BC.點CD.點D

3.如圖，點A,B在直線/的同側(cè)，在直線/上找一點P,使外+PB最小，則下列圖形正確的是（）

B*

4.如圖，四邊形A8C。是菱形，以點8為圓心，8。長為半徑作弧，交AD于點E；分別以點。、E為圓

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心，大于;DE長為半徑作弧，兩弧交于點F,射線BF交邊AO于點G,連接CG,若4CG=30°,AG=3,

則A3的長為（）

A.瓜B.3娓C.幽D.6

2

5.如圖，在4x4正方形網(wǎng)格中，已將圖中的四個小正方形涂上陰影，若再從圖中選一個涂上陰影，使得整

個陰影部分組成的圖形是軸對稱圖形，那么不符合條件的小正方形是（）

C.③D.④

6.如圖，在等腰三角形ABC中，4B=4C=13,8c=10,。是8c邊上的中點，AD=\2,M,N分別是和

AB上的動點，則8M+MN的最小值是（）

c

7.如圖，RfZiACB中，ZACB=90°,△ACB的角平分線AD,8E相交于點P,過P作PF_LAD交8c的延

長線于點凡交AC于點H,則下列結(jié)論：①NAPB=135。；@AD=PF+PH；③。"平分NCCE；④S困也彩ABDE=

7

-SAABP；⑤S4APH=SMDE,其中正確的結(jié)論有（）個

4

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A.2B.3C.4D.5

二、填空題

8.如圖，AABC的周長為24cm,。E垂直平分A3,交BC于點D,垂足為點E,AE=4cm,則△ACD的周

長為cm.

9.如圖，在AABC中，ZC=78°,分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點

“、N,作直線交AC點。；以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交84、BC于點E、F,再分

別以點E、尸為圓心，大于;EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線5P,此時射線恰好經(jīng)過點。，

則NA=度.

10.如圖，在平面直角坐標系中，點A,8的坐標分別為(1,4)和(3,0),C是y軸上的一個動點，且A,B,

C三點不在同一條直線上，當(dāng)一A8C的周長最小時，OC的長度為.

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11.如圖，在A4BC中，AB=lcm,BC=5cm,AC的垂直平分線分別交AB,AC于點E,點F是DE

上的任意一點，則MC尸周長的最小值是cm.

三、解答題

12.如圖，在所給的平面直角坐標系中，正方形網(wǎng)格單位長是1,AA8C的頂點都在格點上.

(1)已知4(-5,0),8(-1,0),C(-3,2),作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△ABC,并寫出點4,B,,C

的坐標.

(2)在y軸上向出點P,使B4+PC最小.

⑶在(1)的條件，在y軸上畫出點使-MCI最大.

13.如圖，已知直線/和直線外三點A,B,C,按下列要求畫圖：

?C

.B

(1)畫射線A8；

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(2)連接BC,延長BC至點。，使得CQ=BC；

(3)在直線/上確定點E,使得點E到點A,點C的距離之和最短.

14.如圖，4ABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AC=8C=2,。是BC的中點，AD<,P為AB上

一個動點.

(1)在AB上，是否存在一點P,使尸C+PD的值最小(填"是''或"否")；

(2)若存在，請直接寫出PC+P力的最小值；若不存在，請說明理由.

15.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的10x10的網(wǎng)格中(我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點),

四邊形4BCC在直線/的左側(cè)，其四個頂點4,B,C,。分別在網(wǎng)格的格點上.

(1)請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形AiBCQi，使四邊形ABCD和四邊形ABCD關(guān)于直線/對稱;

(2)在(1)的條件下，結(jié)合你所畫的圖形，直接寫出四邊形4以。功的面積.

(D如圖1,CB平分NACZ),求證：四邊形ABZJC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△COE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NB4C),BC,OE的延長線相交于點凡用

等式表示NACE與NEFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于N48C),若NBAD=NBCD,求/AOB的

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度數(shù).

參考答案：

1.D

【分析】連接BP,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AO是8c的垂直平分線，根據(jù)三角形的周長公式、兩點之

間線段最短解答即可.

【詳解】解：連接BP,

「△ABC是等邊三角形，。是BC的中點，

.?.AO是BC的垂直平分線，

：.PB=PC,

當(dāng)尸C+PE的長最小時，即P8+PE最小

則此時點B、P、E在同一直線上，

又???BE為中線，A4BC是等邊三角形

.?.點「為^ABC的三條中線的交點，也就是△ABC的三條高的交點.

故選：D

【點睛】本題考查的是等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)，熟記等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.D

【分析】如下圖

【詳解】如圖，

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ABCD

由圖可知可以瞄準的點為點D.故選D.

3.B

【分析】作A點關(guān)于/的對稱點4,連接A'8與/的交點為P,此時B4+PB最小.

【詳解】解：???點A，B在直線/的同側(cè)，

；?作A點關(guān)于/的對稱點4,連接與/的交點為P,

由對稱性可知AP=A，P,

此時以+P8最小，

故選:B.

【點睛】本題考查了對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短，理解兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)同圓半徑相等、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得防垂直平分DE,再根

據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO〃BC,A8=8C,從而可得aU8C,然后設(shè)BG=x,利用勾股定理可得8C=石x,

最后在RJABG中，利用勾股定理即可得.

.?.8尸垂直平分OE，

四邊形ABC。是菱形,

:.AD//BC,AB=BC,

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BF工BC,

設(shè)8G=x,

在R,BCG中，NBCG=30°,

:.CG=2BG=2x,BC='JCG2-BG2=瓜，

AB=,

在Rt_ABG中，AG2+BG2=AB2,即3?+/=（后）2,

解得x后或x=-1夜（不符題意，舍去），

22

則AB=V5X=A/5X3夜=3后，

22

故選：C.

【點睛】本題考查了同圓半徑相等、菱形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、利用平方根解方程等知

識點，熟練掌握線段垂直平分線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.A

【分析】把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；

接下來，依據(jù)給出圖形的特點，結(jié)合軸對稱圖形的定義進行解答即可.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可知：分別在下圖1,2,3處涂上陰影都可得到一個軸對稱圖形，故

不符合條件的選A.

【點睛】本題考查軸對稱圖形的相關(guān)性質(zhì)，熟悉掌握是解題關(guān)鍵.

6.D

【分析】作BH_LAC,垂足為H,交AD于M，點，過M，點作MN_LAB,垂足為N，，則BM4MN，為所求

的最小值，根據(jù)勾股定理求出AD,再根據(jù)面積不變求出BH即可.

【詳解】如圖，作BHLAC,垂足為H,交AD于M點，過M點作MNJ_AB,垂足為N，，則BM+MN為

所求的最小值.；AB=AC,D是BC邊上的中點，；.AD是NBAC的平分線，，MH=MN,...最短距離是

；S..=-BCxAD=-ACxBHBH=—.

BH，nr22，;]3

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故選D.

C

NB

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過三線

合一的性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.

7.B

【分析】①正確.利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問題.

②正確.證明△ABPgZkFBP,推出以=尸尸，再證明△4P"g△FP￡),推出。即可解決問題.

③錯誤.利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可.

④錯誤，可以證明Sa?/AB￡>E=2SzABP.

⑤正確.由。H〃PE,利用等高模型解決問題即可.

【詳解】解：在△ABC中，AD、BE分別平分NBAC、NABC

,ZNACB=90。

，ZA+ZB=90°

又：AD、8E分別平分NBAC、ZABC

：.ZBAD+ZABE^^(NA+NB)=45°

AZAPB=135°,故①正確

，ZBPD=45°

又?.?PF_LA。

：.ZFPB=90°+45°=135°

：.NAPB=NFPB

又,:ZABP=ZFBP

BP=BP

:.缸ABP4l\FBP(ASA)

:./BAP=NBFP,AB=FB,PA=PF

在4424和4尸P。中

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NAPH=NFPD

PA=PF

NPAH=/PFD

:?△APH9XFPD(ASA)

：.PH=PD

：.AD=AP+PD=PF+PH.故②正確

■:△ABPeXFBP,LAPH^/XFPD

：.SAAPB=SAFPB,S*PH=S/PD,PH=PD

ZHPD=90°

：.ZHDP=ZDHP=45°=ZBPD

：.HD//EP

:&EPH=SAEPD

：.SAAPH=SAAED,故⑤正確

?二S四邊形ABDE=SAABP+SAAEP+SAEP0SAPBD

=SAABP+(SAAEP+SAEPH)$PBD

=SAABP$APH+SAPBD

=SAABP$FPD+SAPBD

=SAABP+SAFBP

=2SAA8P,故④不正確

若O”平分NCDE,則NCDH=/EDH

■:DH〃BE

：.ZCDH=ZCBE=ZABE

：./CDE=NABC

：.DE//AB,這個顯然與條件矛盾，故③錯誤

故選B.

【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積

等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

8.16

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=2AE=S(cm),根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答

案.

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【詳解】解：???△ABC的周長為24cm,

.,.AB+AC+BC=24cm.

是A8的垂直平分線，AE=4cm,

J.DA^DB,4B=2AE=8(cm),

，AC+BC=24-8=16(cm),

?.AACD的周^:=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=16(cm),

故答案為：16.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

9.34

【分析】由作圖可得MN是線段AB的垂直平分線，是NABC的平分線，根據(jù)它們的性質(zhì)可得

ZA=ZABD=NCBD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解.

【詳解】由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，8。是NABC的平分線，

AD=BD,ZABD=NCBD=-ZABC

2

：.ZA=ZABD

：.ZA=ZABD=NCBD

ZA+ZABC+NC=180°,且NC=78。，

ZA+2ZABD=180°-ZC,即3ZA=180。-78°,

4=34°.

故答案為：34.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，作線段垂直平分線和角平分線，熟練掌握角平分線和垂直平分線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.3

【分析】作點4關(guān)于y軸的對稱點4,則點4的坐標為(-1,4),連接48交)，軸于點C,此時AABC的周

長最小，由點4,B的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)圖像上點的坐

標特征可求出點C的坐標，進而可得出OC的長.

【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點4,連接A3交丫軸于點C,止匕時ABC的周長最小.

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???點A的坐標為（1,4）,

.?.點4的坐標為（一1,4）.

設(shè)直線A'3的函數(shù)解析式為y=依+/％*0），

將點A1-1,4),8(3,0)代入>=

—k+b=4k=-l

得3j=。,解得

h=3

直線A'3的函數(shù)解析式為y=-x+3.

當(dāng)x=0時，y=3,

???點C的坐標為（0,3）,

...OC=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及軸對稱-最短路線問

題，利用兩點之間線段最短，確定當(dāng)AABC的周長最小時點C的坐標.

11.12

【分析】當(dāng)尸點于。重合時，?的周長最小，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可求出?的周長.

【詳解】垂直平分AC,...點C與A關(guān)于QE對稱，

.?.當(dāng)尸點于。重合時，即4、。、B三點在一條直線上時，BF+CF=AB最小,（如圖），

\BCF的周長為：C^CF=BD+CD+BC,

VOE是垂直平分線，

AD=CD,

XVAB=7cm,

：.BD+AD=BD+CD=7cm,

C&BCF=7+5=12cm,

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故答案為：12.

【點睛】本題考查最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等,

熟練掌握最短路徑的求解方法以及垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(1)圖見解析，4'(5,0),B'(1,0),C(3,2).

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖并得到坐標即可；

(2)連接AC'與y軸交點即為點尸；

(3)延長C5,交)，軸于一點，即為點

(1)

解：如圖,AA'B'C,A'(5,0),B'(1,0),C(3,2).

(2)

如圖，點P即為所求;

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y

(3)

點M即為所求.

【點睛】此題考查了有關(guān)軸對稱，最短路徑的問題中的作圖步驟，用到的知識點為：兩點之間線段最短,

注意作圖形變換這類題的關(guān)鍵是找到圖形的對應(yīng)點.

13.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）射線AB即為起點為A,方向是從A向8,由此作圖即可;

（2）先連接線段BC,然后沿BC方延長，最后在延長線上截取CD=BC即可;

（3）連接AC,與直線/的交點即為所求.

【詳解】解：（1）如圖所示：射線即為所求;

(2)如圖所示：連接BC并延長線段BC,然后截取C0=BC,點。即為所求;

1于點E,點E即為所求.

【點睛】本題考查基本作圖，涉及線段，射線等，理解射線的定義，掌握兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵.

14.⑴是;

⑵石

【分析】（1）作。關(guān)于直線A8的對稱點E,連接CE,與A8的交點即為P,此時尸C+P。的值最小;

（2）證明/CBE=90。，根據(jù)PC+P。的最小值等于CE計算即可.

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(1)

如圖，作。關(guān)于直線AB的對稱點E,連接CE,與AB的交點即為P,此時PC+尸。的值最小;

故答案為：是

(2)

???△A8C是等腰直角三角形，

：.ZCBA=45°

.。關(guān)于直線AB的對稱點E

...NCBA=NEBA=45°,EB=BE,PD=PE

；.NCBE=90。

?.,。是BC的中點

:.DB=DC=BE

'：AC^BC=2

：..ACD=^CBE(SAS)

AD=CE=y[5

PC+PD=PC+PE=CE=4S

即PC+PZ)的最小值為石

【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及判定，利用軸對稱的性質(zhì)對線段進行轉(zhuǎn)化是

解題的關(guān)鍵.

15.(1)見解析；(2)二

【分析】(1)直接根據(jù)軸對稱的性質(zhì)分別找到45。。/,然后順次連接即可得出答案；

(2)用四邊形A/B/G。所在的矩形的面積減去四個小三角形的面積即可得出答案.

【詳解】(1)如圖，

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【點睛】本題主要考查軸對稱，會作軸對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

16.⑴見解析

(2)ZACE+Z￡'FC=180°,見解析

(3)30°

【分析】(1)先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)得出結(jié)論；(2)先證出NACF=NCEF,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和ZCEF+ZECF+ZEFC=180°,得到NACE+NECF+NEFC=180。，等量代換即可得

到結(jié)論；(3)在AD