八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)兩點(diǎn)的距離公式培優(yōu)題

2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】

專題19.11兩點(diǎn)的距離公式

姓名:班級(jí)：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米

黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.(2021春?交城縣期末)已知點(diǎn)A(1,3),8(-2,3),則A,8兩點(diǎn)間的距離是()

A.4個(gè)單位長(zhǎng)度B.3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.2個(gè)單位長(zhǎng)度D.1個(gè)單位長(zhǎng)度

【分析】由題意知，直線48〃x軸，則48=|1-(-2)|.

【解析】由點(diǎn)A(1,3),8(-2,3)知，AB=\\-(-2)|=3,即A,8兩點(diǎn)間的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)

度.

故選：B.

2.(2020秋?安徽期中)已知點(diǎn)A(0,-6),點(diǎn)B(0,3),則A,B兩點(diǎn)間的距離是()

A.-9B.9C.-3D.3

【分析】由于A、8點(diǎn)都在y軸上，然后用8點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去A點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得到兩點(diǎn)之間的距離.

【解析】YA(0,-6),點(diǎn)B(0,3),

8兩點(diǎn)間的距離=3-(-6)=9.

故選：B.

3.(2019秋?張店區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M(-2,3)與點(diǎn)N(-2,y)之間的距離是5,那

么y的值是()

A.-2B.8C.2或8D.-2或8

【分析】由點(diǎn)M,N點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合MN=5,可得出關(guān)于y的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得

出結(jié)論.

【解析】???點(diǎn)M(-2,3)與點(diǎn)N(-2,>')之間的距離是5,

??.|廠3|=5,

解得：y=8或丫=-2.

故選：D.

4.(2020春?贛州期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-3,2),B(3,5),C(x,)，)，若4C〃x軸，則線

段BC的最小值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為()

A.6,(-3,5)B.10,(3,-5)C.1,(3,4)D.3,(3,2)

【分析】根據(jù)坐標(biāo)的定義可求得y值，根據(jù)線段8c最小，確定垂足為點(diǎn)C,進(jìn)一步求得BC

的最小值和點(diǎn)C的坐標(biāo).

【解析】依題意可得：

p

,B

4-C

-5-4-3-2-1(12345^

；AC〃x軸，A(-3,2)

/?y=2,

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)4c于點(diǎn)C時(shí)，

點(diǎn)B到AC的距離最短，即

BC的最小值=5-2=3,

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2),

故選：D.

5.(2019秋?無(wú)錫期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(-48，0),點(diǎn)8(a,aa),則當(dāng)AB取得最小值時(shí)，a

的值為()

A.-V3B.-3C.0D.V3

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論.

【解析】?.,點(diǎn)4(一4g，0),點(diǎn)B(a,V3a),

：.AB=J(-4百-a)2+(V3a)2=2J(a+V3)2+9,

...當(dāng)AB取得最小值時(shí)，。的值為一6，

故選：A.

6.（2020秋?南京期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，且到4（0,2）和點(diǎn)8（5,5）

的距離相等，則線段OP的長(zhǎng)度為（）

A.3B.4C.4.6D.2后

【分析】設(shè)點(diǎn)P（x,0）,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程，即可得到結(jié)論.

【解析】設(shè)點(diǎn)2（?0）,

根據(jù)題意得,?+22=（5-x）2+52,

解得：x—4.6,

：.0P=4.6,

故選：C.

7.（2019春?東湖區(qū)校級(jí)期末）P\（xi,yi）,Pi（電＞2）是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn),我們把|xi-X2|+|yi

-泗叫做Pi,P2兩點(diǎn)間的''直角距離”，記作P2）.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸（x,y）,定點(diǎn)Q（2,1）滿足d

（P,Q）=2,且x、y均為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（）個(gè)

A.4B.6C.8D.10

【分析】由條件可得到-2\+\y-1\—2,分四種情況：①x-2=±2,y-1=0,②x-2=±1,y-1=±1,

③x-2=0,y-1=±2,進(jìn)行討論即可求解.

【解析】依題意有，

|x-2|+|y-1|=2,

①x-2=±2,)，-1=0,

解得曰d

?x-2=±1,y-1=±1,

解得尸;,尸;，『二

(y=2(y=0(y=2(y=0

③X-2=0,y-1=±2,

解瞰：;，(；：-r

故滿足條件的點(diǎn)P有8個(gè).

故選：c.

8.（2019春?古冶區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2,0）和（0,3）,則這兩點(diǎn)

之間的距離是（）

A.V13B.V5C.13D.5

【分析】先根據(jù)A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出OA及。8的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解析】VA（2,0）和B（0,3）,

：.OA=2,08=3,

：.AH=>JOA2+OB2=y/22+32=V13.

故選：A.

9.（2017春?羅山縣期末）Pi（xi,yi）,P2（%2.>2）是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)，我們把|xi-X2|+|yi

->2|叫做Pl,尸2兩點(diǎn)間的“直角距離”,記作d（P,尸2）.比如：點(diǎn)尸（2,-4）,Q（1,0）,則d（P,

2）=|2-11+1-4-0|=5,已知Q（2,1）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足d（P,。）=3,且x、y均為整數(shù)，則

滿足條件的點(diǎn)「有（）個(gè).

A.4B.8C.10D.12

【分析】由條件可得到|x-2|+|y-1|=3,分四種情況：①x-2=±3,y-1=0,②x-2—±2,y-1=±1,

③x-2=±l,y-I=±2,④x-2=0,y-1=±3,進(jìn)行討論即可求解.

【解析】依題意有

|x-2|+|y-1|=3,

①x-2=±3,y-1=0,

解得憂「，咒:；

②x-2=±2,y-1=±1,

解嘮:；，3：；，［：：，｛；*

③x-2=±l,y-1=±2,

解啜二‘修w,m：%

④x-2=0,y-1=±3,

解得｛EH

故滿足條件的點(diǎn)尸有12個(gè).

故選：D.

10.(2016春?周口期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(-x,2x)到原點(diǎn)。的距離等于5,則x的值是()

A.±1B.1C.V5D.±V5

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可.

【解析】???點(diǎn)尸(-x,2%)到原點(diǎn)。的距離等于5,

；./+4/=25,解得x=±V5.

故選：D.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上

11.(2021春?椒江區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(4,-3)到原點(diǎn)的距離是5.

【分析】直接利用兩點(diǎn)簡(jiǎn)的距離公式計(jì)算.

【解析】點(diǎn)A(4,-3)到原點(diǎn)的距離="+4?=5.

故答案為5.

12.(2021春?平羅縣期末)平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-1,3)和點(diǎn)8(1,2),則線段4B的長(zhǎng)為_遍_.

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段AB的長(zhǎng)，本題得以解決.

【解析】點(diǎn)A(-1,3)和點(diǎn)8(L2),

J(-l-l)2+(3-2)2=V5,

故答案為：V5.

13.(2019秋?金山區(qū)期末)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-3,1)和8(3,-1),則A、5兩點(diǎn)間的距離

等于2同.

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式d=2-巧)2+02-丫i)2解答即可.

【解析】?.?直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-3,1)和8(3,-1),

...A、B兩點(diǎn)間的距離等于J(-3—34+(-1—1)2=2同,

故答案為2VIU.

14.(2020春?臨河區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M(2,4)與點(diǎn)NCx,4)之間的距離是3,則尤

的值是-1或5.

【分析】根據(jù)點(diǎn)M(2,4)與點(diǎn)N(x,4)之間的距離是3,可以得到|2-x|=3,從而可以求得x的值.

【解析】?.?點(diǎn)例(2,4)與點(diǎn)N(x,4)之間的距離是3,

.?.|2-x|=3,

解得，x=-1或x=5,

故答案為：-1或5.

15.(2020秋?中原區(qū)校級(jí)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-V7,0),B(夕，0),點(diǎn)C在坐標(biāo)軸

上，且AC+8C=8,寫出滿足條件的所有點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,3).(0,-3),(4,0),(-4,0).

【分析】需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，根據(jù)線段間的和差關(guān)系即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)：②當(dāng)點(diǎn)

C位于y軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【解析】①當(dāng)點(diǎn)C位于)，軸上時(shí)，設(shè)C(0,b).

J(-V7)2+b2+J(V7)2+b2=8,解得，b=3或6=-3,

此時(shí)C(0,3),或C(0,-3).

②當(dāng)點(diǎn)C位于x軸上時(shí)，設(shè)C(a,0).

則I一夕-a|+|a-V7|=8,即2a=8或-2a=8,

解得a=4或a=-4,

此時(shí)C(-4,0),或C(4,0).

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(0,3),(0,-3),(-4,0),(4,0).

故答案是：(0,3).(0,-3),(4,0),(-4,0).

16.(2020春?慶云縣期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-1,0)與點(diǎn)2(0,2)的距離是—花

【分析】本題可根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出方程：0)2+(2-0)2,化簡(jiǎn)即可得出答案.

【解析】點(diǎn)A(-1,0)與點(diǎn)8(0,2)的距離是：，(-1-0)2+(2-0)2=遍.

故答案填：V5.

17.(2019春?新余期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P(mb),若點(diǎn)產(chǎn)的坐標(biāo)為(a+kb,ka+b)(其

中人為常數(shù)，且4W0),則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P的’”屬派生點(diǎn)”，例如：P(1,4)的“2屬派生點(diǎn)”為P(1+2

X4,2X1+4),即P'(9,6).若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“大屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)P',且線段尸產(chǎn)'

的長(zhǎng)度為線段0P長(zhǎng)度的5倍，則k的值為±5.

【分析】設(shè)P(m,0)由題意：P'(〃?，/欣)，根據(jù)PP'=5OP,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

【解析】設(shè)P(w>0)(m>0),由題意：P'("3，成)，

,:PP'=5OP,

\mk\=5tn,

V/z?>0,

???因=5,

：.k=±5.

故答案為：±5.

18.(2019?通州區(qū)一模)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若尸(m,/n2+4/n+3),Q(2〃，4n-8)是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(出

n為實(shí)數(shù))，則PQ長(zhǎng)度的最小值為2遙.

【分析】。點(diǎn)在直線y=2x-8上，當(dāng)P到直線的距離最小即為所求；

【解析】Q點(diǎn)在直線/：y=2x-8±,P在拋物線y=/+4x+3上

二直線與x,y標(biāo)軸交點(diǎn)分別為3(4,0),D(0,8),

設(shè)與直線y=2x-8平行的直線為y^2x+b,

當(dāng)直線為y=2x+b與拋物線y=/+4x+3有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

即2%+/?=f+4》+3,

.*.AZr+S-6=0,

.*.△=-8+48=0,

?,?力=2,

此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,0),

過(guò)A作AC1.直線/,

"：AB=5,DB=4底

.?.sin/A8C=*=等,

：.AC=2yf5；

故答案為2遍；

三、解答題(本大題共6小題，共46分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

19.(2020秋?興慶區(qū)校級(jí)期中)先閱讀下列一段文字，再回答后面的問(wèn)題：已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)

Pl(XI,y\),Pl(X2,”)，其兩點(diǎn)間的距離PlP2=刀2)2+(yi-丫2)2,同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線

在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|X2-X1I或|)，2-y\\.

(1)己知A(1,3),B(-3,-5),試求A,B兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知線段MN〃)，軸，MN=4,若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-I),試求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(0,6),￡(-3,2),F(3,2),你能判定此三角形的形狀嗎？

說(shuō)明理由.

【分析】(1)直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算；

(2)利用軸得到M、N的橫坐標(biāo)相同，設(shè)N(2,玲,利用兩點(diǎn)間的距離為4得到|什1|=4,然后

求出r即可；

(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出OE、DF、EF,然后根據(jù)三角形的分類進(jìn)行判斷.

【解析】(1)A,B兩點(diǎn)間的距離=J(1+3尸+(3+5產(chǎn)=4A/5；

(2)?.?線段MN〃y軸，

；.M、N的橫坐標(biāo)相同，

設(shè)N(2,Z).

/.|r+l|=4,解得f=3或-5,

.?.N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)或(2,-5)；

(3)△■DEF為等腰三角形.

理由如下：

,：D(0,6),E(-3,2),F(3,2),

：.DE=V(0+3)2+(6-2)2=5,DF=J(0—3。+(6-2尸=5,EF=7(-3-3)2+(2-2)2=6,

:.DE=DF,

.?.△DE尸為等腰三角形.

20.(2020秋?永安市期中)閱讀一段文字，再回答下列問(wèn)題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為Pl(xi,yi),P2

(X2,)2),則該兩點(diǎn)間距離公式為PiP2=收-&)2+Ji-丫2)2,同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所

在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可化簡(jiǎn)成㈤-x2|和|yi

(1)若已知兩點(diǎn)A(3,3),8(-2,-I),試求A,B兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知點(diǎn)M,N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7,點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2,試求M,N兩點(diǎn)

間的距離；

Ic5119

(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1,-),B(-1,7),C你能判定這三點(diǎn)是否共

23636

線？若共線請(qǐng)說(shuō)明理由，若不共線請(qǐng)求出圖形的面積.

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)M,N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7,點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2,可以利用垂直于

x軸的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)先求出A、B、C三點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間的距離，再判斷三角形的形狀.

【解析】(1)；點(diǎn)A(3,3),B(-2,-1),

：.AB=V(-2-3)2+(-l-3)2=V41,

即A,8兩點(diǎn)間的距離是〃1；

(2)?.?點(diǎn)M,N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7,點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2,

-2-7|=9,

即M,N兩點(diǎn)間的距離是9：

(3)這三點(diǎn)不共線，

該三角形為直角三角形.

1c5119

理由：?..一個(gè)三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1,-),B(一1-),C(-,—),

23636

AB=J(-1+|)2+(J-1)2=等,AC=J(-l-1)2+(|-^)2=警，BC=

,CV5r4V5rV85,,

'：AB2+AC2^(Z一)x2+(——)2=(——)2=Bd,

333

.?.△ABC是直角三角形，

.e1,?1V547510

?*S&ABC=2,48，AC=2x3x~~=9?

21.(2020?張家界模擬)先閱讀下列一段文字，在回答后面的問(wèn)題.

已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)Pl(XI,)>1)、Pl(X2,”)，其兩點(diǎn)間的距離公式。止2=>/。2—Xi)?+(丫2-'1)2,同

時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為應(yīng)-刈或

I*-yil-

(1)已知A(2,4)、8(-3,-8),試求A、8兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知A、B在平行于)，軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5,點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為-1,試求A、B兩點(diǎn)間的

距離.

(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)、8(-3,2)、C(3,2),你能判定此三角形的形狀嗎？

說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式匕22=-匕)2+=2-來(lái)求A、8兩點(diǎn)間的距離；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式|"-劉來(lái)求A、8兩點(diǎn)間的距離.

(3)先將A、B、C三點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系中，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求得AB、BC、AC的

長(zhǎng)度；最后根據(jù)三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)判斷該三角形的形狀.

【解析】(1)VA(2,4),5(-3,-8),

：.\AB\=J(一3-2尸+(—8—4,=]3,即A、B兩點(diǎn)間的距離是13；

(2)???/!、8在平行于y軸的直線上，點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為5,點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為-1,

,,.|AB|=|-1-5|=6,即A、B兩點(diǎn)間的距離是6；

(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：

?..一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6)、8(-3,2)、C(3,2),

；.A8=5,BC=6,AC=5,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

22.(2019春?豐臺(tái)區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A,B,我們把A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的

絕對(duì)值與它們縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的和叫做A,8兩點(diǎn)間的折線距離，記作d(A,B).

即：如果A(xi,yi),B(X21)2).那么d(A,B)=|xi-X2|+|yi-

(1)已知A(2,1),B(-3,0),求出d(A,B)的值；

(2)己知C(2,0),D(0,a),且d(C,D)<3,求。的取值范圍；

(3)已知M(0,2),N(0,-3),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),若P,M兩點(diǎn)間的折線距離與P,N兩點(diǎn)間的折線

距離的差的絕對(duì)值是3,直接寫出y的值并畫出所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形.

【分析】(1)根據(jù)題意給出的公式即可求出答案.

(2)根據(jù)題意給出的公式列出不等式后即可求出a的取值范圍.

(3)根據(jù)題意給出的等量關(guān)系列出等式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】(1)由題意可知：d(A,B)—\2-(-3)|+|1-0|=5+l=6；

(2)：d(A,C)=2+|a|W3,

-1WaW1；

(3)dCP,M)=|x|+|y-2|,d(P,N)=|x|+|y+3|,

由題意可知:||y-2|-|)H-3||=3,

當(dāng)y<-3時(shí)，

等式的左邊=5,此時(shí)不滿足題意；

當(dāng)-3<y<2H寸，

等式的左邊=|2y+l|,

即|2y+l|=3,

解得：y=l或丫=-2,

當(dāng)y>2時(shí)，

等式的左邊=5,不符合題意，

綜上所述，點(diǎn)尸(x,1)或(x,-2),

如圖所示.

23.(2019春?十堰期末)先閱讀下列一段文字，再解答問(wèn)題：

已知在平面內(nèi)有兩點(diǎn)Pl(XI,y\),Pl(X2,y2)＞其兩點(diǎn)間的距離公式為P/2=J(X2—%1)2+(丁2—%)2；

同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|X2-

刈或I*-yi|.

(1)己知點(diǎn)A(2,4),8(-2,1),則-8=5；

(2)已知點(diǎn)C,力在平行于)，軸的直線上，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)。的縱