最小二乘復(fù)頻域法(PolyMa)

最小二乘復(fù)頻域法(PolyMax)LMS公司推出的PolyMax模態(tài)識(shí)別方法，屬于多自由度時(shí)域識(shí)別法，也稱作多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod),是最小二乘復(fù)頻域法(LSCF)的多輸入形式，是一種對(duì)極點(diǎn)和模態(tài)參預(yù)因子進(jìn)行整體估計(jì)的多自由度法，一般首先通過實(shí)驗(yàn)建立穩(wěn)態(tài)圖，以判定真實(shí)的模態(tài)頻率、阻尼和參預(yù)因子；建立可以線性化的直交矩陣分式模型，然后基于正則方程縮減最小二乘問題，得到壓縮正則方程，于是模態(tài)參數(shù)可以通過求解最小二乘問題得到。該方法集合了多參考點(diǎn)法和LSCF方法的優(yōu)點(diǎn)，可以得出非常清晰的穩(wěn)態(tài)圖，并且密集空間可以被分離出來，尤其在模態(tài)較密集的系統(tǒng)(動(dòng)力總成系統(tǒng))，或者FRF數(shù)據(jù)受到嚴(yán)重噪聲污染的情況下仍可以建立清晰的穩(wěn)態(tài)圖，識(shí)別出高度密集的模態(tài)，對(duì)每一個(gè)模態(tài)的頻率、阻尼和振型都有很好的識(shí)別精度，是國際最新發(fā)展并流行的基于傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法。其基本思想如下：(1)建立頻率響應(yīng)函數(shù)模型多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域識(shí)別技術(shù)(PRLSCF或PolyMAX)要以頻響函數(shù)矩陣作為識(shí)別的初始數(shù)據(jù)，其數(shù)學(xué)模型采用右矩陣分式模型來描述。在頻域中，系統(tǒng)輸出o(o=1,2…,N，其中N為輸出點(diǎn)數(shù))和全部輸入的關(guān)系可用右矩陣分00式模型(RMFD)來描述，右矩陣分式模型的表達(dá)式為H6)=UQd6L (1)oo式中：H(o)eS—理論頻響函數(shù)的第o行，N是輸入點(diǎn)數(shù)，即激勵(lì)數(shù)；oiU(o)eCix叫—分子多項(xiàng)式行向量；oD(o)eCN.xn.—分母多項(xiàng)式矩陣。o且UC)和DC)可以表示成如下形式：ooTOC\o"1-5"\h\zUd(Z(co).B) (o二1,2…,N) (2)o r or 0r=0D6)=H(z(o).A) (3)o r rr=0式中：N—多項(xiàng)式階次

其中分母系數(shù)矩陣AeRn.xn.和分子系數(shù)行向量BeRi%是待估計(jì)的參數(shù)。所ror有這些系數(shù)合并為一個(gè)矩陣。4)e=Gt4)1其中rbirbio0P=<o1>eR(n+i乂n.，o ?BoNrai0P=<i>eRn(n+i)xn...o?AN5)式(2)和式(3)中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù)ZC),一般地，有以下兩種選擇:ri.對(duì)于連續(xù)時(shí)域模型，可取為6)式(2)和式(3)中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù)ZC),一般地，有以下兩種選擇:ri.對(duì)于連續(xù)時(shí)域模型，可取為6)式中：①=亠產(chǎn)一縮放因子，用來提高方程的數(shù)值狀況。ii.對(duì)于離散時(shí)域模型，可取為ZCo)=e(-阿?「)r7)式中：T—采樣周期。s通常采用離散時(shí)域模型2)參數(shù)的線性化通過試驗(yàn)測(cè)量出的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H(o)eCn洌，用H(o)eCkn.表f of示實(shí)測(cè)頻響矩陣的第o行，(=1,2,…,N,f=1,2,…,N)那么關(guān)于參數(shù)矩陣e的ofo.非線性最小二乘(NLS)目標(biāo)函數(shù)可表示為/ @)=歳竹tr\nlsnls oo=1f=1o8)式中：?H—矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置;tr(?)一矩陣的跡，即矩陣的主對(duì)角元素之和。通過對(duì)式(8)求極小值，便可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系數(shù)的估計(jì)值，即0矩陣的估計(jì)值。式(8)中的加權(quán)非線性最小二乘誤差函數(shù)被定義：8NLSC,0)=WCbC,0)-HC》=WC汎C,p)?D-1C,a)-HC》o f ofof of ofofo f of(9)上式中W上式中WCo)是一個(gè)加權(quán)函數(shù)。一般地,of為了提高估計(jì)的質(zhì)量，我們采用WCo)=ofWCo)=of10)WCo)=of111)ha彳

var缶C)}of式中：var{?}—方差，可用相關(guān)函數(shù)求取。也可使用公式來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都考慮了測(cè)量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的好壞：測(cè)得頻響的方差越小，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)越大。非線性誤差函數(shù)可以經(jīng)過一個(gè)近似的處理為一個(gè)線性的問題。實(shí)際上，通過TOC\o"1-5"\h\z對(duì)8NLS(o,0)右乘DCo,a),則可以得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)為線性的方程，此加權(quán)of f線性最小二乘(LS)方程誤差8lsCo,0)為of8LSCo,0)=8NLSCo,0)D((D,a)―二WCo)CuCo,p)?D-1C,a)—HHC))?DC,0)(12)ofofo f of f二WC上CC)B一zC)/?(o).A)of rforrfo rr=0這樣式(12)關(guān)于參數(shù)為線性，將所有頻率點(diǎn)裝配成一列，f=1,2,…,N，它可用矩陣形式來表示&LS&LS(0)=vo8LS(O,0)o1>=[XY]|Po|=J[Pooo|aIo|a8LSo,0其中：W(d)「z(d),z(d),…,z(d)oiW(doNzd,zoN1W(doNzd,zoN1eCNfx(n+1) (14)—Wo1(①)「z(①),z(①),…,z(?)]0H(①)o 1 1 1 ,zN 1o1W(doNzd,zoN10H(doNeCNfxNi(N+1)(15)式中，0式中，0一Kronecker積。3)縮減標(biāo)準(zhǔn)方程式中：加權(quán)線性最小二乘估計(jì)表達(dá)式為0@)=迓trC ?式中：加權(quán)線性最小二乘估計(jì)表達(dá)式為0@)=迓trC ?els@))LS oo=1=lLtrf[P?8LSoTaToo=1 'R=Re(XHX)eR(N+1)x(N+1)o ooRosTosoTo16)同時(shí)，S=Re(同時(shí)，S=Re(XhY)eR(n+i)xn.(n+i)o ooT=Re(YhY)eRn.(n+i)xn.(n+i)o oo目標(biāo)函數(shù)(16)等價(jià)于0@)=tr￡t?ReChj)^)LS17)式中，J是Jacobian矩陣，被如下定義Y1Y2eCNoN式中，J是Jacobian矩陣，被如下定義Y1Y2eCNoNf(N+1)(N+N)oi18)oo(0)值最小，將0 (0)對(duì)系數(shù)矩陣P和a求導(dǎo),LS LS并令其為零丄0@)=2(R卩+Sa)二0 (o=1,2,…,N)dpLS ooo Oo19)20dals@)=2￡o(stp+Ta)Iooo20)由式（19）得到B=-R-1S-a，把它代入式（20）得其中，?a=M其中，?a=M-a=021)由式（19）和（20）得到標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)過整理，此標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式為_R10…0_R10…0S一1rp〕0R…0S122p-???200…RNoSNoN-V:>pNoStST…STf°Ta12Nooo=12=2ReJh-J)-9=0 (22)其中矩陣M維數(shù)為N（N+1）xN（N+1），ii比標(biāo)準(zhǔn)方程式（22）中的ReJhJ）的維數(shù)（N+N）（N+l）x（N+N）（N+1）要小式（21）即為“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，oioi的多。4）求解縮減標(biāo)準(zhǔn)方程通過求解“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，便可得到分母系數(shù)矩陣a。根據(jù)線性方程組的求解理論，先對(duì)系數(shù)矩陣a施加一個(gè)約束。假如，設(shè)定系數(shù)矩陣a中的一個(gè)系數(shù)矩陣塊等于正則常數(shù)矩陣（例如設(shè)系數(shù)矩陣a的最后一個(gè)矩陣塊a（N+1）=I）,Ni23)在這種前提下，縮減標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)?3)A-X=B其中A=M(1:NN,1:NN)其中iiB=-M(1:NNNN+1:N(N+1))iii系數(shù)矩陣a的最小二乘估計(jì)為X=A-1B24)八JX=A-1B24)a=<LS|IINi一旦求得了a，那么通過p=-R-1S-a就可得到所有的分子系數(shù)B這種方法LS o oo LS,o考慮了標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特性，比直接求解方程（22）要快得多。確定了分母系數(shù)

矩陣a后，通過求解a的伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可以得到了系統(tǒng)的極點(diǎn)和相應(yīng)的模態(tài)參與因子。方程如下-0I…00-00…00???V=V.A(2500…0I—At0-AT1…-ATN-2—AtN-1上式中，V,AwCnnxNoN，矩陣v的最后N行就是模態(tài)參與因子；對(duì)角陣A的角i元記錄為A（i二1,2,…,NN）由不穩(wěn)定的數(shù)學(xué)極點(diǎn)和穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)點(diǎn)兩部分組成。記穩(wěn)定io的物理結(jié)構(gòu)極點(diǎn)為A=e-也，通過對(duì)這些物理結(jié)構(gòu)極進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便可得出結(jié)構(gòu)r的固有頻率?和模態(tài)阻尼比0；關(guān)系式如下rr九,X*=g±i（D或九,九*=―匚①±i\：'1―匚2① （26）rr r r rr rr rr（5）計(jì)算頻率點(diǎn)和阻尼比點(diǎn)根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)基本理論中對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的描述：系統(tǒng)的全部極點(diǎn)落于s域左半平面（不包括虛軸），且滿足有界輸入有界輸出原則，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復(fù)特征矩陣A中的復(fù)特征值總是以共軛對(duì)的形式出現(xiàn)，同時(shí)也包含實(shí)數(shù)（虛軸上），在求解頻率點(diǎn)?和阻尼比點(diǎn)0時(shí)，對(duì)于每個(gè)共軛對(duì)只取其中一個(gè)進(jìn)行分析，且ii不考慮實(shí)數(shù)。復(fù)特征矩陣A中的對(duì)角元A=e-陸，由式（26），A用Re（A）+i-Im（A）描iicos(cSTcos(cST)-isin(cST)_|is is27)Re(A)+i-Im(A)=e-(q;+叫)T=e-qt?e-i&T=e-qtTOC\o"1-5"\h\zis is isii28)30)|Re(A)+i-Im(A)=e-qT28)30)i i=s=sTis所以q=— -ln(A|)\o"CurrentDocument"iT i

~ 1 3= -arctaniTs'Im(A)'<'Im(A)'<R^Jii3=J?2+02iTi i＜匚一冬i3i在求得的頻率3和阻尼比匚包含有結(jié)構(gòu)的固有頻率3和模態(tài)阻尼比匚，因此,i i r r32)必須對(duì)所有求得的3和匚進(jìn)行有效的分析和選取，以確定系統(tǒng)真實(shí)的固有頻率32)ii和阻尼比。建立穩(wěn)態(tài)圖就是一種行之有效的方法。（6）建立穩(wěn)態(tài)圖在模態(tài)分析中，穩(wěn)態(tài)圖是幫助實(shí)驗(yàn)者分離結(jié)構(gòu)物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)的一個(gè)有力工具，如圖1所示。通過逐漸增大多項(xiàng)式的階次N，且進(jìn)行相應(yīng)的重復(fù)性分析計(jì)算可以建立起穩(wěn)態(tài)圖。 ooovvso y._o vv ooovvso y._o vv“乂 so__v.__vsov ? A s_oooooosossoo.V__ovvv v ?ooooooo ovvvvovVvvs,?v? &s 、…、ooo……osoovo'vovVvv?Vv… s1 sooooosovovoooVvvv v w 1ooo(o0oov\sovVovv v vv |E ■oooovovoooovvo o vF ooo ovVoovovvVvvs Vv tooooosVooosovsws ?1-ooov___V__.oooVv ovvvs vv sooooovsV o'oowvs1oooovoovooovsvvIso-oooooVoosooos…v svfoooovsovovvo1-oooosVooovo■soooovVoooooIsooovoooooo v” .soosov. oooo?…v/sL-oovooVooosvvvooo:mo oo?_o16.7e-3oooo o ooo o S s'ov o svo