福建省龍巖市南安第三中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

福建省龍巖市南安第三中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．18 D．36參考答案：C由雙曲線的方程，可得一條漸近線的方程為，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故選C．

2.已知，且，則a的值為

(A)

(B)6

(C)

(D)36參考答案：A3.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則k＝

（

）A．2

B．4

C．－2

D．－4參考答案：B4.過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且斜率為2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線有公共點(diǎn)M，若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則p的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】取AB的中點(diǎn)N，分別過(guò)A、B、N作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、M，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導(dǎo)，|MN|=|AB|，從而可判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系：相切，確定拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，由條件即可得到p=4．【解答】解：取AB的中點(diǎn)N，分別過(guò)A、B、N作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、M，如圖所示：由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圓心N到準(zhǔn)線的距離等于半徑，即有以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，由M的縱坐標(biāo)為2，即N的縱坐標(biāo)為2，拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線AB的方程為y=2（x﹣），即x=y+，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立，消去x，得y2﹣py﹣p2=0由韋達(dá)定理可得AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，即有p=4，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線圓的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．5.若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．（0，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】設(shè)t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍，將t代入f（x）后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出臨界點(diǎn)，根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：設(shè)t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x），∴f（x）變?yōu)椋簓=t3﹣at2+a，則y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a），由y′=0得，t=0或t=，∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，∴函數(shù)y=t3﹣at2+a在（0，1]上遞減或先減后增，即＞0，得a＞0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及構(gòu)造法、換元法的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．6.已知函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D7.如圖，

ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連結(jié)AC，則在四面體ABCD的四個(gè)面中，互相垂直的平面有（

）對(duì)

（

）

A．1 B．2

C．3 D．4

參考答案：答案:C8.已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．參考答案：D9.設(shè)函數(shù)f（x）=與g（x）=a2lnx+b有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則實(shí)數(shù)b的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同，先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值，然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．【解答】解：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)P（x0，y0）處的切線相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由題意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=由3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1+lnt），于是當(dāng)2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜時(shí)，h′（t）＞0；當(dāng)2t（1+lnt）＜0，即t＞時(shí)，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）為增函數(shù)，在（，+∞）為減函數(shù)，于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（）=，故b的最大值為．故選A．10.若函數(shù)的大小關(guān)系是(

)

A． B．C．

D．不確定參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上，函數(shù)h(x)有11個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是______.參考答案：【分析】先作出函數(shù)與的圖象，得到函數(shù)與，，，僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，與，，的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，再通過(guò)數(shù)形結(jié)合得解【詳解】令=0，所以在區(qū)間上，函數(shù)的圖像有11個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與，，，僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根；所以要使關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，，與，，的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，由到直線的距離為1，得，解得，兩點(diǎn)，連線的斜率，所以．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．12.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列項(xiàng)積為的值為參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．D33

解析：∵正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)積為，∴，∴．故答案為：3．【思路點(diǎn)撥】由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出的值．13.已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則___________.參考答案：

14.某駕駛員喝了m升酒后，血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式．《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過(guò)0.02毫克/毫升．此駕駛員至少要過(guò)

小時(shí)后才能開車（不足1小時(shí)部分算1小時(shí)，結(jié)果精確到1小時(shí)）．參考答案：4略15.在三棱錐P-ABC中，平面ABC，AB=BC=2，PB=2，則點(diǎn)B到平面PAC的距離是

．

參考答案：略16.（不等式選講選做題）不等式的解是

.參考答案：且17.從拋物線上一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則的面積為

．參考答案：10由題意，得拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)拋物線上一點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，解得，則的面積為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分15分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)不存在極值，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，……………2分的單調(diào)遞增區(qū)間為；………………4分（Ⅱ）……5分

………7分因?yàn)椋栽诓豢赡芎愠闪?，即不可能是單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，若函數(shù)不存在極值，則只能是單調(diào)遞增．……………9分則有對(duì)恒成立，對(duì)也恒成立．而當(dāng)時(shí)容易得對(duì)恒成立；……………11分對(duì)于對(duì)恒成立，則應(yīng)滿足或，………………13分得或，即．…15分19.如圖，在多面體ABCDEF中，，四邊形ABCD和四邊形ABEF是兩個(gè)全等的等腰梯形.（1）求證：四邊形CDFE為矩形；（2）若平面ABEF⊥平面ABCD，，，，求多面體ABCDEF的體積.參考答案：（1）見證明；（2）【分析】（1）根據(jù)全等的等腰梯形和已知條件得到且，由此證得四邊形為平行四邊形.分別取，的中點(diǎn)，，連接，通過(guò)證明四點(diǎn)共面，且，且相交，由此證得平面，從而證得,由此證得四邊形為矩形.（2）連結(jié)，，作，垂足為，則.先證明平面，然后證明平面，由此求得點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離，分別求得和的體積，由此求得多面體的體積.【詳解】（1）證明：∵四邊形和四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形，∴且，∴四邊形為平行四邊形.分別取，的中點(diǎn)，.∵，為的中點(diǎn)，∴，同理，∴.∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∵，且.∴，，，四點(diǎn)共面，且四邊形是以，為底的梯形.∵，，且，是平面內(nèi)的相交線，∴平面.∵平面，∴，又，∴.∴四邊形為矩形.（2）解：連結(jié)，，作，垂足為，則.∵，，∴.在中，.∵，平面，平面，∴平面.∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離為2，同理，點(diǎn)到平面的距離為2，則，；，.故多面體的體積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查證明一個(gè)四邊形為矩形的方法，考查四點(diǎn)共面的證明，考查線面平行的證明，考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查分割法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.20.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高.自2018年10月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下:納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）免征額3500元免征額5000元級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）1不超過(guò)1500元的部分31不超過(guò)3000元的部分32超過(guò)1500元至4500元的部分102超過(guò)3000元至12000元的部分103超過(guò)4500元至9000元的部分203超過(guò)12000元至25000元的部分10………………

（1）假如小李某月的工資、薪金所得等稅前收人總和不高于8000元，記x表示總收人，y表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入（元）[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000]人數(shù)304010875

先從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)宣講員，求兩個(gè)宣講員不全是同一收入人群的概率；（3）小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請(qǐng)你幫小李算一下調(diào)整后小李的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？參考答案：（1）調(diào)整前關(guān)于的表達(dá)式為，調(diào)整后關(guān)于的表達(dá)式為（2）（3）220元【分析】（1）對(duì)收入的范圍分類，求出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式即可。（2）列出7人中抽取2人共21種情況，找出不在同一收入人群的有12種結(jié)果，問題得解。（3）計(jì)算出小紅按調(diào)整起征點(diǎn)前應(yīng)納個(gè)稅為元，小紅按調(diào)整起征點(diǎn)后應(yīng)納個(gè)稅為元，問題得解?！驹斀狻拷猓海?）調(diào)整前關(guān)于的表達(dá)式為，調(diào)整后關(guān)于的表達(dá)式為.（2）由頻數(shù)分布表可知從及的人群中按分層抽樣抽取7人，其中中占3人，分別記為，中占4人，分別記為1，2，3，4，再?gòu)倪@7人中選2人的所有組合有：，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共21種情況，其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，共12種，所以所求概率為.（3）由于小紅的工資、薪金等稅前收入為7500元，按調(diào)整起征點(diǎn)前應(yīng)納個(gè)稅為元；按調(diào)整起征點(diǎn)后應(yīng)納個(gè)稅為元，由此可知，調(diào)整起征點(diǎn)后應(yīng)納個(gè)稅少交220元，即個(gè)人的實(shí)際收入增加了220元，所以小紅的實(shí)際收入增加了220元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型及古典概型概率計(jì)算，以及分段函數(shù)模型應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，，若，求的