考研專業(yè)課交通工程學(xué)第四章

第四章交通流理論概述（了解）交通流的統(tǒng)計(jì)分布特性（理解）排隊(duì)論模型（理解）跟馳模型（理解）流體模型（熟練掌握）第四章交通流理論交通流理論是交通工程學(xué)的基本理論，是借助于物理、數(shù)學(xué)的定律與方法來闡明交通流基本特性的一種論。4.1

概述4.1

概述交通設(shè)施分類：交通設(shè)施從廣義上被分為連續(xù)流設(shè)施與間斷流設(shè)施兩大類。連續(xù)流主要存在于設(shè)置了連續(xù)流設(shè)施的高速公路及一些限制出入口的路段。間斷流設(shè)施是指那些由于外部設(shè)備而導(dǎo)致了交通流周期性中斷的設(shè)置。連續(xù)交通流的擁擠分析交通擁擠的類型①周期性的擁擠②非周期性的擁擠瓶頸處的交通流交通密度分析非周期性擁擠4.1

概述交通流統(tǒng)計(jì)分布的含義離散型分布連續(xù)性分布4.2

交通流的統(tǒng)計(jì)分布特性為什么做交通流統(tǒng)計(jì)分析？車輛的到達(dá)在某種程度上具有隨機(jī)性，描述這種隨機(jī)性統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法稱為交通流的統(tǒng)計(jì)分布。離散型分布：考察在一段固定長度的時(shí)間內(nèi)到達(dá)某場所的交通量或一定距離內(nèi)分布的交通量的波動(dòng)性。如：信號(hào)周期內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)。連續(xù)型分布：以描述事件之間時(shí)間間隔的連續(xù)型分布為工具，研究事件發(fā)生的間隔時(shí)間或距離的統(tǒng)計(jì)分布特性。如：車頭時(shí)距分布、速度分布和可穿越空檔分布。4.2.1

交通流統(tǒng)計(jì)分布的含義4.2.2

離散型分布泊松分布二項(xiàng)分布4.2.2.1

泊松分布（1）基本公式，

k＝0，1，2，…Pk—在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車的概率；

λ—單位時(shí)間間隔的平均到達(dá)率（輛/s）；t—每個(gè)計(jì)數(shù)間隔持續(xù)的時(shí)間（s）。若令m=λt為計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)平均到達(dá)的車輛數(shù)，則，當(dāng)m為已知時(shí)，可求出在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)恰好有k輛車到達(dá)的概率。kk

k

!(lt

)e-ltP

=mkkk

!emP

=（2）遞推公式：適用條件：車流密度不大，車輛間相互影響較弱，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機(jī)的。泊松分布的均值M和方差D都等于λt，因此，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)表明S2/m=1.0時(shí)，就是泊松分布不合適的表示。m—在某一給定時(shí)間間隔周期內(nèi)到達(dá)車輛的平均數(shù)；

S2—各車輛到達(dá)數(shù)與均值之差的平方和的平均數(shù)。P0

=

e-mk

+1Pk

+

1

=

m

Pk（5）概率公式：到達(dá)數(shù)小于x輛車的概率：i!x-1

mie-mi=0P(k

<

x)=

到達(dá)數(shù)小于或等于x輛車的概率：xi!mie-mi=0P(k

￡

x)

=

到達(dá)數(shù)大于x輛車的概率：xi!mie-mP(k

>

x)

=1-

P(k

￡

x)

=1-

i=0（5）概率公式：i

!到達(dá)數(shù)大于或等于x輛車的概率：x

-1

mie-

mP(k

?

x)

=

1

-

P(k

<

x)

=

1

-

i

=0到達(dá)數(shù)至少是L但是不超過x輛車的概率：xi

!m

i

e

-

m均值：M

=

ltP

(

l

￡

k

￡x

)

=

i

=

l方差：D

=

lt4.2.2.1

泊松分布（5）應(yīng)用舉例例4-1某路段每小時(shí)有120輛車通過，假設(shè)車輛到達(dá)服從泊松

分布，問在指定的某一分鐘內(nèi)有3輛車通過的概率是多大，而一分鐘內(nèi)不超過3輛車的概率又是多大。例4-2某信號(hào)燈交叉口的周期C=97s,有效綠燈時(shí)間g

=44s,在有效綠燈時(shí)間內(nèi)排隊(duì)的車流以S=900（輛/h）的交通量通過交叉口，在有效綠燈時(shí)間外到達(dá)的車輛要停車排隊(duì)。設(shè)信號(hào)燈交叉口上游車輛的到達(dá)率q=369（輛/h），服從泊松分布公式中，求到達(dá)車輛不致二次排隊(duì)的周期數(shù)占周期總數(shù)的最大百分率。4.2.2.1

泊松分布（續(xù)）例4－2解：一個(gè)周期內(nèi)能通過的最大車輛數(shù)A＝gS＝900×44/3600＝11輛，當(dāng)某周期到達(dá)的車輛數(shù)N?11輛時(shí)，則最后到達(dá)的（N-11）輛車就不能在本周期內(nèi)通過而發(fā)生二次排隊(duì)。在泊松分布中，一個(gè)周期內(nèi)平均到達(dá)的車輛數(shù)m=λt＝369×97/3600＝9.9輛。則可能到達(dá)車輛數(shù)大于11輛的周期出現(xiàn)的概率為即到達(dá)車輛不致兩次排隊(duì)的周期數(shù)最多占71％。i11

11

iP(>11)

=1-

P(￡11)

=

P

=

9.9

e-9.9

=

0.29

i

=

0

i

=

0i！4.2.2.2

二項(xiàng)分布（1）基本公式：，k＝0，1，2，…Pk—在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車或k個(gè)人的概率；

λ—單位時(shí)間間隔的平均到達(dá)率（輛/s或人/s）；t—每個(gè)計(jì)數(shù)間隔持續(xù)的時(shí)間（s）或距離（m）；n—觀測次數(shù)，正整數(shù)。，則二項(xiàng)分布為：P

=

C

k

(

lt

)

k

(1

-

lt

)

n

-

kk

n

n

nP

=

Ck

(

p)k(1-

p)n-k

(0

<

p

<1)k

nl

t

n通常記

p

=4.1.2.2

二項(xiàng)分布（續(xù)）（2）遞推公式：適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機(jī)會(huì)不多的車流。分布的均值M和方差D分別為M=np，D=np(1-p)，顯然有M>D。用觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出來的樣本均值m和方差

S2代替M和D，當(dāng)S2/m顯著大于1.0時(shí)，就是二項(xiàng)分布不適的表示。P

0

=

(1

-

p

)

n

p

Pk

+1 1-

p

kPk

+

1

=

n-k（2）概率公式：in到達(dá)數(shù)小于x輛車的概率：x

-

1p

)

n

-

iC p

i

(1

-P

(

k

<

x

)

=

i

=

0到達(dá)數(shù)大于x輛車的概率：xi

inCn

-

iP

(

k

>

x

)

=

1

-

P

(

k

￡

x

)

=

1

-p

(1

-

p

)i

=

0二項(xiàng)分布參數(shù)的確定：：m(m

-

S

2

)p

=2mn

=

m

=p

(

m

-

S

2

)在某條公路上，上午高峰期間，以15s間隔觀測到達(dá)車輛數(shù)，得到的結(jié)果列入下表，試用二項(xiàng)分布擬合。例題：解題：思路：確定k

knn-kP(k

)

=

C p

(1-

p)參數(shù)

n

和p解：1NNc

ii

=

1m

=gj

=1=

k

j

f

jN=

3·3

+

4

·0

++12

·1

=

7.4693

+

0

+

+122

22(NNNNii

iiici=1i=1i=1i=1i=1(c

-

m)

=(c

-

2c

m

+

m

)

=-2c

m

+

m2

)N

-1

1

N

-1

1

N

-1Ns2

=

1

2

21Nii=1=(

c

-

Nm

)N

-11=(32

·3+42

·0++122

·1-64·7.4692)3+0++1-1=

3.999因?yàn)镾

2

<，m用二項(xiàng)分布擬合是合適的。因此：m

7.469(m

-

S

2

)

(7.469

-

3.999)p

==

=

0.465n

=

m

=

7.469

=16.08p

0.465取16。因此，擬合上表中數(shù)據(jù)的二項(xiàng)分布函數(shù)為：P

=

Ck

0.465k

0.53516-kk

16解題：一交叉口設(shè)置了專供左轉(zhuǎn)的信號(hào)相位，經(jīng)研究指出，來車符合二項(xiàng)分布，每一周期內(nèi)平均到達(dá)20輛車，有

25%的車輛左轉(zhuǎn)但無右轉(zhuǎn)。求：(1)到達(dá)三輛車中有一輛左轉(zhuǎn)的概率；(2)某一周期不使用左轉(zhuǎn)信號(hào)相的概率。例題：離散型分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——c檢2

驗(yàn)c2

檢驗(yàn)的基本原理及方法：建立原假設(shè)H0；選擇適宜的統(tǒng)計(jì)量；確定統(tǒng)計(jì)量的臨界值；判定統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果。離散型分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——c檢2

驗(yàn)離散型分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——c檢2

驗(yàn)離散型分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——c檢2

驗(yàn)離散型分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——c檢2

驗(yàn)4.2.3

連續(xù)型分布負(fù)指數(shù)分布移位負(fù)指數(shù)分布4.2.3.1

負(fù)指數(shù)分布可知，在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)沒明，在具體的時(shí)間間隔t內(nèi)，無車輛到達(dá)，則上

次車到達(dá)和下次車到達(dá)之間，車頭時(shí)距至少有t，。（1）基本公式：P(h

>

t)

=

e-ltP(h>t)——到達(dá)的車頭時(shí)距h大于t秒的概率；λ——車流的平均到達(dá)率(輛/s)。k

k

!推導(dǎo)：由P(

l

t

)

ke

-

l

t=有車輛（k＝0）到達(dá)的概率

P0

，這表=

e

-

l

t即

P

(

h

>

t

)

=

e

-

l

t4.2.3.1

負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）（2）負(fù)指數(shù)分布的均值M和方差D分別為M=1/λ，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，既可算出負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)λ

。（3）適用條件：用于描述有充分超車機(jī)會(huì)的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時(shí)距分布，它常與計(jì)數(shù)的泊松分布相對(duì)應(yīng)。（4）負(fù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是單降的，車頭時(shí)距越短，其出現(xiàn)的概率越大，但車頭時(shí)距至少有一個(gè)車長，所以車頭時(shí)距必有一個(gè)大于零的最小值τ。p

(t

)

=

le

-

lt車頭時(shí)距服從負(fù)指數(shù)分布的車流特性見圖，曲線是單調(diào)下降的，說明車頭時(shí)距愈短，出現(xiàn)的概率愈大。這種情形在不能超車的單列車流中是不可能出現(xiàn)的，因?yàn)檐囕v的車頭與車頭之間至少存在一個(gè)車長，所以車頭時(shí)距必有一個(gè)大于零的最小值τ。4.2.3.1

負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）4.2.3.1

負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）4.2.3.2

移位負(fù)指數(shù)分布（1）基本公式為克服負(fù)指數(shù)分布的車頭時(shí)距趨近于零其頻率出現(xiàn)愈大這一缺點(diǎn)，可將負(fù)指數(shù)分布曲線從原點(diǎn)O沿t向右移一個(gè)最小間隔長度τ，得到移位負(fù)指數(shù)分布曲線：τ—大于零的一個(gè)最小車頭時(shí)距，一般在1.0～1.5s之間。（2）移位負(fù)指數(shù)分布的均值M和方差D分別為M=1/λ+τ

，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，則可算出移位負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)λ和τ

。(t

?t)(t

?t)P(h

>

t)

=

e-l(t

-t)P(h

￡

t)=1-

e-l(t

-t)4.2.3.2

移位負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）（3）適用條件用于描述不能超車的單列車流的車頭時(shí)距分布和車流量低的車流的車頭時(shí)距分布。（4）移位負(fù)指數(shù)分布的局限移位負(fù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)曲線是隨t-τ單調(diào)遞降的，車頭時(shí)距愈接近τ，其出現(xiàn)的可能性愈大。這在一般情況下是不符合駕駛員的心理習(xí)慣和行車特點(diǎn)的。從統(tǒng)計(jì)角度看，車頭時(shí)距分布的概率密度曲線一般總是先升后降的。【例題】在一條有隔離帶的雙向四車道道路上，單向流量為360輛/h，該方向路寬7.5m，設(shè)行人步行速度為1m/s，求1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)，如果單向流量增加到900輛/h，1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)是增加還是減少。7.5m活學(xué)活用你做對(duì)了嗎？引言基本概念與原理M/M/1系統(tǒng)應(yīng)用4.3

排隊(duì)論模型定義：排隊(duì)論是研究服務(wù)系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列(即排隊(duì))的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)"關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論，是運(yùn)籌學(xué)中以概率論為基礎(chǔ)的一門重要分支，亦稱"隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論"?！臼程?、醫(yī)院、超市、銀行、買火車票等等】4.3.1

引言2

排隊(duì)論的應(yīng)用：研究排隊(duì)論實(shí)質(zhì)上是解決最優(yōu)化問題，在交通設(shè)計(jì)和管理方面有動(dòng)態(tài)優(yōu)化和靜態(tài)優(yōu)化動(dòng)態(tài)優(yōu)化：是指排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)營，也就是按什么方式接收服務(wù)，常見的例子有：行人管理、交通信號(hào)控制、對(duì)車行道上延滯的處理靜態(tài)優(yōu)化：是指合理的設(shè)計(jì)方案，比如：高速公路收費(fèi)口的設(shè)計(jì)、地上地下停車場的設(shè)計(jì)、加油站的設(shè)計(jì)等。4.3.1

引言4.3.2

基本概念與原理基本概念(1)顧客：要求服務(wù)的人或物（車）。(2)服務(wù)臺(tái)：為顧客服務(wù)的人或物。（交叉口、收費(fèi)站）(3)排隊(duì)：等待服務(wù)的顧客，不包括正在被服務(wù)的顧客。(4)排隊(duì)系統(tǒng)：既包括了等待服務(wù)的顧客，又包括了正在被服務(wù)的顧客?；靖拍?5)隊(duì)長：有排隊(duì)顧客數(shù)與排隊(duì)系統(tǒng)中顧客數(shù)之分，平均顧客數(shù)（期望值）。(6)等待時(shí)間：顧客到達(dá)時(shí)起至開始接受服務(wù)時(shí)止的這段時(shí)間。(7)逗留時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留的時(shí)間。(8)忙期：服務(wù)臺(tái)連續(xù)繁忙的時(shí)期。4.3.2

基本概念與原理2．排隊(duì)系統(tǒng)的組成輸入過程：就是指各種類型的"顧客(車輛或行人)"按怎樣的規(guī)律到達(dá)。有各式各樣的輸入過程，例如：D—定長輸入：顧客等時(shí)距到達(dá)。M—泊松輸入：顧客到達(dá)時(shí)距符合負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗輸入：顧客到達(dá)時(shí)距符合愛爾朗分布。4.3.2

基本概念與原理2．排隊(duì)系統(tǒng)的組成(2)排隊(duì)規(guī)則：指到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。例如：損失制：顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)均被占，該顧客就自動(dòng)消失，永不再來。等待制：顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)均被占，他們就排成隊(duì)伍，等待服務(wù)，服務(wù)次序有先到先服務(wù)(這是最通常的情形)和優(yōu)先權(quán)服務(wù)(如急救車、消防車優(yōu)先)等多種規(guī)則?；旌现疲侯櫩偷竭_(dá)時(shí)，若隊(duì)伍長小于L，就排入隊(duì)伍；若隊(duì)伍長大于等于L，顧客就離去，永不再來。4.3.2

基本概念與原理2．排隊(duì)系統(tǒng)的組成服務(wù)方式：指同一時(shí)刻多少服務(wù)臺(tái)可接納顧客，每一顧客服務(wù)了多少時(shí)間。每次服務(wù)可以成批接

待，例如公共汽車一次就裝載大批乘客。D—定長分布：每一顧客的服務(wù)時(shí)間都相等；M—負(fù)指數(shù)分布：即各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗分布：即各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的愛爾朗分布。4.3.2

基本概念與原理3．服務(wù)臺(tái)的排列方式4.3.2

基本概念與原理M/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊(duì)等待接受服務(wù)的通道只有單獨(dú)的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。4.3.3

M/M/1系統(tǒng)應(yīng)用主要參數(shù)：設(shè)平均到達(dá)率為λ，則兩次到達(dá)的平均間隔時(shí)間（時(shí)距）為1/λ；設(shè)排隊(duì)從單通道接受服務(wù)后出來的系統(tǒng)平均服務(wù)率（輸出率）為μ，則平均服務(wù)時(shí)間為1/μ

；比率：稱為交通強(qiáng)度或利用系數(shù)，由比率ρ即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。mlr

=4.3.3

M/M/1系統(tǒng)應(yīng)用4.3.3

M/M/1系統(tǒng)應(yīng)用當(dāng)ρ<1（即λ<μ），且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)都會(huì)以非0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)ρ≥1（即λ≥μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊(duì)會(huì)越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊(duì)消散的條件是ρ<1。例如：某高速公路進(jìn)口收費(fèi)站平均每10s有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)放通行卡的時(shí)間平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s如果時(shí)間充分，這個(gè)收費(fèi)站不會(huì)出現(xiàn)大量阻塞。m

1/

8r

=

l

=

1/10

=

0.8在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）：在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務(wù)，也沒有排隊(duì)）：P0

=

1

-

r在系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為（包括接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）：nP

=

rn

(1-

r)(r

?1)

（輛）n

=

r

=

l

1-

r

m

-

l4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用是指排隊(duì)中消耗時(shí)間與接受服務(wù)所用時(shí)間之和。4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差：當(dāng)ρ≥0.8以后，平均排隊(duì)長度迅速增加，排隊(duì)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。s

2

=

r

/(1-

r)2

(r

?

1)排隊(duì)系統(tǒng)中平均消耗時(shí)間：(h/輛或s/輛)1

=

nm

-

l

ld

=排隊(duì)中的平均等待時(shí)間：(h/輛或s/輛)lm m(m

-

l)w

=

d

-

1

=4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用這里在排隊(duì)時(shí)平均需要等待的時(shí)間，不包括接受服務(wù)的時(shí)間，等于排隊(duì)系統(tǒng)平均消耗時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之差。平均排隊(duì)長度：這里是指排隊(duì)顧客（車輛）的平均排隊(duì)長度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。1-

rr2=r

n

=n

-r

(r

?1)

（輛）q

=平均非零排隊(duì)長度：即排隊(duì)不計(jì)算沒有顧客的時(shí)間，僅計(jì)算有顧客時(shí)的平均排隊(duì)長度，即非零排隊(duì)。如果把有顧客時(shí)計(jì)算在內(nèi)，就是前述的平均排隊(duì)長度。1ww(q

>q

)

（輛）q

=1-

r4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用...+(1-

)+P

=1-(1=1-k

i系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k的概率：P(n>k)

=1-P(n￡k)ki=0=1-(1-rk+1)=rk+1r

(1-r))-r+r

r系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)超過k的概率：P(Q

>

k

)

=

P(n

>

k

+1)=

rk

+2即系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k+1的概率4.3.3

M/M/1系統(tǒng)及應(yīng)用例題1：某條道路上設(shè)一觀測統(tǒng)計(jì)點(diǎn)，車輛到達(dá)該點(diǎn)是隨機(jī)的（服從泊松分布），單向車流量為800輛/h。所有車輛到達(dá)該點(diǎn)要求停車領(lǐng)取OD調(diào)查卡片，假設(shè)工作人員平均能在4s內(nèi)處理一輛汽車，符合負(fù)指數(shù)分布。試估計(jì)在該點(diǎn)上排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)、平均排隊(duì)長度、非零排隊(duì)平均長度、排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間以及排隊(duì)中的平均等待時(shí)間。M/M/1排隊(duì)問題例題例題1答案例題2：一收費(fèi)站，車輛到達(dá)是隨機(jī)的，單面車流量為300輛/小時(shí)，收費(fèi)員平均每10秒完成一次收費(fèi)并放行一輛汽車，符合負(fù)指數(shù)分布。試后計(jì)在檢查站上擠占隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)。平均排隊(duì)長度，平均消耗時(shí)間及平均等待時(shí)間。m

=1

輛/S

=3600

=360輛/h10

10\

r

=

l

=

0.83＜1m\該系統(tǒng)穩(wěn)定。l

=300輛/h1W

=

l

=

r

=50

s

/輛m

(m

-

l)

m

(1

-

r)1

-

rQ

=n

?r

=5

·

0.83

=4.15輛T

=

=60

s

/輛m

-

ln

=

r

=5輛M/M/1排隊(duì)問題例題2例題3：某收費(fèi)公路入口處設(shè)有一收費(fèi)亭，汽車進(jìn)入公路必須向收費(fèi)亭交費(fèi)。收費(fèi)亭的收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛車的交費(fèi)時(shí)間為7.2秒，汽車到達(dá)率為400輛/h，并服從泊松分布。求：①

收費(fèi)人員空閑的概率；②

收費(fèi)亭前沒有車輛排隊(duì)的概率；③

收費(fèi)亭前排隊(duì)長度超過12輛的概率；④

平均排隊(duì)長度；⑤

車輛通過收費(fèi)亭所花費(fèi)時(shí)間的平均值；⑥

車輛的平均排隊(duì)時(shí)間。M/M/1排隊(duì)問題例題3例題3答案例題4有一超市的收款員平均每小時(shí)服務(wù)30人，顧客平均每小時(shí)25人的速率到達(dá)。問（1）有一名顧客或更多顧客排隊(duì)的平均隊(duì)長？（2）欲使平均隊(duì)長減少一人，服務(wù)時(shí)間要如何改進(jìn)才能適應(yīng)需求？解：λ=25（人/h）,μ=30

（人/h）ρ=λ/μ=0.83

<1

，排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則得到p=0.8，ρ=λ/μ得到μ=31

（人/h）1=（6

人）1-

rwq

=1=

51-

rwq

=M/M/1排隊(duì)問題例題4行車時(shí)間行車時(shí)間指汽車沿一定路線在實(shí)際交通條件下從一處到達(dá)另一處行車所需總時(shí)間(包括停車和延誤)。延誤延誤指車輛在行駛中，由于受到駕駛員無法控制的或意外的其他車輛的干擾或交通控制設(shè)施等的阻礙所損失的時(shí)間。簡化排隊(duì)論的延誤分析基本延誤(固定延誤)：由交通控制裝置所引起的延誤，與道路交通量多少及其他車輛干擾無關(guān)的延誤。運(yùn)行延誤：由于各種交通組成間相互干擾而產(chǎn)生的延誤。一般它含縱向、橫向與外部和內(nèi)部的干擾，如停車等待

橫穿、交通擁擠、連續(xù)停車以及由于行人和轉(zhuǎn)彎車輛影

響而損失的時(shí)間。行車時(shí)間延誤：指車輛在實(shí)際交通流條件下由于該車本身的加速、減速或停車而引起時(shí)間延誤，即與外部干擾無關(guān)的延誤；停車延誤：由于某些原因使車輛實(shí)際停止不動(dòng)而引起的時(shí)間延誤。簡化排隊(duì)論的延誤分析延誤產(chǎn)生的原因基本延誤主要產(chǎn)生在車輛通過交叉口時(shí)，這種延誤與交通流動(dòng)特性無關(guān)，是由信號(hào)、停車標(biāo)志、讓路標(biāo)志及平交道口等原因造成的。運(yùn)行延誤是因受其他車輛或行人干擾而產(chǎn)生的。①車輛干擾，如車輛停止、啟動(dòng)、轉(zhuǎn)彎、故障以及行人過街等的干擾②交通內(nèi)部干擾，如交通量增大產(chǎn)生擁擠、道路通行能力不足、合流及交織交通等的影響。簡化排隊(duì)論的延誤分析簡化排隊(duì)論的延誤分析時(shí)間r0T某一時(shí)刻排隊(duì)的車輛數(shù)某一車輛受阻的延誤時(shí)間該時(shí)刻第一輛車離開剛關(guān)閉時(shí)刻到達(dá)的車輛tm

=

tr

=

0.1h0=Q

90t

=m

-

l

1200

-

900

=

0.3hjn

=0.3·1200=360輛d

=

0.5tr

=

0.05hQ=ltr

=900

·0.1

=90輛t

=

0.1+

0.3

=

0.4hQ

=0.5Q

=45輛D

=nd

=360

·0.05

=18輛/h例題答案例題：已知信號(hào)控制交叉口，其進(jìn)口道的紅燈時(shí)間為40S，綠燈時(shí)間為45S，黃燈時(shí)間為5S。假設(shè)該進(jìn)口道上游的交通流均勻到達(dá)，其到達(dá)率為600輛/小時(shí)，綠燈亮啟后的飽和流率為1200輛/小時(shí)，每周期綠燈信號(hào)結(jié)束時(shí)進(jìn)口道無殘留排隊(duì)車輛。試求該進(jìn)口的最長排隊(duì)延誤、最大排隊(duì)車輛、綠燈亮啟后排隊(duì)的消散時(shí)間，受阻車輛總數(shù)。簡化排隊(duì)論的延誤分析車輛跟馳特性分析線形跟馳模型4.4

跟馳模型4.4.1

車輛跟馳特性分析一、引言

原理：跟馳理論是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法，探究在無法超車的單一車道上車輛列隊(duì)行駛時(shí)，用數(shù)學(xué)理論描述后車跟隨前車的行駛狀態(tài)。

發(fā)展：1950年魯契爾與1953年派普斯奠定基礎(chǔ)；

1960年赫爾曼與羅瑟瑞進(jìn)一步擴(kuò)充；1961年伽塞斯提出了最一般跟馳模型。

適用范圍：非自由行駛狀態(tài)下車隊(duì)的特性：密度高、車間距離不大，車隊(duì)中人一輛車的車速都受前車速度的制約，司機(jī)只能按照前車所提供的信息采用相應(yīng)的車速。二、車輛跟馳特性分析制約性緊隨要求：司機(jī)不愿落后很多，而是緊跟前車前進(jìn)車速條件：后車速度不能長時(shí)間大于前車的速度，否則會(huì)追尾間距條件：前后車之間必須保持一個(gè)安全距離4.4.1

車輛跟馳特性分析4.4.1

車輛跟馳特性分析二、車輛跟馳特性分析2.

延遲性前車運(yùn)行狀態(tài)改變之后，后車也要相應(yīng)作出改變，但是這種改變不是同步的。有一個(gè)反應(yīng)時(shí)間的延遲。3.

傳遞性第1輛車的狀態(tài)改變第2輛車狀態(tài)改變第3輛車改變由于延遲性的存在，這種傳遞不是平滑連續(xù)的，而是脈沖一樣間斷連續(xù)的三、線性跟馳模型跟馳模型是一種刺激－反應(yīng)的表達(dá)式。一個(gè)駕駛員所接受的刺激是指其前方導(dǎo)引車的加速或減速以及隨之而發(fā)生的這兩車之間的速度差和車間距離的變化；該駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)是指其為了緊密而安全地跟蹤前車地加速或減速動(dòng)作及其實(shí)際效果。4.4.1

車輛跟馳特性分析ntn+1n+1nn+1t+Tt'Xn+1(t)

Xn(t)

Xn+1(t’)Xn(t’)d2d3L前車開始減速后車開始減速d1反應(yīng)時(shí)間內(nèi)行駛的距離n安全距離4.4.1

車輛跟馳特性分析三、線性跟馳模型4.4.1

車輛跟馳特性分析兩車不發(fā)生碰撞的條件：L

?L0

（

L0=安全距離+車身長度）取極限：L=L0L=

xn

(t

)

-

xn

+1

(t

)xn

(t

)

=

xn(t)

+

d3xn+1

(t

)

=

xn+1

(t)

+

d1

+

d

2[

xn(t)

+

d

3

]

-[

xn+1

(t)

+

d1

+

d

2

]

=

L0假設(shè)：后車在反應(yīng)時(shí)間保持車速不變，于是d1

=Tx

n

+1

(t)=Txn

+1

(t

+T

)假設(shè)：前車與后車在減速期間行駛的距離相同，于是d2=d3xn

(t)

-

xn

+1

(t)

=

d1

+

L0xn

(t)

-

xn+1

(t)

=

Tx

n

+1

(t

+

T

)

+

L0xn

(t)

-

xn+1

(t)

=

Txn+1

(t

+

T

)

+

L0兩邊對(duì)t

微分：xn

(t)

-

xn+1

(t)

=

T

xn+1

(t

+

T

)1.

...xn+1

(t

+

T

)

=

{xn

(t)

-

xn+1

(t)}T..xn+1

(t

+T

)為后車在時(shí)刻（t+T）的加速度，理解為后車的反應(yīng)；1

為司機(jī)反應(yīng)敏感度；T.

.xn

(t)-xn+1

(t)為時(shí)刻t的刺激，從而認(rèn)為：反應(yīng)=敏感度·刺激三、線性跟馳模型4.4.1

車輛跟馳特性分析三、線性跟馳模型1.

...xn+1

(t

+

T

)

=

{xn

(t)

-

xn+1

(t)}T上述公式的推導(dǎo)是基于三點(diǎn)假設(shè)：前車剎車前車、后車的減速距離相等d2=d3后車在反應(yīng)時(shí)間保持車速不變，d1

=Txn+1

(t)=Txn+1

(t

+T

)實(shí)際情況比此要復(fù)雜多xn+1

(t

+

T

)

=

a

[xn

(t)

-

xn+1

(t)])4.4.1

車輛跟馳特性分析三、線性跟馳模型

缺陷：后車反應(yīng)只依賴于它與前導(dǎo)車的速度差，而與兩車間距及后隨車本身的速度無關(guān)

事實(shí)上：兩車間距愈小，尾撞危險(xiǎn)越大；后車速度越高，一旦尾撞事故越嚴(yán)重，要求反應(yīng)越迅速有效。

因此將模型推廣為：n

n+1n+1+1[x

(t)

-

x

(t)]l[xn

(t)

-

xn+1

(t)][x

(t

+T

)]mxn(t

+T

)

=

a4.4.1

車輛跟馳特性分析理論概述車流連續(xù)性方程波動(dòng)理論交通波理論的應(yīng)用舉例4.5

流體模型1955年，英國學(xué)者萊脫希爾和惠特漢提出。車流波動(dòng)理論的定義：通過分析車流波的傳播速度，以尋求車流流量和密度、速度之間的關(guān)系，并描述車流的擁擠——消散過程。適用條件：流體力學(xué)模擬理論假定在車流中各個(gè)單個(gè)車輛的行駛狀態(tài)與它前面的車輛完全一樣，這與實(shí)際不符，因此該模型運(yùn)用于車輛擁擠路段較為合適。4.5.1

理論概述車流連續(xù)性方程的建立設(shè)車流順次通過斷面Ⅰ和Ⅱ的時(shí)間間隔為△t，兩斷面得間距為△x。車流在斷面Ⅰ的流入量為Q、密度為K；同時(shí)，車流在斷面Ⅱ得流出量為：

(Q+△q)，(K-△K)，其中：△K的前面加一負(fù)號(hào)，表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。ⅠⅡ△

x△tQKQ+△QK-△KKQ(K,Q)(K-△K,Q+△Q

)或 取極限可得：含義為：當(dāng)車流量隨距離而降低時(shí)，車輛密度隨時(shí)間而增大。：Dt

DxDK

+

DQ

=

0?t

?x?K

+

?Q

=

0車流連續(xù)性方程的建立根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在△t時(shí)間內(nèi)：流入量-流出量=△x內(nèi)車輛數(shù)的變化，即：[Q-(Q+△Q)]△t=[K-(K-△K)]△x車流波及波速列隊(duì)行駛的車輛在信號(hào)交叉口遇到紅燈后，即陸續(xù)停車排隊(duì)而集結(jié)成密度高的隊(duì)列；當(dāng)綠燈開啟后，排隊(duì)的車輛又陸續(xù)起動(dòng)疏散成一列具有適當(dāng)密度的隊(duì)列。車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車向車隊(duì)后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動(dòng)。此車流波動(dòng)沿道路移動(dòng)的速度稱為波速。波速公式的推導(dǎo)：假設(shè)一條公路上由兩個(gè)相鄰的不同交通流密度區(qū)域（K1和K2）用垂線S分割這兩種密度，稱S為波陣面，設(shè)S的速度為w（

w為垂線S相對(duì)于路面的絕對(duì)速度），并規(guī)定垂線S的速度w沿車流運(yùn)行方向?yàn)檎?。由流量守恒可知，在t時(shí)間內(nèi)由A進(jìn)入S面的車輛數(shù)等于由S面駛?cè)隑的車輛數(shù)，即：(V1

-

w)K1t

=

(V2

-

w)K2t式中:(V1-w)、(V2-w)分別為車輛進(jìn)出S面前后相對(duì)于S面的速度。V1=100km/hK1=10輛/kmV2=80km/hK2=14輛/km車頭間距71mwK1V1K2V2ASS

w

B由：1

1

2

2K2

-

K1規(guī)定：當(dāng)K2<K1，密度降低，產(chǎn)生的w為消散波；當(dāng)K2>K1，密度增加，產(chǎn)生的w為集結(jié)波。Q1

=

V1

K1V1

K1

-

wK1

=

V2

K2

-

wK2

w(K2

-

K1

)

=

V2

K2

-V1

K1

w

=

V2

K2

-V1

K1K2

-

K1Q2

=

V2

K2\

w

=

Q2

-

Q1(V

-w)K

t

=(V

-w)K

t

得車流波及波速K車流波及波速

當(dāng)Q2<Q1

、K2<K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)消散波，w為正值，消散波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相同的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。Q(K1,Q1)(K2,Q2)KQ(K2,Q2)(K1,Q1)車流波及波速

當(dāng)Q2>Q1

、K2>K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波，w為正值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相同的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)車流波及波速

當(dāng)Q2<Q1

、K2>K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波，w為負(fù)值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相反的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)車流波及波速

當(dāng)Q2>Q1

、K2<K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)消散波，w為負(fù)值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相反的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。K(K1,Q1)(K2,Q2)車流波及波速

當(dāng)Q2=Q1、K2>K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波，w=0，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)原地集結(jié)。QK(K2,Q2)(K1,Q1)車流波及波速

當(dāng)Q2=Q1、K2<K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)消散波，w=0，消散波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)原地消散。Q車流波及波速停車波：推導(dǎo)過程見書：P124啟動(dòng)波：推導(dǎo)過程見書：P1254.5.4

交通波理論的應(yīng)用舉例（1）分析道路上瓶頸地段的車流狀況（2）低速車插入高速車流產(chǎn)生的影響（3）車隊(duì)在信號(hào)等交叉口處的排隊(duì)長度例題車流在一條6車道的公路上暢通行駛，其速

度為V=80km/h，高峰時(shí)流量為4200輛/h（單向）。路上有座4車道的橋，每車道的通行能力為1940輛/h。在過渡段的車速降至22km/h，這樣持續(xù)了1.69h，然后車流量減到1956輛/h（單向）。試估計(jì)橋前車輛的排隊(duì)長度和阻塞時(shí)間。4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例（續(xù)）解：（1）排隊(duì)長度在能暢通行駛的車道里沒有堵塞現(xiàn)象，其密度為在過渡段，由于該處只能通過3800輛/,而現(xiàn)在需要通過

4200輛/h，故出現(xiàn)擁擠，其密度為平均排隊(duì)長度1q1

V1

80k

==

4200

=53輛/km222V2k=

q2=3880

=177輛/kmw波速

Vk2

-k1177-53=

q2

-q1=

3880-4200

=

-2.58km/h2L

=

0·1.69+2.58·1.69

=

2.18km4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例（續(xù)）（2）計(jì)算堵塞時(shí)間已知高峰后的車流量q3＝1956輛/h<3880輛/h，表明通行能力已有富裕，排隊(duì)已開始消散。排隊(duì)車輛疏散車輛則排隊(duì)消散時(shí)間則阻塞時(shí)間(q1

-q2

)·1.69

=(4200

-3880)·1.69

=541輛q3

-q2

=1956

-3880

=-1924輛/h1

21.69

541

1924(q

-q

)·q3

-q2t￠== =

0.28ht

=

t￠+1.69

=

0.28

+1.69

=1.97h例：道路上的車流量為720輛/h，車速為60km/h，今有一輛超限汽車以30km/h的速度進(jìn)入交通流并行駛5km后離去，由于無法超車，就在該超限車后形成一低速車隊(duì)，密度為40輛/km，該超限車離去后，受到擁擠低速車隊(duì)以車速

50km/h，密度為25輛/km的車流疏散，計(jì)算：(1)擁擠消散時(shí)間ts；(2)擁擠持續(xù)時(shí)間tj；(3)最大排隊(duì)長度；(4)排隊(duì)最長時(shí)的排隊(duì)車輛數(shù)；(5)參與過排隊(duì)的車輛總數(shù)。4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例（續(xù)）4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例（續(xù)）解：三種狀態(tài)的Q、K、V分別如圖所示：超限車進(jìn)入后，車流由狀態(tài)變Ⅰ為狀態(tài)Ⅱ，將產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波：（注意集結(jié)波的方向！）Q1=720V1=60K1=12Q