新教材2023版高中數(shù)學(xué)第九章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用課件新人教B版必修第四冊

9．2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升課程標(biāo)準(zhǔn)能用正弦定理、余弦定理解決簡單的實際問題．新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點知識點一實際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線鉛垂平面與地面垂直的平面坡角坡面與水平面的夾角α為坡角坡比坡面的垂直高度與水平寬度之比仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時，視線與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時，視線與水平線的夾角知識點二方位角從正北方向按________轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如點B的方位角為α(如圖所示)．方位角的取值范圍：__________．順時針0°～360°知識點三方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向為始邊，順時針方向________旋轉(zhuǎn)60°.知識點四解三角形實際問題的流程90°正南向西基

礎(chǔ)

自

測1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(

)A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°答案：B解析：由圖知α＝β.

答案：B

3．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________m、________m．

答案：D

課堂探究·素養(yǎng)提升

將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．

方法歸納測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達(dá)的兩點距離測量問題，運用正弦定理解決．跟蹤訓(xùn)練1

在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C兩點之間的距離為________千米．

題型2測量高度問題例2

(1)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值．

狀元隨筆①求出∠CBD＝45°，在△BCD中利用正弦定理進行求解．②先在△BCD中利用正弦定理求出BC的長度，進而利用正切值求出塔高AB.方法歸納解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖．(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用．

答案：D

(2)如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC.

題型3求航向的角度例3某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間．

狀元隨筆本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設(shè)出所用時間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形．

例4如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車行駛方向)，汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少公里？

方法歸納解決實際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步．(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題．

答案：D

跟蹤訓(xùn)練5

(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin2B＋bsinA＝0.①求角B；②若c＝2，A為△ABC的最小角，求△ABC周長的取值范圍．①利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知條件，求得cosB，進而求得B.②結(jié)合正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的值域，求得a＋b的取值范圍，從而求得△ABC周長的取值范圍．

(2)已知在△ABC中，∠A＝120°，∠A的角平分線與BC相交于點D.①若AC＝2AB＝2，求CD的長；②若AD＝1，求△ABC面積的最小值．

教材反思1．利用正弦定理、余弦定理可以解決一個可以到達(dá)的點與另一個不可以到達(dá)的點之間的距離問題(一般利用正弦定理，解一個三角形即可)，還可以解決兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題．解決此類問題，先利用測量工具測出所構(gòu)造的三角形的