余弦定理在生活中的應用

關于余弦定理在生活中的應用第1頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三1、向量的數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證明：余弦定理的著推導過程第2頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的著推導過程思考題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：第3頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的推導過程定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。推導公式：第4頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三ABCabc余弦定理的證明證明：以CB所在的直線為X軸，過C點垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標系，則A、B、C三點的坐標分別為：坐標法第5頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過C點垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標系，則A、B、C三點的坐標分別為：坐標法第6頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明ABCabcD當角C為銳角時證明：過A作ADCB交CB于D在Rt中在中三角法第7頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理的證明當角C為鈍角時證明：過A作ADCB交BC的延長線于D在Rt中在中bAacCBD第8頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三例.已知b=8,c=3,A=600求a.

∵a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos600=49定理的應用解：a=7第9頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三余弦定理在實際生活中的應用

正、余弦定理在測量、航海、物理、幾何、天體運行等方面的應用十分廣泛，解這類應用題需要我們吃透題意，對專業(yè)名詞、術語要能正確理解，能將實際問題歸結(jié)為數(shù)學問題.求解此類問題的大概步驟為：（1）準確理解題意，分清已知與所求，準確理解應用題中的有關名稱、術語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等；第10頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三（2）根據(jù)題意畫出圖形；（3）將要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關知識建立數(shù)學模型，然后正確求解，演算過程要簡練，計算要準確，最后作答.第11頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三1.測量中余弦定理的應用

例1某觀測站在目標南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米到達，此時測得距離為千米，求此人所在處距還有多少千米？分析：根據(jù)已知作出示意圖，分析已知及所求，解，求角.

再解，求出，再求出，從而求出（即為所求）.第12頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：由圖知，

在中，由余弦定理，得.即.整理，得，解得或（舍）.故（千米）.答：此人所在D處距還有15千米.評注：正、余弦定理的應用中，示意圖起著關鍵的作用，“形”可為“數(shù)”指引方向，因此，只有正確作出示意圖，方能合理應用正、余弦定理.東北第13頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三2.航海中余弦定理的應用例2在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距為2海里的處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船.此時走私船正以海里/小時的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時間相等，可畫出示意圖，需求的方位角及由到所需的航行時間.第14頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：設緝私船追上走私船所需時間為小時，則有，在中，∵，，，根據(jù)余弦定理可得.根據(jù)正弦定理可得.

∴，易知方向與正北方向垂直，從而.在中，根據(jù)正弦定理可得：，∴，∴，則有，小時分鐘.所以緝私船沿北偏東方向，需分鐘才能追上走私船.評注：認真分析問題的構(gòu)成，三角形中邊角關系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應用的前提，此題邊角關系較復雜要注意正余弦定理的聯(lián)用.第15頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三3.航測中余弦定理的應用例3飛機的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔m，速度為km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過秒后又看到山頂?shù)母┙菫?，求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到m）.分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在和中解出山頂?shù)胶骄€的距離，然后再根據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨?第16頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三解：設飛行員的兩次觀測點依次為A和B，山頂為，山頂?shù)街本€的距離為.如圖，在中，由已知，得，，.又（km）,根據(jù)正弦定理，可得，進而求得，∴（m）,可得山頂?shù)暮０胃叨葹椋╩）.評注：解題中要認真分析與問題有關的三角形，正確運用正、余弦定理有序地解相關的三角形，從而得到問題的答案.第17頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三4.炮兵觀測中余弦定理的應用例4我炮兵陣地位于地面處，兩觀察所分別位于地面點和處，已知米，，，目標出現(xiàn)于地面點處時，測得，（如圖），求炮兵陣地到目標的距離（結(jié)果保留根號）.分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點、、、可構(gòu)成四個三角形.要求的長，由于，只需知道和的長，這樣可選擇在和中應用定理求解.第18頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三綜上，通過對以上例題的分析，要能正確解答實際問題需：（1）準確理解有關問題的陳述材料和應用的背景；（2）能夠綜合地，靈活地應用所學知識去分析和解決帶有實際意義的與生產(chǎn)、生活、科學實驗相結(jié)合的數(shù)學問題.第20頁，講稿共23頁，2023年5月2日，星期三定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減