大工15秋《高等數(shù)學(xué)》輔導(dǎo)資料七

大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院第5頁共5頁高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料七主題：第三章微分學(xué)的應(yīng)用1—4節(jié)學(xué)習(xí)時間：2015年11月9日—11月15日內(nèi)容：這周我們將學(xué)習(xí)第三章微分學(xué)的應(yīng)用1—4節(jié)。上一章從函數(shù)對于自變量的變化率的問題引入了導(dǎo)數(shù)的概念并找到了求導(dǎo)數(shù)的方法，本章將應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究中值定理，并解決某些有關(guān)的實(shí)際問題。其學(xué)習(xí)要求及需要掌握的重點(diǎn)內(nèi)容如下：1、理解羅爾定理2、理解拉格朗日中值定理，并會用拉格朗日定理證明簡單的不等式。3、了解柯西中值定理4、理解泰勒中值定理基本概念：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理知識點(diǎn)：中值定理第一節(jié)、羅爾定理如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（3）則在內(nèi)至少有一點(diǎn),使羅爾定理的幾何意義：若連續(xù)曲線的弧AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，且在弧的兩個端點(diǎn)A,B處的縱坐標(biāo)相等，則在弧AB上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于軸。（要求理解記憶）范例解析：單選題：下列函數(shù)在指定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（）A、B、C、D、答案：C解題思路：注意：羅爾定理的條件有三個：1、函數(shù)在上連續(xù)，2、函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，（3）。不難發(fā)現(xiàn)，在上不滿足連續(xù)的條件，因此應(yīng)排除A。對于，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，因此應(yīng)排除B。對于，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，。因此，可知C滿足羅爾定理，應(yīng)該選C。對于，在上連續(xù)，但是在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因此應(yīng)排除D。綜上可知，本例應(yīng)選C。第二節(jié)、拉格朗日中值定理如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則在內(nèi)至少有一點(diǎn),使或拉格朗日中值定理的幾何意義：若連續(xù)曲線的弧AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，則在弧AB上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于AB弦。（要求理解記憶）推論1：如果在內(nèi)任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)是一個常數(shù)。推論2：如果在內(nèi)每一點(diǎn)都有，則在內(nèi)為常數(shù)）范例解析：計算題、下列各函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件？若滿足，求出相應(yīng)的值。（1）（2）解：（1）由于所以在處不可導(dǎo)。故上不滿足拉格朗日中值定理的條件。（2）由于上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)。所以上滿足拉格朗日中值定理的兩個條件。因此，存在，使得。而，故，從而求得。但由于，所以。第三節(jié)、柯西中值定理設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。范例解析：求證：設(shè)函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn)，證：結(jié)論可變形為設(shè)則在上滿足柯西中值定理的條件在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)第四節(jié)、泰勒中值定理設(shè)在含有的某個區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對任意，下式成立：其中，這里是與之間的某個值。如果對于某個固定的n,當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變動時,總不超過一個常數(shù)M,則有估計式：及可見,當(dāng)?時,誤差是比高階的無窮小,即在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時,n階泰勒公式也可寫成當(dāng)時的泰勒公式稱為麥克勞林公式,就是,或,其中。由此得近似公式：誤差估計式變?yōu)椋悍独馕觯河嬎泐}、寫出函數(shù)的n階麥克勞林公式解：因?yàn)樗杂谑?0<<1),并有這時所產(chǎn)生的誤差為當(dāng)時,可得的近似式：其誤差為附：歷史人物介紹約瑟夫·拉格朗日（1736—1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。拉格朗日就在《解析函數(shù)論》中，第一次得到微分中值定理f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，后面并用它推導(dǎo)出泰勒（Taylor）級數(shù)，還給出余項(xiàng)Rn的具體表達(dá)式，Rn就是