2023新教材高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.2全概率公式教師用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.1.2全概率公式1．了解全概率公式和貝葉斯公式的概念．(重點(diǎn))2．結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算概率，*了解貝葉斯公式．(難點(diǎn))3．能利用全概率公式解決生活中一些簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn)、易錯點(diǎn))1．通過對全概率公式和貝葉斯公式概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助全概率公式和貝葉斯公式求解概率，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)．知識點(diǎn)1全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．全概率公式可借助圖形來理解：*知識點(diǎn)2貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n．設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為()A．0.8 B．0.5C．0.67 D．0.875A[設(shè)公路上經(jīng)過的車為貨車是事件A，經(jīng)過的車是客車為事件B，車需要修理為事件C，且P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，所以P(A|C)＝eq\f(PAPC|A,PAPC|A＋PBPC|B)＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8．]類型1全概率公式及其應(yīng)用【例1】假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表所示．品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%在該市場中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．[解]用A1，A2，A3分別表示買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示買到的是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%．因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%．對全概率公式的理解某一事件A的發(fā)生可能有各種的原因，如果A是由原因Bi(i＝1，2，…，n)引起，則A發(fā)生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)，每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式．由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有如表所示的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家元件制造廠的元件在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志．在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，求它是次品的概率．[解]設(shè)事件Bi表示所取到的產(chǎn)品是由第i家元件制造廠提供的(i＝1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一發(fā)生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥．運(yùn)用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.0125．因此，在倉庫中隨機(jī)地取一只元件，它是次品的概率為0.0125．*類型2利用貝葉斯公式求概率【例2】甲盒裝有1個白球2個黑球，乙盒裝有3個白球2個黑球，丙盒裝有4個白球1個黑球．采取擲一骰子決定選盒，出現(xiàn)1，2或3點(diǎn)選甲盒，4，5點(diǎn)選乙盒，6點(diǎn)選丙盒，在選出的盒里隨機(jī)摸出一個球，經(jīng)過秘密選盒摸球后，宣布摸得一個白球，求此球來自乙盒的概率．[解]設(shè)A1＝{摸出的球來自甲盒}，A2＝{摸出的球來自乙盒}，A3＝{摸出的球來自丙盒}，B＝{摸得白球}，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(1,6)，P(B|A1)＝eq\f(1,3)，P(B|A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A3)＝eq\f(4,5)．于是由貝葉斯公式可知白球來自乙盒的概率為P(A2|B)＝eq\f(PA2PB|A2,\i\su(i＝1,3,P)AiPB|Ai)＝eq\f(\f(1,3)×\f(3,5),\f(1,2)×\f(1,3)＋\f(1,3)×\f(3,5)＋\f(1,6)×\f(4,5))＝eq\f(2,5)．若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)具體結(jié)果未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式．(2)如果第二個階段的某一個結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率．熟記這個特征，在遇到相關(guān)的題目時，可以準(zhǔn)確地選擇方法進(jìn)行計算，保證解題的正確高效．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某人去某地參加會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)的概率分別為0.2，0.1，0.3，0.4．如果他乘火車、輪船、汽車去，遲到的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,12)和eq\f(1,4)，乘飛機(jī)不會遲到．結(jié)果他遲到了，求他乘汽車去的概率．[解]設(shè)A＝“遲到”，B1＝“乘火車”，B2＝“乘輪船”，B3＝“乘汽車”，B4＝“乘飛機(jī)”，根據(jù)題意，有P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.1，P(B3)＝0.3，P(B4)＝0.4，P(A|B1)＝eq\f(1,3)，P(A|B2)＝eq\f(1,12)，P(A|B3)＝eq\f(1,4)，P(A|B4)＝0，由貝葉斯公式，有P(B3|A)＝eq\f(PA|B3PB3,\i\su(i＝1,4,P)A|BiPBi)＝eq\f(\f(1,4)×0.3,\f(1,3)×0.2＋\f(1,12)×0.1＋\f(1,4)×0.3＋0×0.4)＝eq\f(0.075,0.15)＝0.5．1．一個盒子中有6只白球、4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取2次，第二次取到白球的概率為()A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)B[設(shè)事件A＝{第一次取到白球}，事件B＝{第二次取到白球}，因?yàn)锽＝AB∪eq\x\to(A)B且AB與eq\x\to(A)B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＋eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(3,5)．]2．已知P(BA)＝0.4，P(Beq\x\to(A))＝0.2，則P(B)的值為()A．0.08 B．0.8C．0.6 D．0.5C[因?yàn)镻(BA)＝P(A)P(B|A)，P(Beq\x\to(A))＝P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝P(BA)＋P(Beq\x\to(A))＝0.4＋0.2＝0.6．]3．一批零件100個，其中10個不合格品，從中一個一個不放回取出，第三次才取出不合格品的概率為________．eq\f(89,1078)[記Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依題意：P(B1B2A3)＝P(B1)·P(B2|B1)P(A3|B1B2)＝eq\f(90,100)×eq\f(89,99)×eq\f(10,98)＝eq\f(89,1078)．]4．甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球．現(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球．則從乙箱中取出白球的概率為________．eq\f(8,25)[設(shè)B＝“從乙箱中取出白球”，A＝“從甲箱中取出白球”，P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,5)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝eq\f(2,5)，利用全概率公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)．]5．設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為________．0.868[設(shè)B＝{從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品}，Ai＝{提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的，i＝1，2}．由題意P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題