零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的性能影響分析

-.z.零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析1任務(wù)步驟分析原開環(huán)傳遞函數(shù)G0〔s〕的性能，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時(shí)間，超調(diào)時(shí)間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間〕；在G0〔s〕上增加零點(diǎn)，使開環(huán)傳遞函數(shù)為G1〔s〕，繪制系統(tǒng)的根軌跡,分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；取不同的開環(huán)傳遞函數(shù)G1〔s〕零點(diǎn)的值，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時(shí)間，超調(diào)時(shí)間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間〕；綜合數(shù)據(jù)，分析零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響在G0〔s〕上增加極點(diǎn)，使開環(huán)傳遞函數(shù)為G2〔s〕，繪制系統(tǒng)的根軌跡，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；取不同的開環(huán)傳遞函數(shù)G2〔s〕極點(diǎn)的值，繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)的暫態(tài)性能〔包括上升時(shí)間，超調(diào)時(shí)間，超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間〕；綜合數(shù)據(jù)，分析極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。增加一對(duì)離原點(diǎn)近的偶極子和一對(duì)距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的偶極子來驗(yàn)證偶極子對(duì)消的規(guī)律。2原開環(huán)傳遞函數(shù)G0〔s〕的性能分析2.1G0〔s〕的根軌跡取原開環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1];den=[1,0.8,0.15];rlocus(num,den);得到圖形：圖1原函數(shù)G0(s)的根軌跡根據(jù)原函數(shù)的根軌跡可得：系統(tǒng)的兩個(gè)極點(diǎn)分別是-0.5和-0.3，別離點(diǎn)為-0.4，零點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)處，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.2G0〔s〕的階躍響應(yīng)Matlab指令：G=zpk([],[-0.3,-0.5],[1])sys=feedback(G,1)step(sys)得到圖形：圖2原函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.12，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=1.97s超調(diào)時(shí)間tp=3.15s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=9.95s，超調(diào)量=28.3%3增加零點(diǎn)后的開環(huán)傳遞函數(shù)G1〔s〕的性能分析為了分析開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，現(xiàn)在在原開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式上單獨(dú)增加一個(gè)零點(diǎn)S=-a,并改變a值大小，即離虛軸的距離，分析比擬系統(tǒng)性能的變化。所以增加零點(diǎn)后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式：3.1G1〔s〕的根軌跡因?yàn)楹竺胬秒A躍響應(yīng)來分析時(shí)將取的零點(diǎn)均在實(shí)軸的負(fù)半軸，則只要了解其中一個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，則其它的穩(wěn)定也可以推知。所以取a=1畫出根軌跡來觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)a=1時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：Matlab指令：num=[1,1];den=[1,0.8,0.15];rlocus(num,den)得到圖圖3G1〔s〕的根軌跡曲線根據(jù)G1〔s〕的根軌跡可得：根軌跡均在左半平面，只是多了一個(gè)零點(diǎn)，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且可以推知，只要零點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。3.2增加不同零點(diǎn)時(shí)G1〔s〕的階躍響應(yīng)當(dāng)a=0.01的階躍響應(yīng)當(dāng)a=0.01時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[100,1];den=[1,100.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖4的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為0.992，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=0.0434s超調(diào)時(shí)間tp=0.139s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=197s，超調(diào)量=11.4%當(dāng)a=0.1的階躍響應(yīng)當(dāng)a=0.1時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[10,1];den=[1,10.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖5的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為0.931，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=0.256s超調(diào)時(shí)間tp=0.685s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=12.4s，超調(diào)量=7.02%當(dāng)a=1的階躍響應(yīng)當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[1,1];den=[1,1.8,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖6的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為0.905，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=2.04s超調(diào)時(shí)間tp=2.97s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=4.43s，超調(diào)量=4.03%當(dāng)a=10的階躍響應(yīng)當(dāng)a=10時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[0.1,1];den=[1,0.9,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖7的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為1.07，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=1.98s超調(diào)時(shí)間tp=3.15s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=7.73s，超調(diào)量=23.5%當(dāng)a=100的階躍響應(yīng)當(dāng)a=10時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令num=[0.01,1];den=[1,0.81,1.15];step(num,den)gridon得到圖圖8的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：由圖可知，曲線最大峰值為1.11，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=1.96s超調(diào)時(shí)間tp=3.11s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=9.84s，超調(diào)量=27.7%3.3增加零點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析根據(jù)圖2，圖4，圖5，圖6，圖7，圖8，可以得到原函數(shù)以及在原開環(huán)傳遞函數(shù)上增加一個(gè)零點(diǎn)s=a，a分別取0.01,0.1,1,10,100的系統(tǒng)性能參數(shù)。如以下表1所示：表1根據(jù)表1可畫出lga與各個(gè)指標(biāo)的關(guān)系曲線，如以下列圖9，圖10，圖11，圖12和圖13。因?yàn)樵瘮?shù)中的lga的值為負(fù)無(wú)窮，所以無(wú)法在圖中直接反映，所以圖9，圖10，圖11，圖12和圖13五個(gè)圖反映的是，零點(diǎn)距離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近對(duì)系統(tǒng)性能的影響。圖9曲線峰值Mr與lg〔a〕的關(guān)系圖10上升時(shí)間tr與lg〔a〕的關(guān)系圖11超調(diào)時(shí)間與lg〔a〕的關(guān)系圖12調(diào)節(jié)時(shí)間與lg〔a〕的關(guān)系圖13超調(diào)量與lg〔a〕的關(guān)系結(jié)論：1.增加不同的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有不同的影響；2.曲線峰值與超調(diào)量受到影響后的值與原值沒有重合，上升時(shí)間，超調(diào)時(shí)間與調(diào)節(jié)時(shí)間與原值有重合；3.隨著a的增加〔或者說隨著零點(diǎn)漸漸遠(yuǎn)離零點(diǎn)〕，曲線峰值受到的影響〔取絕對(duì)值來看〕和超調(diào)量受到的影響均是先增后減；上升時(shí)間受到的影響，超調(diào)時(shí)間受到的影響，調(diào)節(jié)時(shí)間受到的影響均是先減后增再減；4.當(dāng)a=100時(shí)，也就是零點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，增加的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響最小，可以預(yù)見，當(dāng)零點(diǎn)與原點(diǎn)的距離趨近于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)性能受到的影響趨近于0。4增加極點(diǎn)后的開環(huán)傳遞函數(shù)G2〔s〕的性能分析為了分析開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，現(xiàn)在在原開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式上單獨(dú)增加一個(gè)極點(diǎn)S=-p,并改變p值大小，即離原點(diǎn)的距離，分析比擬系統(tǒng)性能的變化。所以增加零點(diǎn)后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：4.1G2(s)的根軌跡因?yàn)楹竺胬秒A躍響應(yīng)來分析時(shí)將取的極點(diǎn)均在實(shí)軸的負(fù)半軸，則只要了解其中一個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，則其它的穩(wěn)定也可以推知。所以取p=1畫出根軌跡來觀察系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)p=1時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)G2(s)的表達(dá)式為Matlab指令：num=[1];den=[1,1.8,0.95,0.15];rlocus(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖14原函數(shù)G0(s)的根軌跡根據(jù)G(s)的根軌跡可得：根軌跡均在左半平面，只是多了一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且可以推知，只要極點(diǎn)在實(shí)軸的負(fù)半軸上，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。4.2增加不同極點(diǎn)時(shí)G2〔s〕的階躍響應(yīng)當(dāng)p=0.01的階躍響應(yīng)當(dāng)p=0.01時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1];den=[100,81,15.8,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖15的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為0.875，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=37.1s超調(diào)時(shí)間tp=44.5s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=31.7s，超調(diào)量=0.569%當(dāng)p=0.1的階躍響應(yīng)當(dāng)p=0.1時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為num=[1];den=[10,9,2.3,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖16的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.37，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=5.84s超調(diào)時(shí)間tp=9.58s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=69.7s，超調(diào)量=57.2%當(dāng)p=1的階躍響應(yīng)當(dāng)p=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[1,1.8,0.95,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖17的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.45，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=2.59s超調(diào)時(shí)間tp=4.38s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=50s，超調(diào)量=66.4%當(dāng)p=10的階躍響應(yīng)當(dāng)p=10時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[0.1,1.08,0.815,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖18的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.16，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=1.97s超調(diào)時(shí)間tp=3.18s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=10.5s，超調(diào)量=33.7%當(dāng)p=100的階躍響應(yīng)當(dāng)p=100時(shí)，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Matlab指令：num=[1];den=[0.01,1.008,0.8015,1.15];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);圖19的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.12，穩(wěn)態(tài)值為0.87，上升時(shí)間tr=1.95s超調(diào)時(shí)間tp=3.19s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=10s，超調(diào)量=28.8%4.3增加極點(diǎn)后對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析根據(jù)圖2，圖15，圖16，圖17，圖18，圖19，可以得到原函數(shù)以及在原開環(huán)傳遞函數(shù)上增加一個(gè)零點(diǎn)s=-p，p分別取0.01,0.1,1,10,100的系統(tǒng)性能參數(shù)。如以下表2所示：表2根據(jù)表1可畫出lgp與各個(gè)指標(biāo)的關(guān)系曲線，如以下列圖20，圖21，圖22，圖23和圖24。因?yàn)樵瘮?shù)中的lga的值為負(fù)無(wú)窮，所以無(wú)法在圖中直接反映，所以圖20，圖21，圖22，圖23和圖24五個(gè)圖反映的是，極點(diǎn)距離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近對(duì)系統(tǒng)性能的影響。圖20曲線峰值Mr與lg〔p〕的關(guān)系圖21上升時(shí)間tr與lg〔p〕的關(guān)系圖22超調(diào)時(shí)間與lg〔p〕的關(guān)系圖23調(diào)節(jié)時(shí)間與lg〔p〕的關(guān)系圖24超調(diào)量與lg〔p〕的關(guān)系結(jié)論：1.增加不同的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有不同的影響；2.比擬觀察增加零點(diǎn)時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)〔以上升時(shí)間tr為例〕的變化，可以發(fā)現(xiàn)，在*些區(qū)間〔*1<a=p<*2〕，存在：，則，說明了極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)系能的影響的差異；3.系統(tǒng)參數(shù)的變化有可能是隨著p值的增加而震蕩，但是數(shù)據(jù)量偏少，不能下結(jié)論；4.同時(shí)可以預(yù)見，當(dāng)零點(diǎn)與原點(diǎn)的距離趨近于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)性能受到的影響趨近于0。5.偶極子對(duì)系統(tǒng)性能影響的驗(yàn)證相距很近的閉環(huán)零點(diǎn)極點(diǎn)常被稱為偶極子，經(jīng)歷指出，如果閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則這一對(duì)閉環(huán)零極點(diǎn)就構(gòu)成偶極子。偶極子中，遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子，其影響根本可略；接近原點(diǎn)的偶極子，其影響必須考慮。出于本報(bào)告只是驗(yàn)證該規(guī)律，所以不可對(duì)消偶極子和可對(duì)消偶極子各取一對(duì)。5.1不可對(duì)消偶極子取增加的極點(diǎn)p=-0.1和零點(diǎn)s=-0.09組成一對(duì)開環(huán)偶極子，則可以得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了得到新傳遞函數(shù)的性能參數(shù)，畫出閉環(huán)傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)曲線。Matlab指令：num=[1,0.09];den=[1,0.9,1.05,0.105];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖25由階躍響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)暫態(tài)性能：曲線最大峰值為1.26，穩(wěn)態(tài)值為0.857，上升時(shí)間tr=1.86超調(diào)時(shí)間tp=3.45s調(diào)節(jié)時(shí)間ts=22.3s，超調(diào)量=46.5%5.2可對(duì)消偶極子取增加的極點(diǎn)p=-1和零點(diǎn)s=-1.1組成一對(duì)開環(huán)偶極子。則可以得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Matlab指令：num=[1,1.1];den=[1,1.8,1.95,1.25];step(num,den);h=findobj(gcf,'Type','line');set(h,'LineWidth',3);得到圖：圖2