小學(xué)數(shù)學(xué)-鴿巢問題教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊教材第68～69頁例1、例2。教學(xué)目標(biāo)：1.通過操作、觀察、比較、推理等活動，初步了解鴿巢原理，學(xué)會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題。2.在鴿巢原理的探究過程中，使學(xué)生逐步理解和掌握鴿巢原理，經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。3.通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)生解決問題的能力和興趣。教學(xué)重點：理解鴿巢原理，掌握先“平均分”，再調(diào)整的方法。教學(xué)難點：理解“總有”“至少”的意義，理解“至少數(shù)=商數(shù)＋1”。教學(xué)準(zhǔn)備:多媒體課件、撲克牌、3個筆筒、5支鉛筆。教學(xué)過程：一、游戲?qū)耄?.師：同學(xué)們，看過變魔術(shù)的嗎？老師今天也想給同學(xué)們變一個魔術(shù)。我手里有一副撲克牌，知道有多少張嗎（54張），現(xiàn)在我將兩張王取出，還剩多少張（52張）。請兩位小助手幫忙，一位同學(xué)拿著牌，另一位同學(xué)隨機抽出5張牌放在手中。老師猜在這5張牌中至少有2張牌是同一花色。重復(fù)抽取一次。適時引導(dǎo)：“至少2張”是什么意思？（也就是2張或2張以上。反過來，可能有2張，可能3張、4張、5張，也可以用一句話概括就是“至少有2張”）2.師：你們想知道為什么“至少有2張牌是同一花色”嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，我們就可以解釋這個現(xiàn)象了。下面我們就來一起研究“鴿巢問題”，我們可以用鉛筆來代替鴿子，用筆筒來代替鴿巢。我們可以從簡單的情況開始研究。二、合作探究（一）初步感知1.出示題目：有3支鉛筆，2個筆筒（把實物擺放在講桌上），把3支鉛筆放進2個筆筒，怎么放？有幾種不同的放法？誰愿意上來試一試。2.學(xué)生上臺實物演示?？赡苡袃煞N情況：一個放3支，另一個不放；一個放2支，另一個放1支。教師根據(jù)學(xué)生回答在黑板上畫圖和數(shù)的分解兩種方法表示兩種結(jié)果（3，0）（2、1）3.提出問題：“不管怎么放，每一個筆筒里至少有2支鉛筆”，這句話說得對嗎？“不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，這句話說得對嗎？學(xué)生嘗試回答。師引導(dǎo)：“總有一個筆筒”是什么意思？（一定有，不確定是哪個筆筒/應(yīng)該是最多的那個筆筒）?！爸辽儆?支”是什么意思？（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）4.小結(jié)：從剛才的實驗中，我們得到的結(jié)論是：3支鉛筆放進2個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少放進2支筆。（二）枚舉法（列舉法）過渡：如果現(xiàn)在數(shù)量增加，變成4支鉛筆放進3個筆筒，還會得出這樣的結(jié)論嗎？1.小組合作：（1）畫一畫：借助“畫圖”或“數(shù)的分解”的方法把各種情況在練習(xí)本上表示出來；（2）找一找：每種擺法中最多的一個筆筒放了幾支，用筆標(biāo)出；（3）我發(fā)現(xiàn)：總有一個筆筒至少放進了（）支鉛筆。2.學(xué)生匯報，展臺展示。一名同學(xué)操作匯報，一名同學(xué)板書（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）交流后明確：（1）共四種情況（2）每種擺法中最多的一個筆筒放進了：4支、3支、2支。（3）總有一個筆筒至少放進了2支鉛筆。3.小結(jié)：剛才我們通過“畫圖”、“數(shù)的分解”兩種方法列舉出所有可能的情況來得出結(jié)論，像這種方法我們把它叫做“枚舉法”，也就是我們通常所說的“列舉法“。思考：我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個結(jié)論，找到“至少數(shù)”呢？（三）假設(shè)法1.學(xué)生嘗試回答，并操作演示。（把4支鉛筆平均放在3個筆筒里，每個筆筒放1支，余下的1支，無論放在哪個筆筒，那個筆筒就有2支筆，所以說總有一個筆筒至少放進了2支筆。2.指名說，同桌互相說。3.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：（1）這種分法的實質(zhì)就是先怎么分的？（平均分）（2）為什么要一開始就平均分？（均勻地分，使每個筆筒的筆盡可能少一點，方便找到“至少數(shù)”）余下的1支，怎么放？（任意放進哪個筆筒都行）（3）怎樣用算式表示這種方法？4÷3=1（支）……1（支）1+1＝2（支）算式中的兩個“1”分別是什么意思？4.說明：剛才的這種方法里面蘊含了“平均分”，我們把這種方法叫做“假設(shè)法”。用有余數(shù)的除法算式可以把平均分的過程簡明的表示出來，現(xiàn)在會用簡便方法求“至少數(shù)”嗎？5.課件出示（1）5支筆放進4個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。（2）6支筆放進5個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。（3）26支筆放進25個筆筒，總有一個筆筒至少放進（）支筆。學(xué)生列出算式，找一名同學(xué)在黑板上板書算式，依據(jù)算式說理。5÷4=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6÷5=1（支）……1（支）1+1＝2（支）26÷25=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6.學(xué)生觀察四個算式有什么共同點？7.小結(jié)：當(dāng)筆的數(shù)量比筆筒多1時，不管怎么放，總有一個筆筒至少放進2支筆。（四）建立模型1.課件出示：把5支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。請用算式表示，找同學(xué)板書：（預(yù)設(shè)）5÷3=1（支）……2（支）1+2＝3（支）5÷3=1（支）……2（支）1+1＝2（支）針對兩種結(jié)果，各自說說自己的想法。2.小組討論，突破難點至少2只還是3只？3.學(xué)生說理，邊擺邊說：先平均分，每個筆筒放進1支筆，余下2只再平均分放進2個不同的筆筒里，所以至少2只。（指名說，互相說）4.質(zhì)疑：為什么第二次要平均分？（保證“至少”）5.強化：如果把筆和筆筒的數(shù)量進一步增加呢？課件依次出示：（1）把10支鉛筆放進7個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。10÷7＝1（支）…3（支）1+1＝2（支）（2）把14支鉛筆放進4個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（）支鉛筆。14÷4＝3（支）…2（支）3+1＝4（支）6.對比算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律思考：至少數(shù)和余數(shù)有沒有關(guān)系？與余數(shù)無關(guān)。先平均分，不管余多少，都要再平均分，所以應(yīng)該用所得的“商+1”7.引申拓展剛才我們研究了筆放入筆筒的問題，那如果換成鴿子飛進鴿籠你會解答嗎？還有像“把蘋果放入抽屜，把書放入書架”，類似的問題我們都可以用這種方法解答。三、解決問題課件出示：（1）6只鴿子放進了5個鴿巢，總有一個鴿巢里飛進了（）只鴿子（2）10個蘋果放入3個抽屜里，總有一個抽屜里放入了（）蘋果（3）18個小朋友，總有至少（）個小朋友是同一個月出生的（4）紅、黃、黑、白球共有50個，總有至少（）個球顏色相同學(xué)生口算解答。四、鴿巢原理的由來師：同學(xué)們我們這節(jié)課一起研究了鴿巢問題，為什么叫做“鴿巢問題”呢？我們一起來了解一下。課件出示。鴿巢問題又叫抽屜原理，它最早由德國數(shù)學(xué)家狄里克雷提出，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理有兩個經(jīng)典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放入了2個蘋果，所以這個原理又稱“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以又稱為“鴿巢問題”。五、課堂總結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們已經(jīng)有了一些收獲，哪位同學(xué)愿意和大家分享一下。課堂一開始老師給同學(xué)們變了一個魔術(shù)，現(xiàn)在同學(xué)們知道其中的道理了嗎?（指名學(xué)生說理）生活中還有很多問題都可以用數(shù)學(xué)的知識去解決，希望同學(xué)們能做一個有心人，去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。《鴿巢問題》學(xué)情分析“鴿巢問題”的理論本身并不復(fù)雜，對于學(xué)生來說是很容易的。可能有一部分學(xué)生已經(jīng)了解了鴿巢問題，他們在具體分的過程中，會運用平均分的方法，也能就一個具體的問題得出結(jié)論。但是這些學(xué)生中大多數(shù)只“知其然，不知其所以然”，為什么平均分能保證“至少”的情況，他們并不理解。還有部分學(xué)生完全沒有接觸，所以他們可能會認(rèn)為至少的情況就應(yīng)該是“1”。“鴿巢問題”的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，尤其是“鴿巢問題”的逆用，學(xué)生對進行逆向思維的思考可能會感到困難，也缺乏思考的方向，很難找到切入點。教學(xué)時，不必過于追求學(xué)生“說理”的嚴(yán)密性，只要能結(jié)合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學(xué)生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證?！而澇矄栴}》效果分析有效的教學(xué)是從研究學(xué)生開始的?！敖饣蟆毙枰取爸蟆?，教學(xué)要從學(xué)生的視角望出去，瞄準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知障礙。“抽屜原理”看似簡單，但因為其實質(zhì)是揭示了一種存在性，比較抽象，要讓小學(xué)生建構(gòu)起自己的實質(zhì)性理解，還是很有挑戰(zhàn)性的。首先，抽屜原理的精練表述，明顯超出了一般人的抽象概括能力。對“總有一個抽屜里放入的物體數(shù)至少是多少”這樣的表述，學(xué)生不易理解，教學(xué)中學(xué)生也很難用“總有”、“至少”這樣的語言來陳述。第二，抽屜原理研究的是物體數(shù)最多的一個抽屜里最少會有幾個物體，只研究它存在這樣一個現(xiàn)象，不需要指出具體是哪一個抽屜，也就是說，對“抽屜”是不加區(qū)分的。而小學(xué)生容易受到思維定式的影響，理解起來有難度。在枚舉時會把（2、1、1），（1、1、2），（1、2、1）理解成三種不同的情況。第三，人教版教材在例2的編排中是運用有余數(shù)除法的形式表達(dá)出假設(shè)法的核心思路，即5÷2=2……1。但由于該除法算式的余數(shù)正好是1，很容易讓學(xué)生將“某個筆筒至少有筆的數(shù)量”是“商加1”錯誤地等同于“商加余數(shù)”?；谝陨戏治?，教學(xué)時要注意分散難點，鼓勵學(xué)生借助實物操作或畫草圖等直觀的方式逐步理解。同時，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對“枚舉法”、“假設(shè)法”等方法進行比較，使學(xué)生逐步學(xué)會運用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，發(fā)展學(xué)生的類推能力和概括能力。魔術(shù)游戲入手，課始的導(dǎo)入引出了話題，也引發(fā)了數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生初步感知“抽屜原理”，初步滲透了“不管怎樣”、“總有一個”等思想。將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，激起了學(xué)生探究新知的欲望。怎樣幫助學(xué)生理解抽屜原理模型中的“不管怎么放”、“總有一個”、“至少”等詞語表達(dá)的意思呢？在教學(xué)中，先讓學(xué)生動手操作、畫圖，找出“把4枝鉛筆放進3個筆筒里”的所有分放方法，目的是讓學(xué)生真正體會并得到所有的分放方法。接著，通過教師的追問，引導(dǎo)學(xué)生體會、理解“不管怎么放”、“總有一個”、“至少”的含義，為自主探究解決問題掃清了障礙。在交流時，抓住兩種方法的本質(zhì)和關(guān)鍵加以引導(dǎo)，并進行歸納提煉，使學(xué)生初步感受和體驗枚舉法與假設(shè)法的不同。將假設(shè)法最核心的思路用“有余數(shù)除法”形式表示出來，將思維過程與數(shù)學(xué)符號聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，并為后面發(fā)現(xiàn)規(guī)律埋下伏筆?！而澇矄栴}》教材分析一、教學(xué)內(nèi)容 教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數(shù)量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。第二種，即是“把多于kn（k是正整數(shù)）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1，就是第一種情況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍(lán)球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至少2個同色的球）。二、教材例題分析例1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結(jié)論是成立的。教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結(jié)論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放1支，這時剩下1支。剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類問題的基本結(jié)構(gòu)，掌握兩種思考的方法──枚舉和假設(shè)，理解問題中關(guān)鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認(rèn)識。例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于（是正整數(shù)）個物體任意分放進個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體”。教材首先探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當(dāng)數(shù)據(jù)變得越來越大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學(xué)生來說是有困難的。這時需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學(xué)生明白只要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學(xué)生是在經(jīng)歷“反證法”的這樣一個過程。例3：跟之前教材的編排是一樣的，是抽屜原理的一個逆向的應(yīng)用。要解決這個問題，可以把兩種“顏色”看成兩個“抽屜”，“同色”就意味著“同一個抽屜”。這樣，就可以把“摸球問題”轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”。教材通過學(xué)生的對話，指出了可以通過先猜測再驗證的方法來解決問題，也反映了學(xué)生在解決這個問題時可能會遇到的困難。很多學(xué)生誤以為要摸5次才可以摸出球，這可以讓學(xué)生通過實驗來驗證。三、在教學(xué)中要注意的問題：第一，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過程，在這里不是讓學(xué)生計算抽屜原理，去應(yīng)用，而更多的是給出一個結(jié)論，讓學(xué)生去證明這種結(jié)論的正確性，這就是一種數(shù)學(xué)證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，比如讓學(xué)生判斷13個孩子中一定有兩個人的生日在同一個月份，讓學(xué)生去判斷367個孩子中一定有兩個人的生日是同一天……在解決這些問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生把這些具體問題模型化成一個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助學(xué)生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學(xué)生在探究的過程中，逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當(dāng)保持教學(xué)要求，因為數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容只是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)思想的感悟，在評價上不做特別高的要求?！而澇矄栴}》評測練習(xí)一、填一填。1．把7支鋼筆放到4個文具盒中，總有一個文具盒中至少有()支鉛筆，如果把這些鋼筆放進3個文具盒中，至少有()支鋼筆。2．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組有25人，至少有()人屬相相同。3．9只兔子裝入4個籠子，總有一個籠子至少裝()只兔子。4．王老師把36人分成5個組，總有一個組至少有()人。5．將9本書放到8個抽屜里，總有一個抽屜至少放進了()本書；將25支鋼筆放到8個文具盒里，總有一個文具盒至少放進了()支鋼筆。6．把5個梨放在4個盤子里，總有()個盤子至少要放2個梨。二、選一選。1．34只小鳥飛向11棵大樹，至少有()只小鳥飛向同一棵樹。A．3B．4C．52．在任意的40個人中，至少有()人的屬相相同。A．2B．3C．43．老師把36根跳繩分給5個班，至少有()根跳繩分給同一個班。A．7B．8C．9三、用一用。1．2006年3月份出生的任意32名同學(xué)中，至少有2人是同一天出生的，為什么？2．體育課上，同學(xué)們正在進行投籃練習(xí)，其中10名同學(xué)一共投進61個球。你能說出其中的道理嗎？3．六年級有30名學(xué)生是2月份出生的，所以六年級至少有2名學(xué)生的生日是2月份同一天，為什么？《鴿巢問題》課后反思數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)是為了豐富學(xué)生解決問題的方法和策略，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力。本節(jié)課我讓學(xué)生經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的過程，初步了解了“鴿巢原理”，學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。一、情境導(dǎo)入，初步感知興趣是最好的老師。在導(dǎo)入新課時，我讓同學(xué)們玩抽撲克牌的游戲，這個游戲雖簡單卻能真實的反映“鴿巢原理”的本質(zhì)。通過小游戲，一下就抓住學(xué)生的注意力，有效地調(diào)動和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和興趣。二、活動中恰當(dāng)引導(dǎo)，建立模型采用枚舉法，讓學(xué)生把4枝鉛筆放入3個筆筒中的所有情況通過擺一擺、畫一畫或?qū)懸粚懙确绞蕉剂信e出來，運用直觀的方式，發(fā)現(xiàn)并描述,理解最簡單的“鴿巢原理”即“鉛筆數(shù)比筆筒數(shù)多1時，總有一個筆筒里至少有2枝筆”。在例2的教學(xué)時，讓學(xué)生借助直觀操作發(fā)現(xiàn)枚舉法適用于數(shù)字較小時，有局限性，而假設(shè)法應(yīng)用范圍廣，假設(shè)把筆盡量多的“平均分”到各個筆筒，看每個筆筒能分到多少支筆，剩下的筆不管放到哪個筆筒里，總有一個筆筒比平均分得的多1支，可以用有余數(shù)的除法這一數(shù)學(xué)規(guī)律來表示。大量例舉之后，再引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納這一類“鴿巢原理”的一般規(guī)律。特別是通過學(xué)生歸納總結(jié)的規(guī)律：到底是“商+余數(shù)”還是“商+1”，引發(fā)學(xué)生的思維步步深入，并通過討論和說理活動，使學(xué)生經(jīng)歷了一個初步的“數(shù)學(xué)證明”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和初步的邏輯能力。三、通過練習(xí)，解釋應(yīng)用適當(dāng)設(shè)計形式多樣化的練習(xí)，可以引起并保持學(xué)生的練習(xí)興趣。練習(xí)內(nèi)容緊密聯(lián)系生活，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活。練習(xí)由易到難，層層遞進，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在練習(xí)中，學(xué)生興趣盎然，達(dá)到了預(yù)期的效果。不足之處是學(xué)生的語言表達(dá)能力還有待提高。課堂中，數(shù)學(xué)語言精簡性直接影響著學(xué)生對新知識的理解與掌握。因此，在以后的課堂教學(xué)中，我要嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言，發(fā)現(xiàn)并靈活掌握各種數(shù)學(xué)語言所描述的條件及其相互轉(zhuǎn)化，以加深對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用，增強提問的指向性、目的性?！而澇矄栴}》課標(biāo)分析一、課標(biāo)要求《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出：“會獨立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”“結(jié)合實際情境，體驗發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應(yīng)用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學(xué)知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。二、課標(biāo)解讀（一）讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程在數(shù)學(xué)上，一般是用反證法對“抽屜原理”進行