曲阜師范大學數(shù)學-《復變函數(shù)》復習資料

PAGE1《復變函數(shù)》復習資料1一、判斷題1.把角形域映射為角形域用指數(shù)函數(shù)映射（

）2.3.4.5.6.7.分式線性映射在復平面上具有共形性、保圓性、保對稱性。

（

）8.9.10.二、解答題1.設，求在的洛朗展式（只寫出含到各項）.2.利用留數(shù)定理計算復積分且為自然數(shù)).3.利用留數(shù)定理計算實積分.三、解答與證明題1.如果在內，函數(shù)解析，且，求的最優(yōu)估計值.2．（1）函數(shù)當為實數(shù)時，都有確定的值且在全實軸上有任意階導數(shù)，但它的泰勒展開式：卻只當時成立，試說明其原因；（2）利用惟一性定理證明：.3.設在內解析且連續(xù)到,在上QUOTEφz<1,試證在內部只有一個根QUOTEz0.4.設為單連通區(qū)域，在內解析，在內一條周線，為的內部.若對于任意的都有，則在內恒有，其中為實常數(shù).

答案一、1-5FFTTF6-10TFFTF二、解答題1、設，求在的洛朗展式（只寫出含到各項）解：=（）=（）.2、利用留數(shù)定理計算復積分且為自然數(shù))解：因為，且所以設，因為在單位圓周內只有一個本質奇點，在該點的去心領域內有洛朗展式：=所以，故，因此原積分值為零。3、利用留數(shù)定理計算實積分解：令，則，，先計算積分 =，故所求積分等于 三、解答與證明題1．如果在內，函數(shù)解析，且，求的最優(yōu)估計值。證明：對任意的且滿足，由于在內解析，在上應用柯西不等式得：，其中為在的最大值。又因為有條件，在，=，所以，令，有數(shù)學分析的知識可得當，在達到最大，把代入，的，為的最優(yōu)估計值。2．（1）函數(shù)當為實數(shù)時，都有確定的值且在全實軸上有任意階導數(shù)，但它的泰勒展開式：卻只當時成立，試說明其原因。（2）利用惟一性定理證明：.證明：（1）考慮函數(shù)，那么是的兩個奇點，因此在的領域內展成的冪級數(shù)的收斂半徑為1，而是的特殊情形，所以只當時成立.（2）因為級數(shù)的收斂半徑為1，所以在收斂圓內收斂到一個解析函數(shù)，令=，則在內也解析.因為在數(shù)學分析中知道：。即當時，=，有惟一性定理可知：.3.設在內解析且連續(xù)到,在上QUOTEφz<1,試證在內部只有一個根QUOTEz0.證明：令,,則及其在解析,在上連續(xù),在上有.由儒歇定理可知與=在內有相同的零點個數(shù),而在內僅有一個一級零點,,故在也僅有一個根,設為,即=0.4．設為單連通區(qū)域，在內解析，在內一條周線，為的內部。若對于任意的都有，則在內恒有，其中為實常數(shù)。證明：有柯西積分公式，在內，于是在內，從而在內為常數(shù)，注意到，對任意的，，其中為實常數(shù)。再由解析函數(shù)的惟一性定理可得在內，其中為實常數(shù)。

《復變函數(shù)》復習資料2一、計算題1、（1）計算積分（其中n是正整數(shù)）.(2)令，并利用（1）計算的結果，導出2、利用留數(shù)理論計算積分I=（m是正整數(shù)）.3、求函數(shù)f(z)=的所有奇點及奇點類型.并計算積分.二、證明題1、設在區(qū)域內滿足:在解析且不恒為常數(shù);使得,且.證明a為的本質奇點.2、（1）證明：如果函數(shù)在區(qū)域D內單葉解析，則在D內.(2)試問上述命題的逆是否真，如果不真，請舉一個初等解析函數(shù)的例子.3、設f(z)在任何有限的區(qū)域上解析，而且（正常數(shù)）試證：（1），(a,b為任意兩個給定的復數(shù),a).(2)根據(jù)（1）推出劉維爾（Liouville）定理.4、若不為常數(shù)的函數(shù)f(z)在（包括）中解析，試證明M（r）=（r>R）是r的嚴格下降函數(shù).并利用此結論證明下列結論：設P（z）=z求證:.

答案一、計算題1、（1）解：==（2）在（1）中令，并利用余弦函數(shù)的定義，再整理就得到結論2解：因為積分號下的函數(shù)為x的偶函數(shù)，故I=， 命則設則在圓周內部，f(z)僅有一個一階極點故由留數(shù)定理于是知所以I=3．解：皆為一階極點，是本質奇點，是可去奇點=二、證明題1、證明：由條件知a是的孤立奇點先證a不是的可去奇點.若不然，令=0,則在內解析，由零點的孤立性得，這與條件矛盾.再證a不是的極點，若不然，由極點的等價條件知在a的某鄰域內無界，這也與條件矛盾。因此a是的本質奇點2、證明：（1）若有D的點使，則必為的一個階零點。由零點的孤立性，故存在，使在圓周上，在C的內部，及無異于的零點。命表在C上的下確界，則由儒歇定理即知，當時，在圓周的內部亦恰有個零點。但這些零點無一為多重點，理由是在C內部除外無其他零點，而顯然非的零點。故命表在C內部的個相異零點。于是這與的單葉性假設矛盾。故在區(qū)域D內。（2）其逆不真，例：3．（1）由于：（2）由于故f(a)=f(b).由于a、b任意，故f(z)恒為常數(shù).4．證明：由最大模原理得，對于任何M（）=>==M（）由P（z）=z,考慮函數(shù)（）是解析的（包括），由（1）知在內是遞減的，=(R)，令取極限，就有.

《復變函數(shù)》復習資料3一.求解方程.二.計算復數(shù)Ln．三.計算積分，，為正向曲線．四.將函數(shù)在內展開成羅朗級數(shù).五.計算積分．六.計算在處的留數(shù)．七.計算積分，，為正向曲線．

答案一．解：因為所以，即方程有三個解：，，二．解：根據(jù)對函數(shù)的定義有三．解：令，則在