物理概論課件金朝3第二章

第二章剛體的定軸轉(zhuǎn)動1§2.1定軸轉(zhuǎn)動的剛體運動學(xué)§2.2

力矩轉(zhuǎn)動定律§2.3

角動量定理角動量守恒定律§2.4

力矩作功轉(zhuǎn)動動能定理概念，規(guī)律，方法與質(zhì)點力學(xué)對照學(xué)習！§2.1

定軸轉(zhuǎn)動的剛體運動學(xué)剛體:(1)物體受力作用時,組成它的各質(zhì)量元之間的相對位置保持不變.有大小,形狀不變(2)內(nèi)部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實際物體的一種理想的模型2剛體的運動:

平動,

轉(zhuǎn)動,復(fù)雜運動.平動:剛體內(nèi)任意兩點連線的空間指向始終保持不變,各點的運動情況完全相同.剛體平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的；在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都是相同的。所以，剛體內(nèi)任何一個質(zhì)點的運動，都可代表整個剛體的運動。A3AABBB定軸轉(zhuǎn)動:剛體的各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動。此直線叫做轉(zhuǎn)軸，如果轉(zhuǎn)軸是固定不動的，就叫定軸轉(zhuǎn)動。各質(zhì)點均在垂直于轉(zhuǎn)軸平面作圓周運動。z

wO特點：剛體內(nèi)所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速度?！獎傮w上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律45剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述角加速度：dw

d

2qb

=

dt

=

dt

2角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。各質(zhì)點:位置,速度,加速度.r

,

v,a1.

定軸轉(zhuǎn)動的角量描述角位置：q

=q(t)角位移：Dq

=q(t)-q(t0

)角速度：w

=dqdt2.角量和線量的關(guān)系v

=

rw=

rw

2aat

=

rbn矢量表示：

2

a

=

b

·

r

-w

rv

=w

·

r6ww轉(zhuǎn)軸qv減速與w反向.加速與w同向，w

=

w

0

+

bt2021q

=

w

t

+

btw202-

w

=

2

bq勻加速轉(zhuǎn)動角加速度的方向78

M

=

r

·

fZf2rPO

參考平面f1f(2)ZfO

rdM參考平面(1)qPM

=

fr

sinq=

ftr

=

fd-表示。力在參考平面內(nèi)：力不在參考平面內(nèi)：

M

=

r

·

f2§2.2力矩轉(zhuǎn)動定律一、力對轉(zhuǎn)軸的力矩定軸轉(zhuǎn)動力矩只有兩個

方向，可規(guī)定轉(zhuǎn)動正向后，用+、i

·

j

=

kj

·

k

=

i

j

·

i

=

-kiFijOO

fiiqri

imii質(zhì)量元mi

,外力Fi

,內(nèi)力fiF

+

f

=

mi

aii

ii

i

i

i

i

in2F

cos=mw

rj

+

f

cosq

=maFi

sinji

+

fi

sinqi

=

mi

ait

=

mi

bri法向切向二.轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量由牛頓定律而來=

mi

ait29Fi

ri

sin

ji

+

fi

ri

sin

qi

=

mi

bri兩邊乘以ri切向

Fi

sinji

+

fi

sinqi

=

mi

bri2

Firi

sin

ji

+

firi

sinqi

=

mi

b

ri求和i

i2令

m

r

=

I轉(zhuǎn)動慣量

M

=

Ib轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量:轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度,與m,轉(zhuǎn)軸位置,質(zhì)量分布有關(guān).

fi

ri

sinqi

=

0

Fi

ri

sinji

=

SM10三.轉(zhuǎn)動慣量的計算:質(zhì)點系2i

iI

=

m

r質(zhì)量連續(xù)分布I

=

r

2

dmdm=ldldm

=sdsdm

=

rdV11線分布面分布體分布分析：質(zhì)量沿x分布mdm到轉(zhuǎn)軸距離x22121mLL

/

2cI

=

x

ldx

=-L

/

22021LI

=

x

l

dx

=

3

mL例:計算質(zhì)量為m、長為L,的均勻細棒對中心或一端并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。xodmx對中心軸O的轉(zhuǎn)動慣量對一端軸O’的轉(zhuǎn)動慣量dm

=

ldx

=

L

dx

O’距中心為d的軸的I21222121dx

=

mL

+

mdd

+L

/

2I

=

x

ld

-L

/

2d例:求質(zhì)量為m,半徑為R的細圓環(huán)及圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(1)圓環(huán)ml

=

dm

=

ldl2pRI

=

R

2

ldl

=

R

2

l

2pR

=

mR

202

p

R(2)圓盤22m

mR2R

2pr3dr

=0pRRI

=

r2s

2prdr

=0m13pR

2dm

=

s

2prdrs

=Ordr14幾種常見形狀的剛體的轉(zhuǎn)動慣量15兩個定理平行軸定理I

=

I

+

md

2C式中IC為剛體對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量,m是剛體的質(zhì)量，d是兩平行軸之間的距離。垂直軸定理若z

軸垂直于厚度為無限小的剛體薄板板面,xy

平面與板面重合,則此剛體薄板對三個坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量有如下關(guān)系I

z

=

I

x

+

I

y1617分析：質(zhì)量沿x分布mdm到轉(zhuǎn)軸距離x22121mLL

/

2cI

=

x

ldx

=-L

/

22021LI

=

x

l

dx

=

3

mL例:計算質(zhì)量為m、長為L,的均勻細棒對中心或一端并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。xodmx對中心軸O的轉(zhuǎn)動慣量對一端軸O’的轉(zhuǎn)動慣量dm

=

ldx

=

L

dx

O’距中心為d的軸的I222121dx

=

mL

+

mdd

+L

/

2d

-L

/

2I

=

x

l2IO

=

Ic

+

mdd比較可得平行軸定理如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、圓半徑為R）131

2I

L

=

m

L

L21

2Io

=

mo

RL2I

=I0

+m0d2o2oL2L

23+

R)

2+

m

(L1+

m

RI

=

1

m18O例

如圖已知R

和M0

，試計算其轉(zhuǎn)動慣量，設(shè)轉(zhuǎn)軸過O點且和盤面垂直。解：根據(jù)I

的可疊加性，可將其看成兩部分：R+M

-m=19·Roxy例：求質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)薄圓盤對通過盤心并處于盤面內(nèi)的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：盤的質(zhì)量分布均勻,盤的質(zhì)量面密度為s

=mp

R2取半徑為r、寬為dr的圓環(huán)如圖所示，其質(zhì)量為d

m

=

s

2

p

rd

r圓盤對Oz軸(過O點垂直于紙面)的轉(zhuǎn)動慣量為rdr20根據(jù)垂直軸定理I

z

=

I

x

+

I

y由于對稱性,

Ix

=

Iy

,

所以2xzI

=

2

I

=

1

mR

2解得2211I

x

=

4

mR203030212mRRRRzr

d

r

=r

d

m

=I

==

2

πss

2

πr

d

rm1

:

m1

g

-

T1

=

m1am

:

T

-

m g

=

m

a1

22

2

2

2m

:

T

-

T

)R

=

Iba

=

Rbm1m21T2Tm1

gm2

gm(m1

+

m2

+

m

/

2)

Rm

-

mb

=

1

2

gg22(m1

+

m2

+

m

/

2)m1

-

m2a

=平動轉(zhuǎn)動平動與轉(zhuǎn)動四.轉(zhuǎn)動定律解題例：如圖,滑輪是剛體,質(zhì)量為m,半徑為R,滑輪與細繩之間無滑動,求滑輪的角加速度.轉(zhuǎn)動定律解題關(guān)系

at

=

rb轉(zhuǎn)動平動SF

=ma

M

=

Ib23例：一質(zhì)量為m,為L的均勻細棒,可繞通過其一端,且與棒垂直的水平軸O轉(zhuǎn)動,今使棒從靜止開始由水平位置繞O軸轉(zhuǎn)動，求：棒轉(zhuǎn)到900角的角速度.轉(zhuǎn)動慣量3I

=

1

mL

2任意位置力矩2mg

L

cos

q2132mL

bL轉(zhuǎn)動定律

mgcos

q

=qmg2425角加速度角速度2

Lb

=

3

g

cos

qd

q

dtdt=

w

d

wb

=

d

w

=

d

w

d

q2

L3

g

cos

q

=

w

dwd

qdq

=

w

dwdq

2

L3g

cos

qwqdwcos

q

dq

=

w00

2

L3

gsin

qL3

g\

w

=L3

g2q

=

p

M

=

0

b

=

0

w

=qmgn2a

=

at

=

brat

=0a

=

a

=w

ran

=

02w

=

02

Lb

=

3

gq

=

0

M

=

mg

L26§2.3

角動量定理角動量守恒定律1、質(zhì)點角動量定理2、質(zhì)點系角動量定理3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理mvMo

(F

)zyorQF

(r

·

mv

)dt=

dd

dt

Lo

(mv

)(mv

)

M

(mv)dt

omv

rdt

+

·

d

=

dr

·0r

·

Fd

Lo

(mv

)

=

Mo

(F

)dtx質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。1、質(zhì)點角動量（動量矩）定理(mv)xyAMo

(mv)zyoxAmvjqr質(zhì)點動量mv在Oxy平面內(nèi)的投影（mv）xy對于點O的矩，定義為質(zhì)點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動矩。zL

=

Mz

(mv)2、質(zhì)點系的動量矩nLo

=

Mo

(mi

vi

)i=1

nLz

=

Mz

(mi

vi

)i=1[Lo

]z

=

Lz質(zhì)點系對點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于質(zhì)點系對z軸的動量矩。矢量和代數(shù)和質(zhì)點系的動量矩定理

(e)(i

)d

)

+

M

0

(Fi

)L

(m

v

)

=

M

(Fdt

o

i

i

0

i=nnino

i

idti=10i=1(F

)

+

M

0

(Fi

)i=1L

(m

v

)

M

(i

)

(e)d

nno

i

idtddt

0

i

ii=1i=1L

(m

v

)L

(m

v

)

=d

質(zhì)點系對于某定點O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。dtL0

=

M

0

(Fi

)i=1d

n

(

e

)0質(zhì)點系動量矩守恒定律0L

=L0

(mv

)=恒矢量當外力對于某定點（或某定軸）的力矩等于零時，質(zhì)點系對于該點（或該軸）的動量矩保持不變。dtL0

=

M

0

(Fi

)i=1n

(

e

)d

03、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒

M

=

IbM

=

I

dw

=

d

(Iw

)

=

dLdt

dt

dtIω

稱為剛體的角動量或動量矩.對質(zhì)點:Iw

=

mr

2w

=

mvrI

=

mr

2轉(zhuǎn)動定律

L

=

mvr

sinqL

=

Iw

=

r

·

pOmvrq32fi

Mdt

=

d

(Iw

)定義

Mdt

為沖量矩力矩對時間的累積.

t2t1

Mdt

=

Iw

2

-

Iw1dtM

=

dL轉(zhuǎn)動定律角動量定理:作用在剛體的沖量矩等于動量矩的增量.33L

=

Iw角動量守恒定律：合外力矩為零當M=0時,Iω為恒量t2

Mdt

=

Iw

2

-

Iw1t1角動量守恒定律:1.適用于有轉(zhuǎn)動的系統(tǒng),如結(jié)合,分離,碰撞和相對運動等;2.對非剛體也成立,如芭蕾,跳水等;3.自然界普遍規(guī)律,微觀,宏觀.AABBCCwAwBw

w3435思考題:開普勒第二定律：相同的時間內(nèi)，太陽和行星的連線所掃過的面積相等。其物理本質(zhì)？dtdtdq1

r2dqL

=mr2w

=mr2

=2m

2 F例:光滑水平桌面上,開始時小球以v0作半徑為r0的圓周運動,現(xiàn)向下拉繩到半徑為r1,求v1及拉力F作的功.mv0

r0

=

mv1r1010rrv1

=

v2361212112021)2

-1]rr020mv

[(mv

=W

=

mv

-例：質(zhì)量為M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺,可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，設(shè)阻力不計。質(zhì)量為

m

的一人，站在臺的邊緣，人和臺原來都靜止，如果人沿臺邊緣跑一圈，人和臺各對地轉(zhuǎn)了多少角度？分析:動量矩守恒+相對運動以地為參照+I

w

人對地=0Iw臺對地1

MR

2w

+

mR

2w

￠=

0

w

=

-

2mw

￠2已知

w

人對臺

dt

=

2p

w

人對地M=w

人對臺+w臺對地mM37人對地:臺對地:已知

w

人對臺

dt

=

2pw

人對地=w

人對臺+w臺對地w

￠w

=

-M2mM

2mw

=w

￠-w

=

M

+

2mw

￠=

-

M

+

2mw人對臺MM

+

2mM

+

2m2pMw

dt

=q

=

w

￠dt

=

人對臺M

+

2mdt

=M

+

2mdt

=

-

4pm-

2m

wj

=

w人對臺人對臺MM

+

2mw

￠=

w人對臺38w2mM

+

2mw

=

-例:不計滑輪質(zhì)量,人與物體質(zhì)量相等,人加速上爬,求當人相對于繩速度為u時,物體上升的速度.1mm21T2Tm1

gm2

gT1

>

m1g,

T1

=

T2

,

T2

>

m2

g對系統(tǒng)ΣM=0,角動量守恒vRm1(u

-v)

-Rm2v

=0v=u/2,

u-v=u/239401mm2T1T2m1

gm

g2v=L

=RMv

-

MRu813M

1

MRv

-

MR(u

-

v)

+2

2

4R2wMgR

=

d

(13

MR

v

-

MRu

)dt

8a

=

dv

=

4

gdt

13角動量定理若m1

=M,m2

=M

/2,滑輪質(zhì)量M

/4，求人相對于繩勻速上爬時,重物的加速度.41§2.4

力矩作功轉(zhuǎn)動動能定理力矩的功

實質(zhì)力的功af2f

+a

=

pdt功率：

N

=

dW

=

M

dq

=

MwFdqr

dsdW

=

F

cosa

ds=

F

cosa

rdq=

F

sin

f

rdq

=

Mdq\

W

=

M

dq轉(zhuǎn)動動能:質(zhì)點組2

22212dt1i

ii

iDm

r

wDm

v

=2

222121i

ii

ikiiE

=Dm

v

=22kDm

r

w

\

E

=

1

Iw212221-

w=I

(w

)動能定理:合外力矩對剛體作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。dqdtdw=

I=

I

wdw422定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理qq1MdqW

=LImg

L

=

1Iw

2

-

0

fi

w

=2

22mgL

=

3g0L2

W

=

dWcosqdq

=

mgLp

/

2=

Mdq

=

mg動能定理解題:1.任意位置力矩;2.元功;3.總功;4.轉(zhuǎn)動動能增量.重作例題:qmg43剛體的重力勢能：Ep組