利用導數求函數的極值習題

利用導數求函數的極值例求下列函數的極值：1．；2．；3．分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數定義域內所有可能的極值點，然后按照函數極值的定義判斷在這些點處是否取得極值．解：1．函數定義域為R．令，得．當或時，，∴函數在和上是增函數；當時，，∴函數在（－2，2）上是減函數．∴當時，函數有極大值，當時，函數有極小值2．函數定義域為R．令，得或．當或時，，∴函數在和上是減函數；當時，，∴函數在（0，2）上是增函數．∴當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值．3．函數的定義域為R．令，得．當或時，，∴函數在和上是減函數；當時，，∴函數在（－1，1）上是增函數．∴當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎，在解題過程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件綜合運用，方可實現解題的正確性．解答本題時應注意只是函數在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數的符號相反，才能斷定函數在處取得極值．反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經常出現的失誤．復雜函數的極值例求下列函數的極值：1．；2．分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據極值的定義判定．在函數的定義域內尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數為零的點外，還必須確定函數定義域內所有不可導的點．這兩類點就是函數在定義內可能取到極值的全部“可疑點”．解：1．令，解得，但也可能是極值點．當或時，，∴函數在和上是增函數；當時，，∴函數在（0，2）上是減函數．1.下列說法正確的是A.當f′(x0)=0時，則f(x0)為f(x)的極大值B.當f′(x0)=0時，則f(x0)為f(x)的極小值C.當f′(x0)=0時，則f(x0)為f(x)的極值D.當f(x0)為函數f(x)的極值且f′(x0)存在時，則有f′(x0)=02.下列四個函數，在x=0處取得極值的函數是①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2xA.①② B.②③C.③④ D.①③3.函數y=的極大值為A.3 B.4C.2 4.函數y=x3－3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為A.0 B.1C.2 5.y=ln2x+2lnx+2的極小值為A.e－1 B.0C.－1 6.y=2x3－3x2+a的極大值為6，那么a等于A.6 B.0C.5 二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）7.函數f(x)=x3－3x2+7的極大值為___________.8.曲線y=3x5－5x3共有___________個極值.9.函數y=－x3+48x－3的極大值為___________；極小值為___________.10.函數f(x)=x－的極大值是___________，極小值是___________.11.若函數y=x3+ax2+bx+27在x=－1時有極大值，在x=3時有極小值，則a=___________,b=___________.三、解答題（本大題共3小題，每小題9分，共27分）12.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,當x=－1時，取得極大值7；當x=3時，取得極小值.求這個極小值及a、b、c的值.13.函數f(x)=x++b有極小值2，求a、b應滿足的條件.14.設y=f(x)為三次函數，且圖象關于原點對稱，當x=時，f(x)的極小值為－1，求函數的解析式.

函數的極值1.D2.B3.A4.A5.D6.A7.78.兩9.125－13110.0－11.－3－912.解：f′(x)=3x2+2ax+b.據題意，－1，3是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，由韋達定理得∴a=－3,b=－9，∴f(x)=x3－3x2－9x+c∵f(－1)=7,∴c=2，極小值f(3)=33－3×32－9×3+2=－25∴極小值為－25，a=－3,b=－9,c=2.13.解：f′(x)=由題意可知f′(x)=0有實根，即x2－a=0有實根∴a>0，∴x=或x=－，∴f′(x)=令f′(x)>0,得x<－或x>;令f′(x)<0,得－<x<且x≠0.∴f(x)在x=－時取得極大值；f(x)在x=時取得極小值2.∴++b=2