第章 建立數(shù)學模型投影

數(shù)學建模理學院計算數(shù)學系主講教師：邵紅梅本課程的性質與任務

“數(shù)學模型”是大學數(shù)學課程的重要組成部分，它是在高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程基礎上開設的重要教學環(huán)節(jié)，它將數(shù)學知識、實際問題與計算機應用有機地結合起來，旨在提高學生的綜合素質與分析問題、解決問題的能力。本課程的授課方法

“數(shù)學模型”相對于其他數(shù)學課程來說，缺乏嚴謹?shù)南到y(tǒng)性，是一門相對“離散”的課程，所以該課程的教學和學習不可能象其他課程一樣。授課方式基本上是案例式教學，內容連貫性不強。本課程的重點在掌握數(shù)學建模的基本概念、基本思想和基本方法基礎上

同時培養(yǎng)學生使用數(shù)學軟件（Matlab、Lingo等）進行計算機模擬

與數(shù)值計算的能力

重點是培養(yǎng)學生運用所學知識分析、解決實際問題的意識與能力，

以及鼓勵學生創(chuàng)新思維

激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，了解數(shù)學廣泛的應用領域

本課程的基本要求要求學生掌握數(shù)學建模的基本方法和步驟，提高其分析和解決實際問題能力

學會直接使用數(shù)學軟件如Matlab、Lindo、Lingo，進行簡單操作，不要求編復雜程序

教師只對部分模型實題內容進行簡單的講解，學生課下自己動手上機實驗來檢驗

學生在教師指導下完成有一定難度的實際模型，能力強學生可與教師合作完成或完善科研工作競賽內容題目由工程技術、管理科學中的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式

三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內分工合作完成一篇論文。評獎標準假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度。

大學階段難得的一次近似于“真刀真槍”的訓練，模擬了畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大同學的課外生活，也為優(yōu)秀學生脫穎而出創(chuàng)造了條件。競賽宗旨：

創(chuàng)新意識

團隊精神

重在參與

公平競爭大學生數(shù)學建模競賽目的：理解和掌握學習數(shù)學模型意義,內容,方法和建模步驟

內容：椅子在地面放穩(wěn);商人渡河模型;施救藥物中毒模型重點：模型及數(shù)學模型的定義;建模步驟;施救藥物中毒模型;求解常微分方程及應用難點：椅子在地面放穩(wěn)模型的建立；商人渡河問題的模型構成；施救藥物中毒模型的建立及分析第一章建立數(shù)學模型形形色色的模型原型和模型的定義

原型指人們在現(xiàn)實世界里關心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。

模型則指為了某個特定目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。

原型和模型是一對對偶體。

模型是對原型中人們需要的那一部分的特征及變化規(guī)律的一種集中反映或抽象。

特別強調

構造模型的目的性模型不是原型原封不動的復制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關的那些方面和層次。一個原型，為了不同的目的可以有許多不同的模型。原型和模型的關系形形色色的模型物質模型(形象模型)理想模型(抽象模型)模型的分類形形色色的模型直觀模型（如：玩具、照片）物理模型（如：地震模擬裝置）思維模型（如：司機操縱方向盤）符號模型（如：地圖、電路圖）數(shù)學模型（如：數(shù)學表達式、圖形）你碰量到過搭的數(shù)度學模抄型——拾“航行鞏問題懼”用x表示鹽船速，y表示墻水速，列芬出方隸程：求解柏得到x=寄20叛,y=受5甲乙?guī)脙傻叵嗑?5捷0公里，船使從甲鄉(xiāng)豐到乙順水亮航行需30小時，從乙前到甲逆水舟航行需50小時，問船的尊速度是多落少。航行胞問題弦建立蝴數(shù)學飯模型忠的基燈本步飄驟求解波得到數(shù)學畢解答（x=術20身,y=奴5）；回答原問是題（竟船速盡每小落時20公里辛）。用物理順定律（勻組速運境動的員距離轟等于魄速度提乘以凝時間舉）夫列存出數(shù)學紅式子（二放元一趕次方杠程）闖；了解問題護背景剪，明確建模微目的；用數(shù)學啊符號表示挨有關廉量（x,據(jù)y表示垃船速午和水取速）偽；作出簡化貍假設（船相速、兆水速段為常免數(shù)）符；“航行濕問題痰”的漫啟示什么尊是數(shù)學演模型如何果建立數(shù)學章模型建立斬數(shù)學件模型邊的基本鹿步驟數(shù)學她模型川的定薪義不在訪于介你紹現(xiàn)軋實對牛象的撒數(shù)學弱模型酷是什運么樣癢子，龜而是凳要討瓣論建脈立數(shù)死學模均型(M碗at芒he薪ma支ti岔ca肆l疾Mo握de潔ll扣in慕g)的全過查程。建立清數(shù)學聯(lián)模型鐮下面浴簡稱測為數(shù)學茫建模或建模。本課僑程的傭重點本書程要專憐門討但論的縫數(shù)學酷模型屈則是豆由數(shù)字、字母或其維它數(shù)學戒符號組成勁的，漫描述瘡現(xiàn)實似對象數(shù)量隆規(guī)律的數(shù)學蘭公式、圖形或算法。一個盲對于監(jiān)現(xiàn)實臥世界辱的特定哭對象，為哀了一早個特定往目的，根梨據(jù)特有沉的內糧在規(guī)蹈律，做結出一禿些必要祝的簡諷化假岡設，運橫用適當拳的數(shù)哪學工框具，得梳到的蹄一個數(shù)學誦結構。廣義壇定義狹義夸定義數(shù)學浩建模識的基英本方梅法機理覽分析測試栗分析二者粱結合根據(jù)答對客歪觀事鑰物特坡性的竿認識周，找西出反津映內部盲機理剛的數(shù)蜜量規(guī)異律--撓--扮--建立索模型驕。通過紋對系統(tǒng)校輸入停、輸黃出數(shù)自據(jù)的測鬼量和統(tǒng)統(tǒng)計乳分析致，找桶出與數(shù)據(jù)做擬合刪最好的模珍型。機理婆分析建立呆模型犁結構,測試桶分析確定歉模型緒參數(shù)葬。白箱金問題黑箱腳問題灰箱忙問題目前誤，大存部分少案例日中所軟用的參建模紡方法箱主要華是機徐理分介析法載。數(shù)學賄建模很的一亮般步賣驟模型固準備模型家假設模型法構成模型頓求解模型娘分析模型熔檢驗模型莫應用數(shù)學則建模障的一表般步少驟模型很準備了解窄問題問的實際失背景，明血確建模如目的，搜寧集必耀要的信息如現(xiàn)毛象、而數(shù)據(jù)斬等，棄盡量荷弄清尸對象扭的主要熔特征，形艇成一僵個比裕較清摩晰的碗“問題”，提由此街初步刮確定淚用哪一復類模設型。情貫況明釋才能盾方法戴對。卵在模雙型準爆備階眠段要偵深入調查批研究，虛啟心向秘實際車工作念者請朋教，襖盡量灘掌握第一赴手資佳料。數(shù)學豪建模透的一勻般步洗驟模型勒假設根據(jù)吹對象孝的特曠征和挽建模稱目的嫌，抓圾住問題息的本厘質，忽霧略次早要因嶄素，剝作出蒸必要齒的、偶合理雅的簡化煌假設。對恥于建誕模的暴成敗劉這是穗非常馳重要織和困芹難的漢一步騎。假豆設作剩得不哭合理盜或太危簡單兄，會舅導致零錯誤認的或養(yǎng)無用羊的模齡型；肉假設偏作得擦過分脆詳細孕，試薯圖把管復雜叫對象類的眾文多因飽素都愚考慮走進去享，會每使你勞很難肌或無嶺法繼膽續(xù)下瓣一步朗的工截作。案常常唐需要職在合功理與臉簡化有之間蓋作出恰當幻玉的折視衷，通搶常，追作假娛設的霞依據(jù)簽，一歪是出跡于對問凝題內很在規(guī)證律的香認識，二備是來蘇自對現(xiàn)總象、尾數(shù)據(jù)儉的分柳析，以恰及二蠅者的久綜合澤。想像農力、尖洞察社力、原判斷鑒力，以滲及經(jīng)驗，在慨模型寬假設姿中起淘著重覺要作無用。數(shù)學饞建模岡的一旗般步蜻驟模型胡構成根據(jù)文所作簡的假義設，途用數(shù)學閃的語損言、富符號描述鏡對象壞的內在叮規(guī)律，建躬立包康含常量體、變天量等的遞數(shù)學侄模型腐，如逮優(yōu)化爭模型吃、微恐分方鋤程模資型、村差分悟方程詳模型莖、圖欺的模李型等伶。這滴里除失了需佩要一符些相關剖學科蜘的專噸門知裂識外，淹還常怠常需誼要較嚴為廣滑闊的應用牧數(shù)學鳥方面波的知宰識，要揭善于裳發(fā)揮想像狗力，注古意使隊用類比僵法，分涼析對迫象與遵熟悉擔的其摔它對脖象的銹共性傭，借橫用已聞有的巨模型晚建模板時還夸應遵嶄循的光一個毅原則珠是：伙盡量皇采用簡單蕩的數(shù)群學工果具，因辮為你辯的模姻型總島是?？巴舳嗟臑跞肆思壗夂腿槭褂冒?，而擦不是偉只供困少數(shù)忙專家都欣賞錘。數(shù)學驚建模訓的一正般步橋驟模型楚求解可以笑采用裕解方避程、皇畫圖部形、點優(yōu)化筋方法騰、數(shù)后值計衰算、紹統(tǒng)計次分析漂等各謝種數(shù)溝學方券法，宜特別身是數(shù)學濤軟件和計算寶機技距術。數(shù)學屠建?？暗囊痪影悴脚隗E模型奶分析對求產(chǎn)解結全果進龍行數(shù)學叛上的潑分析，如令結果證的誤差川分析、統(tǒng)計遣分析、模柏型對牌數(shù)據(jù)舌的靈敏柴性分嬸析、對犧假設螞的強健字性分磨析等。數(shù)學利建?？嗟囊痪Π悴叫泱E模型秒檢驗把求遺解和柴分析盒結果妹翻譯回到隸實際席問題，與猴實際非的現(xiàn)擋象、收數(shù)據(jù)培比較卷檢驗旗模型能的合理米性和適用氣性。如功果結掛果與實站際不濃符，問讓題常恢常出威在模妖型假狗設上童，該修改遷、補青充假遭設，獅重新撇建模。這脂一步阻對于板模型朝是否善真的續(xù)有用分非?；P鍵湖，要領以嚴遇肅認傍真的去態(tài)度威對待鋼。有潔些模模型要墓經(jīng)過臺幾次衛(wèi)反復若，不裝斷完危善直導到檢臂驗結鈔果獲懸得某婆種程咬度上各的滿宮意。數(shù)學心建模剪的一脅般步電驟模型賊應用應用榴的方譜式與斷問題以性質淹、建予模目前的及琴最終缸的結野果有騰關，吵一般趁不屬郊于本富書討者論的佩范圍榴。數(shù)學交建模善的一劣般步燃驟數(shù)學喇建模竊的全漿過程現(xiàn)實鬧對象欄的信通息數(shù)學握模型數(shù)學提模型鑰的解尊答現(xiàn)實弊對象曬的解挖答表述求解解釋驗證現(xiàn)實匯世界數(shù)學畏世界實踐理論實踐表述求解解釋驗證根據(jù)雀建模稈目和觸信息盟將實唇際問容題“底翻譯腰”成心數(shù)學寄問題選擇皆適當洗的數(shù)饅學方尺法求阻得數(shù)獵學模眠型的旁解答將數(shù)拴學語閥言表吵述的撓解答徐“翻多譯”圓回實犁際對陳象用現(xiàn)助實對滑象的劇信息性檢驗僻得到博的解鎖答示例穩(wěn)一凱椅遲子能嫩在不怕平的委地面槐放穩(wěn)鞭嗎示例慢一椅子奮能在呢不平科的地金面放討穩(wěn)嗎三只石腳著地→放不良穩(wěn)四只擠腳同時鄰著地→放穩(wěn)像了模型任分析模型傅假設四條陽腿一謎樣長，椅迎腳與哈地面點接亦觸，四膨腳的載連線穩(wěn)呈正方甩形；地面胃高度許是連去續(xù)變影化的淺，地劈燕面可壞視為叫數(shù)學蒜上的猛連續(xù)各曲面難；地面賢是相林對平撤坦的娘，椅射子在毒任何元位置日至少鮮有三尚只腳笛同時忠著地虎。椅子寫放穩(wěn)隸的定欠義中心飛問題用數(shù)符學語劣言把騙椅子四只訂腳同慢時著訊地的條他件和示結論僅表示鞭出來揉。示例言一椅子額能在些不平偏的地橫面放鳳穩(wěn)嗎中心越問題用數(shù)許學語顫言把漫椅子四只姨腳同鏈時著圣地的條予件和醉結論欣表示尾出來幟。模型駝構成椅子腐的位霜置對角館線AC與x軸的夾角θ表示鍛了椅子嶼的位塌置。椅腳攏著地椅腳宇與地廳面的殲豎直距離孔為零睡時就是椅腳籮著地(變量θ的函衛(wèi)數(shù))。四個損距離兩個亞距離正方兆形的顏對稱獄性A、C兩腳啞與地荷面距懸離之妙和為f(θ喚)B、D兩腳絮與地辰面距敏離之陶和為g(θ騾)(f(θ礦)，g(θ林)≥承0)至少清三個逮角著叫地示例捕一椅子斯能在保不平渾的地隔面放吐穩(wěn)嗎由地牛面高膠度是連續(xù)撲變化的，f和g都是連續(xù)隊函數(shù)。由假古設3，椅脫子在灶任何進位置至少首有三南只腳挽著地，所勝以對取于任陶意的θ，f(θ勻)和g(θ武)中至少局有一舌個為義零（因若同們時為罪零即呆是所瓦證）。當θ＝0時不妨掉設g(θ燈)列=0，f(θ經(jīng))糞>0。數(shù)學僵模型已知f(θ必)和g(θ聰)是θ的非葛負連央續(xù)函司數(shù)，孩對任岡意θ,f(θ濃)·g(θ首)=區(qū)0，且g(0誘)=f(π柳/2詢)=0，g(π陷/2緊)哄>氧0，f(0館)>蒸0。證明存在θ0，使f(θ0)＝g(θ0)慶=管0。模型烤構成g(π嘗/2丈)科>喂0和f(π掠/2增)=孩0。若將背椅子旋轉90令°(π偷/2融)，對榆角線AC與BD互換稈，則桌有示例作一椅子牲能在脹不平滴的地憲面放都穩(wěn)嗎模型陪求解證明:令h(θ敢)崗=f(θ贈)－g(θ忽),則h(漲0趨)鳴>謀0和h(π刊/薄2放)<企0。由f和g的連續(xù)塞性知h也是連續(xù)拿函數(shù)。根據(jù)連續(xù)切函數(shù)庭的基旺本性搭質，必存挪在θ0（0景<鋪θ0<捷π/騙2）使h(θ0)薪=0，即f(θ0)佛=g(θ0)。因為f(θ0)g(θ0)黃=臣0所以f(θ0)圓=g(θ0)呼=0。示例井二商人訓們怎悟樣安功全過敗河示例源二費商人班們怎脹樣安潮全過脫河隨從先們密抗約，牛在河次的任伐一岸進，一議旦隨從浪的人搞數(shù)比乏商人吳多，就殺人邊越貨。但商如何指乘船勺渡河什的大信權掌副握在情商人蓋們手慌中。儀商人敲怎樣讓才能安全昨渡河呢？問題模型貍分析安全抱渡河撿問題竿可以傅視為障一個多步酸決策軟過程。決策每一柔步，傍即此盡岸駛哪到彼餅岸或憲彼岸蜻到岸挑，確定拿船上主的人票員。在保念證安全的前者提下柴（兩岸的隨蓬從數(shù)躺都比閘不上冷商人月數(shù)多快），砌在有限倉步內使全頑部人助員過都河。要求第k次渡河倦前此岸游的商橡人數(shù)搬為xk，第k次渡河用前此岸濁的隨醒從數(shù)睛為yk,模型存構成k=1退,2躲,…，xk,yk,=竿0,遠1,滿2,捏3S=｛（x季,御y）|x=轟0雀,y=用0，1，2，3；x=袋3，y＝0，1，2，3；x僻=意y=息1，2｝二維澇向量sk=狀(xk,yk)定義沖為狀琴態(tài)。允許鉗狀態(tài)他集示例姑二商人免們怎駛樣安痛全過翁河多步獄決策忘問題片的三要求素：狀態(tài)蒜，決據(jù)策，碎狀態(tài)透轉移金方程離。模型雙構成示例絕二商人閘們怎竄樣安撒全過著河第k次渡河的商催人數(shù)刮為uk，第k次渡河的隨撇從數(shù)佩為vk。二維價向量dk=輔(uk,vk)定義莊為決危策允許換決策峰集合D｛(u,v)括|盜1車≤u賢+紛v≤己2凈,u,v=逃0,糟1,摘2｝uk，vk=血0，1，2，k＝1，2，…k為奇數(shù)時此岸炭到彼爬岸,k為偶數(shù)時彼岸畝到此伐岸。狀態(tài)副轉移卷律sk+1=sk+星(俗-1情)kdk求決夏策dk∈D（k＝1,只2,匙…,n），使比狀態(tài)sk∈S按照轉移釘律，由砌初始枯狀態(tài)s1=(烘3,體3)經(jīng)有限參步n到達找狀態(tài)sn+1=（0,霞0）。多步顯決策躺模型模型鞠求解示例婚二商人撲們怎唉樣安蘭全過餃河圖解矩法方格目點表盼示狀義態(tài)s=（x,y）：16個允許皇狀態(tài)單集合S：10個允許痛決策dk是沿革方格耀線移動1格或2格。k為奇數(shù)時向左衡、下敵方移屢動（此外岸到畫彼岸洋）k為偶數(shù)時向右碑、上宰方移淚動（彼岸婦到此白岸）評注這里勒用的降規(guī)格至化的寄方法剛求解苦，也原可以窯用計算揭機求橋解，具霞有推梯廣的炮意義遇。有沒拜有第茅二種熱方案奇呢？問題兩位聚家長椒帶著詳孩子擦急匆吃匆來荒到醫(yī)煎院急水診室，訴說兩小藥時前孩子眾一次圍誤吞打下11摔片治療找哮喘墻病、稠劑量10撥0m鄙g/燭片的氨義茶堿叉片，摧已出概現(xiàn)嘔尾吐、號頭暈名等不改良癥鈴狀。按藥完品使午用說慈明書感，氨走茶堿尊的每擠次用蝴量成文人是皺10愈0~被20省0m皂g射，兒劣童是縫3~絕5哪mg斧/k擋g.過量僵服用，可使油血藥攤濃度（單位錦血液璃容積宇中的焦藥量）過高姜，10毯0μg/近ml濃度抖會出撐現(xiàn)嚴重選中毒，20調0μg/ml濃度可致余命。醫(yī)生彈需判共斷：蛇孩子熱的血攏藥濃僚度會喪不會牧達到森10香0~著20戚0蘇μg呆/m抓l；男如果宜會達異到，畜應采砍取怎病樣的娃緊急防施救循方案。示例丟三控如何標施救占藥物國中毒口服枯活性哄炭來類吸附輪藥物恐，可番使藥牙物的鍵排除狡率增始加到址原來桃（人優(yōu)體自唇身）貍的2倍.臨床佛施救傍的辦原法：體外停血液妙透析期，藥謹物排鴿除率截可增晶加到磁原來礎的6倍，淡但是群安全脅性不眨能得林到充槽分保莫證.刺激太嘔吐壇；通常醒，血兵液總貌量約順為人閱體體訊重的7狼%憂~8你%，體句重50釘~6色0冰kg的成績年人凍有40渾00洞ml左右椅的血觸液.目測熟這個守孩子館的體街重約街為成胞年人腐的一孤半，您可認吧為其誤血液薯總量疾約為20列00藍ml布.調查驕與分昨析血藥唯濃度雖=血液靜中的藥量祝/血弦液總鵝量調查獨與分危析藥物轉移文率（血賺液系貢統(tǒng)的殲吸收煤率）雪通常正比雁于x排除嫩率正被比于y胃腸道血液系統(tǒng)口服藥物體外藥量x(t)藥量y(t)血液掙系統(tǒng)負對藥雹物的疊吸收重率(胃腸司道到餐血液匪系統(tǒng)渣的轉臟移率)和排防除率塔可以乖由半衰犧期確定.半衰桶期可以嘴從藥沖品說度明書寨上查原到：氨茶令堿被勺吸收寧的半概衰期吧為5捉h，排見除的收半衰狂期為6產(chǎn)h.模型糾假設1.胃腸鍵道中藥物石向血怎液的熱轉移舅率（藥霧物下猶降率快）與x(t)成正任比，比肺例系損數(shù)λ(>尾0)，總調劑量11尸00寄m蛾g藥物懇在t=0瞬間斃進入件胃腸仙道.2.血液陳系統(tǒng)檔中藥物御的排費除率與y(t)成正幻玉比，比例爽系數(shù)μ(>蹄0)，t=0時血蠶液中葵無藥誘物.3.氨茶姨堿被徒吸收菌的半紙衰期私為5欣h，排拉除的束半衰啄期為6溝h.4.孩子晌的血怎液總應量為20映00燈m把l.記胃腸冰道中課藥量為x(t),血液犯系統(tǒng)天中藥吃量為y(t)，時騰間t以孩型子誤咐服藥上的時報刻為防起點煤（t=0）.模型建立藥物黎吸收堅的半緒衰期納為5濁h由假坊設1以及想初始擊條件略得：從而屢求得柳：胃腸財?shù)乐兴幜磕Ｐ徒⑺幬锎扰懦斓陌刖W(wǎng)衰期阿為6來h用此到條件只考屯慮血割液對陜藥物首的排鬼除注意猜到血優(yōu)液系橡統(tǒng)在漫吸收質藥物嘩的同臂時也塵通過霉代謝渴作用烏排除殃藥物寫，且瓣血液永系統(tǒng)戲對血限液的該吸收崖率也紡是胃詞腸道狂中藥抱物的食轉移咳率，蒙于是由假蘆設1和2得：血液指系統(tǒng)中藥量血液永總量20蒙00醋ml血藥答濃度20糾0μ昂g/虜ml結果宣及分縮慧析胃腸亂道藥乏量血液漸系統(tǒng)中藥量血藥田濃度10炕0μ熔g/古mly(t)=200mg嚴重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子僻到達改醫(yī)院托前已鉗嚴重仙中毒糖，如壓不及節(jié)時施妙救，勝約3h后將頁致命冊！y(2共)=饑23呈6.體5施救南方案口服再活性獲炭使膛藥物渠排除升率μ增至墻原來么的2倍.孩子堪到達累醫(yī)院(t=2后)就開衰始施辱救，幸血液尼中藥惹量記底作z(t)λ=0授.1寒38俊6墾(不變)，μ=0聰.1拉15工5×2=艇0.次23懶10代入辰后求炕得：施救戰(zhàn)方案t=5.26