中考數(shù)學(xué)三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用九年級(jí)下期復(fù)習(xí)用帶答案

/專(zhuān)題3三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用自我診斷1.某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．已知小亮站著測(cè)量.眼睛與地面的距離〔AB是1.7米.看旗桿頂部E的仰角為30°；小敏蹲著測(cè)量.眼睛與地面的距離〔CD是0.7米.看旗桿頂部E的仰角為45°．兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)〔點(diǎn)B、D、F在同一直線上．〔1求小敏到旗桿的距離DF．〔結(jié)果保留根號(hào)〔2求旗桿EF的高度．〔結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：≈1.4.≈1.7自我診斷2.如圖所示.某古代文物被探明埋于地下的A處.由于點(diǎn)A上方有一些管道.考古人員不能垂直向下挖掘.他們被允許從B處或C處挖掘.從B處挖掘時(shí).最短路線BA與地面所成的銳角是56°.從C處挖掘時(shí).最短路線CA與地面所成的銳角是30°.且BC=20m.若考古人員最終從B處挖掘.求挖掘的最短距離．〔參考數(shù)據(jù)：sin56°=0.83.tan56°≈1.48.≈1.73.結(jié)果保留整數(shù)年4月207.0廢墟下方探測(cè)到點(diǎn)C處有生命跡象.已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)A、B相距4米.探測(cè)線與地面的夾角分別為30°和60°.如圖所示.試確定生命所在點(diǎn)C的深度〔結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)2.一電線桿PQ立在山坡上.從地面的點(diǎn)A看.測(cè)得桿頂端點(diǎn)A的仰角為45°.向前走6m到達(dá)點(diǎn)B.又測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別為60°和30°.〔1求∠BPQ的度數(shù)；〔2求該電線桿PQ的高度．〔結(jié)果精確到1m3.如圖.為了開(kāi)發(fā)利用海洋資源.某勘測(cè)飛機(jī)測(cè)量一島嶼兩端A、B的距離.飛機(jī)以距海平面垂直同一高度飛行.在點(diǎn)C處測(cè)得端點(diǎn)A的俯角為60°.然后沿著平行于AB的方向水平飛行了500米.在點(diǎn)D測(cè)得端點(diǎn)B的俯角為45°.已知島嶼兩端A、B的距離541.91米.求飛機(jī)飛行的高度．〔結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：≈1.73.≈1.414．如圖.某建筑物BC頂部有釕一旗桿AB.且點(diǎn)A.B.C在同一條直線上.小紅在D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為47°.觀測(cè)旗桿底部B的仰角為42°已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1.56m.EC=21m.求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度〔結(jié)果保留小數(shù)后一位．參考數(shù)據(jù)：tan47°≈1.07.tan42°≈0.90．5．如圖.為了測(cè)出某塔CD的高度.在塔前的平地上選擇一點(diǎn)A.用測(cè)角儀測(cè)得塔頂D的仰角為30°.在A、C之間選擇一點(diǎn)B〔A、B、C三點(diǎn)在同一直線上．用測(cè)角儀測(cè)得塔頂D的仰角為75°.且AB間的距離為40m．〔1求點(diǎn)B到AD的距離；〔2求塔高CD〔結(jié)果用根號(hào)表示．6．如圖.一樓房AB后有一假山.其斜坡CD坡比為1：.山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭.測(cè)得假山坡腳C與樓房水平距離BC=6米.與亭子距離CE=20米.小麗從樓房頂測(cè)得點(diǎn)E的俯角為45°．〔1求點(diǎn)E距水平面BC的高度；〔2求樓房AB的高．〔結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)≈1.414.≈1.7327．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖．為了提高傳送過(guò)程的安全性.工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角.使其由45°改為30°．已知原傳送帶AB長(zhǎng)為4米．〔1求新傳送帶AC的長(zhǎng)度．〔2如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道.試判斷距離B點(diǎn)5米的貨物MNQP是否需要挪走.并說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：．8．如圖.小島在港口P的北偏西60°方向.距港口56海里的A處.貨船從港口P出發(fā).沿北偏東45°方向勻速駛離港口P.4小時(shí)后貨船在小島的正東方向．求貨船的航行速度．〔精確到0.1海里/時(shí).參考數(shù)據(jù)：≈1.41.≈1.73自我診斷答案考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:〔1過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M.過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N．設(shè)CN=x.分別表示出EM、AM的長(zhǎng)度.然后在Rt△AEM中.根據(jù)tan∠EAM=.代入求解即可；〔2根據(jù)〔1求得的結(jié)果.可得EF=DF+CD.代入求解．解：〔1過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M.過(guò)點(diǎn)C作CN⊥EF于點(diǎn)N.設(shè)CN=x.在Rt△ECN中.∵∠ECN=45°.∴EN=CN=x.∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1.∵BD=5.∴AM=BF=5+x.在Rt△AEM中.∵∠EAM=30°∴=.∴x﹣1=〔x+5.解得：x=4+3.即DF=〔4+3〔米；〔2由〔1得：EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10〔米．答：旗桿的高度約為10米．點(diǎn)評(píng):本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形.利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用．分析:作AD⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.線段AD即為文物在地面下的深度．設(shè)AD=x．通過(guò)解直角△ABD求得BD=；通過(guò)解直角△ACD求得CD=x.由此列出關(guān)于x的方程.通過(guò)方程求得AD的長(zhǎng)度．最后通過(guò)解直角三角形ABD來(lái)求AB的長(zhǎng)度即可．解：作AD⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.線段AD即為文物在地面下的深度．根據(jù)題意得∠CAD=30°.∠ABD=56°．設(shè)AD=x．在直角△ABD中.∵∠ABD=56°.∴BD==．在直角△ACD中.∵∠ACB=30°.∴CD=AD=x.∴x=+20．解得x≈18.97.∴AB=≈≈23．答：從B處挖掘的最短距離為23米．點(diǎn)評(píng):此題考查了解直角三角形的應(yīng)用.主要是正切、余弦概念及運(yùn)算.關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練答案考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用．C作交AB于點(diǎn)BD.在中.AD=CD.然后根據(jù)AB=AD﹣BD=4.即可得到CD的方程.解方程即可．解：如圖.過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)D．30°和60°.在中.tan60°=.=.在中.tan30°=.=.=2≈3.5米．答：生命所在點(diǎn)C的深度大約為3.5米．三角形.也考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:〔1作PQ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H.根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算；〔2設(shè)PQ=xm.根據(jù)正、余弦的定義表示出QH、BH.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．解：〔1作PQ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H.由題意得.∠QBH=30°.∠PBH=60°.∴∠BQH=60°.∠PBQ=30°.∴∠BPQ=∠BQH﹣∠PBQ=30°；〔2設(shè)PQ=xm.∵∠BPQ=∠PBQ.∴BQ=PQ=xm.∵∠QBH=30°.∴QH=BQ=x.BH=x.∵∠A=45°.∴6+x=xx.解得x=2+6≈9．答：該電線桿PQ的高度約為9m．點(diǎn)評(píng):本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題.掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.設(shè)高度為x米.在Rt△AEC中可得CE==.在Rt△BFD中有DF==x.根據(jù)AB=EF=CD+DF﹣CE列出方程.解方程可求得x的值．解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.設(shè)高度為x米∵AB∥CD.∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°.∴四邊形ABFE為矩形．∴AB=EF.AE=BF．由題意可知：AE=BF=x米.CD=500米．在Rt△AEC中.∠C=60°.∴CE==〔米．在Rt△BFD中.∠BDF=45°.∴DF==x〔米．∴AB=EF=CD+DF﹣CE.即500+x﹣x=541.91解得：x=99答：飛機(jī)行飛行的高度是99米．點(diǎn)評(píng):此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:根據(jù)題意分別在兩個(gè)直角三角形中求得AF和BF的長(zhǎng)后求差即可得到旗桿的高度.進(jìn)而求得BC的高度．解：根據(jù)題意得DE=1.56.EC=21.∠ACE=90°.∠DEC=90°．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．則∠DFC=90°∠ADF=47°.∠BDF=42°．∵四邊形DECF是矩形．∴DF=EC=21.FC=DE=1.56.在直角△DFA中.tan∠ADF=.∴AF=DF?tan47°≈21×1.07=22.47〔m．在直角△DFB中.tan∠BDF=.∴BF=DF?tan42°≈21×0.90=18.90〔m.則AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6〔m．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5〔m．答：旗桿AB的高度約是3.6m.建筑物BC的高度約是20.5米．點(diǎn)評(píng):此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.先得到等腰直角三角形.再根據(jù)三角函數(shù)求解．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:〔1過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E.然后根據(jù)AB=40m.∠A=30°.可求得點(diǎn)B到AD的距離；〔2先求出∠EBD的度數(shù).然后求出AD的長(zhǎng)度.然后根據(jù)∠A=30°即可求出CD的高度．解：〔1過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E.∵AB=40m.∠A=30°.∴BE=AB=20m.AE==20m.即點(diǎn)B到AD的距離為20m；〔2在Rt△ABE中.∵∠A=30°.∴∠ABE=60°.∵∠DBC=75°.∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°.∴DE=EB=20m.則AD=AE+EB=20+20=20〔+1〔m.在Rt△ADC中.∠A=30°.∴DC==〔10+10m．答：塔高CD為〔10+10m．點(diǎn)評(píng):本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.難度適中.解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．分析:〔1過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．在Rt△CEF中.求出CF=EF.然后根據(jù)勾股定理解答；〔2過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．在Rt△AHE中.∠HAE=45°.結(jié)合〔1中結(jié)論得到CF的值.再根據(jù)AB=AH+BH.求出AB的值．解：〔1過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．在Rt△CEF中.CE=20..∴EF2+〔EF2=202.∵EF＞0.∴EF=10．答：點(diǎn)E距水平面BC的高度為10米．〔2過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．則HE=BF.BH=EF．在Rt△AHE中.∠HAE=45°.∴AH=HE.由〔1得CF=EF=10〔米又∵BC=6米.∴HE=6+10米.∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3〔米．答：樓房AB的高約是33.3米．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．分析:〔1在構(gòu)建的直角三角形中.首先求出兩個(gè)直角三角形的公共直角邊.進(jìn)而在Rt△ACD中.求出AC的長(zhǎng)．〔2通過(guò)解直角三角形.可求出BD、CD的長(zhǎng).進(jìn)而可求出BC、PC的長(zhǎng)．然后判斷PC的值是否大于2米即可．解：〔1如圖.在Rt△ABD中.AD=ABsin45°=4×=4．在Rt△ACD中.∵∠ACD=30°∴AC=2AD=8．即新傳送帶AC的長(zhǎng)度約為8米；〔2結(jié)論：貨物MNQP不用挪走．解：在Rt△ABD中.BD=ABcos45°=4×=4．在Rt△ACD中.CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0.9．∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2.∴貨物MNQP不應(yīng)挪走．點(diǎn)評(píng):考查了坡度坡腳問(wèn)題.應(yīng)用問(wèn)題盡管題型千變?nèi)f化.但關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問(wèn)題.必要時(shí)應(yīng)添加輔助線.構(gòu)造出直角三角形．在兩個(gè)直角三角形有公共直角邊時(shí).先求出公共邊的長(zhǎng)是解答此類(lèi)題的基本思路．考點(diǎn):解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題．分析:由已知可