復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)第1頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三1§4-1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑四Δ、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第2頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三2一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列即有序的復(fù)數(shù)集稱(chēng)收斂于，若記作1.

復(fù)數(shù)列第3頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三3復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理此定理說(shuō)明:

可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性.

復(fù)數(shù)列的充要條件是收斂于a第4頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三41.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).前n項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和.2.

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法設(shè)為一復(fù)數(shù)列，第5頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三52.級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念說(shuō)明：與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:第6頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三63.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系證因定理2說(shuō)明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題第7頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三7級(jí)數(shù)收斂的必要條件（定理3）

第8頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三8非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù).如果

收斂,那末稱(chēng)級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.類(lèi)似于實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)，引入絕對(duì)收斂概念第9頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三9絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(定理4)

且有不等式成立.第10頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三10而解

是否收斂？例1數(shù)列第11頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三11例2故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解第12頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三12故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例3解第13頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三131.冪級(jí)數(shù)的概念稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

稱(chēng)為該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的部分和.級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和三.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑第14頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三14稱(chēng)為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定第15頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三15例求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).第16頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三16函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).第17頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三172.冪級(jí)數(shù)的斂散性Abel(阿貝爾)定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿(mǎn)足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿(mǎn)足第18頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三18收斂半徑的計(jì)算方法方法1（比值法）那末收斂半徑即即第19頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三19方法2（根值法）那末收斂半徑即即第20頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三20解例試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.第21頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三214.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第22頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三22定理4設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為則在收斂圓內(nèi)解析.(1)它的和函數(shù)(2)(3)第23頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年5月2日，星期三23例把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出第24頁(yè)，講稿共26頁(yè)，2023年