D-多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質

第六章一元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學重積分曲線積分曲面積分多元函數(shù)積分學及其應用1三、積分存在的條件和性質第一節(jié)一、引例二、多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質第六章21.平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xOy平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為,則若非常數(shù),則可用其面密“分,勻,合,精”解決.1)“分”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小塊.一、引例32)“勻”中任取一點3)“合”4)“精”則第k小塊的質量4解法:類似定積分解決問題的思想:2.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分,勻,合,精”51)“分”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“勻”在每個3)“合”則中任取一點小曲頂柱體64)“精”令7兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分,勻,合,精”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:8例如:物體為空間物質塊。一般說來，設有一質量非均勻分布在某一幾何形體上的物體，（這里幾何形體可以是直線段、平面或連續(xù)，都可以按照以上四個步驟來計算其質量。空間區(qū)域，一片曲面或一段曲線），密度函數(shù)9二、茶多元準數(shù)量育值函挺數(shù)積剪分的協(xié)概念定義:抽象其共性如果不論怎樣劃分，點怎樣選取，極限都存在，則稱f在上可積，且稱此極限值為10積分域被積函數(shù)被積式或積分微元即：注意毀：當積侍分域輪類型界不同秧時，看積分溪的具暫體表眼達式和名踩稱也不跪相同11(1)當為區(qū)間[a,b]時，M為x，積分為定積分

(2)當為平面域(σ)時，M為(x,y)，積分為二重積分d稱為面積微元，在直角坐標系下常寫作引例1中平面鄰薄板涌的質餐量:引例2中曲頂爽柱體澆體積:12(3)當為空間域(V)時，M為(x,y,z)，積分為三重積分稱為體積漢元素,在直慚角坐宮標系報下常蜻寫作(4)當為一條曲線弧段(C)時，積分為對弧長的曲線積分也稱身為第一棋型線帖積分,其中(C蒼)稱為積分楊路徑(5)當為一片曲面(S)時，積分為對面積的曲面積分也稱濟為第一危型面服積分13三、棗積分崗存在撤的條批件和共性質定理1：上可陜積。函數(shù)f

在上可積的必要條件是f

在上有界。定理2：若是緊的且可度量，，則f在Ⅰ、積已分存時在的灘條件14復習:定積悅分的鋪性質(設所頂列定沿積分購都存畜在)(k為常劑數(shù))Ⅱ、積趴分的形性質156.若在[a,b]上則推論1.若在[a,b]上則推論2.7.設則8.積分勇中值辭定理則至眾少存確在一倡點使16積分侍的性爽質設是緊的、可度量且被積函數(shù)可積1.線性趕性質(2)(1)2.對積競分域純的可吃加性173.積分儀不等肥式184.中值吩定理為一有界連通閉集，則珠至少忙存在一點(連通緊集)19例1.比較斷下列鳥積分那的大腔小:其中解:積分睜域D的邊論界為臭圓周它在臺與x軸的睬交點(1江,0而)處與蘿直線從而而域D位于爆直線天的上世方,故在D上20例2.估計借下列廈積分鵲之值解:D的面飼積為由于積分速性質5即:保1.秒96I利2D21被積疊函數(shù)相同,且非負,思考復與練翠習解:由它勒們的盞積分殖域范物圍可并知1.比較津下列紙積分搬值的勁大小匆關系:222.設D是第惰二象擔限的遭一個析有界沒閉域,且0暢<y<1勒,則的大奧小順疏序為(躍)提示:因0窩<y<1