一元二次不等式及其解法(一)

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法(一)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系.2.掌握圖象法解一元二次不等式.3.培養(yǎng)數(shù)形結合、分類討論思想方法解一元二次不等式的能力.學習目標欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾知識梳理自主學習知識點一一元二次不等式的概念一元二次不等式定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式表達式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)解集ax2＋bx＋c＞0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c＜0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為負數(shù)的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于或等于0的自變量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于或等于0的自變量x的取值集合解析①②是，符合定義；③不是，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不符合定義；④不是，當a＝0時，它是一元一次不等式，當a≠0時，它含有兩個變量x，y；⑤不是，當a＝0時，不符合一元二次不等式的定義.思考下列不等式是一元二次不等式的有________.①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a為常數(shù))；⑤ax2＋bx＋c＞0.解析答案①②知識點二一元二次不等式的解法利用“三個二次”的關系我們可以解一元二次不等式.解一元二次不等式的一般步驟：(1)將不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0；(2)計算相應的判別式；(3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.知識點三“三個二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)

的關系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不相等的實根x1，x2，且x1＜x2有兩個相等的實數(shù)根x1，x2沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??思考二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集為R，則a的取值范圍是____________.返回(－∞，－1)答案題型探究重點突破題型一一元二次不等式的解法例1

解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；解析答案

解析答案(3)－2x2＋3x－2＜0；解原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.

解析答案反思與感悟解原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實根，又二次函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為?.解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2)計算對應方程的判別式；(3)求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集.反思與感悟跟蹤訓練1

解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；解析答案解方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.結合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x＜－1或x＞6}.(2)(2－x)(x＋3)＜0；解析答案解原不等式可化為(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的兩根為x1＝2，x2＝－3.結合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x＜－3或x＞2}.(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).解析答案

題型二解含參數(shù)的一元二次不等式例2

解關于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R).解析答案反思與感悟解原不等式可化為：(ax＋1)(x－1)＜0，當a＝0時，x＜1；當a＝－1時，x≠1；解析答案反思與感悟綜上，當a＝0時，原不等式的解集是{x|x＜1}；反思與感悟當a＝－1時，原不等式的解集是{x|x≠1}；含參數(shù)不等式的解題步驟(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)判斷相應的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根據(jù)根的情況寫出相應的解集(若方程有兩個相異實根，為了寫出解集還要比較兩個根的大小).另外，當二次項含有參數(shù)時，應先討論二次項系數(shù)是否為0，這決定不等式是否為二次不等式.反思與感悟解析答案跟蹤訓練2

解關于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.解原不等式可化為(x－a)(x－a2)＞0討論a與a2的大小(1)當a2＞a即a＞1或a＜0時，x＞a2或x＜a.(2)當a2＝a即a＝0或a＝1時，x≠a.解析答案(3)當a2＜a即0＜a＜1時，x＞a或x＜a2.綜上，當a＜0或a＞1時，解集為{x|x＞a2或x＜a}，當a＝0或1時，解集為{x|x≠a}，當0＜a＜1時，解集為{x|x＞a或x＜a2}.題型三“三個二次”關系的應用例3

已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.解析答案反思與感悟解方法一由題意可得a＜0，且α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，∵a＜0,0＜α＜β，∴由②得c＜0，解析答案反思與感悟方法二由題意知a＜0，解析答案反思與感悟將方法一中的①②代入，得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，即(αx－1)(βx－1)＞0.反思與感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置確定一元二次不等式的解集.當兩個“有關聯(lián)”的不等式同時出現(xiàn)時，應注意根與系數(shù)的關系的應用.反思與感悟解析答案跟蹤訓練3

已知關于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求關于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.解∵x2＋ax＋b＜0的解集為{x|1＜x＜2}，∴1,2是方程x2＋ax＋b＝0的兩根.代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.解析答案不注意一元二次不等式二次項系數(shù)的正負致誤易錯點例4

若一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x＜－3或x＞5}，則ax2－bx＋c＜0的解集為____________.誤區(qū)警示返回錯解由根與系數(shù)的關系得：代入得ax2＋2ax－15a＜0，

①∴x2＋2x－15＜0，

②∴(x－3)(x＋5)＜0，∴－5＜x＜3.答案{x|－5＜x＜3}錯因分析

①式化為②式，忽略了二次項系數(shù)a的符號，并非同解變形.解析答案誤區(qū)警示正解由根與系數(shù)的關系得：誤區(qū)警示∴ax2＋2ax－15a＜0，又由解集的形式知a＜0，∴上式化為x2＋2x－15＞0，∴(x－3)(x＋5)＞0，∴x＞3或x＜－5.答案(－∞，－5)∪(3，＋∞)誤區(qū)警示1.注意隱含信息的提取有些信息是隱含在題設的條件中的，適當挖掘題設信息可較好地完成對解答題目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的對應關系得出“a＜0”這一關鍵信息，從而避免不必要的討論.2.注意“三個二次”的關系二次函數(shù)的零點，就是相應一元二次方程的根，也是相應一元二次不等式解集的分界點.返回當堂檢測123451.下面所給關于x的幾個不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定為一元二次不等式的有(

)A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析②④一定是一元二次不等式.B解析答案A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－612345B解析答案123453.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，則k的取值范圍是____________.k≤2或k≥4解析x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.解析答案12345解析答案4.不等式x2＋3x－4＜0的解集為________.解析易得方程x2＋3x－4＝0的兩根為－4,1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集為(－4,1).(－4,1)12345解析答案5.已知關于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)當m＝0時，原不等式化為－x－1≥0，∴x≤