復變函數(shù)全書知識點

復變函數(shù)全書知識點第1頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三復數(shù)的誕生先從二次方程談起:

公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當時無解，當時有解．二千多年沒有進展：尋找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):＂怪才＂，精通數(shù)學，醫(yī)學，語言學，文學，占星學．他發(fā)現(xiàn)沒有根，形式地表為第2頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

L.Euler(1707-1783):瑞典數(shù)學家,13歲入大學，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國1768-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示．K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復數(shù)為一對有序實數(shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的懷疑，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．R.Descartes(笛卡兒):1596-1650,法國哲學家，坐標幾何的創(chuàng)始人．1637他稱一個負數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).

1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復變函數(shù)論，并應用到水利學，地圖制圖學

．

第3頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三復變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.1復數(shù)及其運算定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數(shù)。1.復數(shù)的概念第4頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

一般,任意兩個復數(shù)不能比較大小。復數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復數(shù)的模判斷復數(shù)相等第5頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算第6頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復數(shù)的運算滿足交換律、結合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，第7頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三共軛復數(shù)的性質3.共軛復數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復數(shù).(conjugate)第8頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第9頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第10頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.點的表示點的表示：

數(shù)z與點z同義.§1.2復數(shù)的幾何表示第11頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)第12頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時，輻角不確定。

計算argz(z≠0)

的公式第13頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三當z落于一,四象限時，不變。

當z落于第二象限時，加。

當z落于第三象限時，減。

第14頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法第15頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此第16頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2)顯然,r=|z|=1,又因此練習：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：第17頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三很多平面圖形能用復數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例1將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式的方程來表示.

[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)第18頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知直線段的中點為例2求下列方程所表示的曲線:第19頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解：設z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。第20頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三Oxy-22iy=-x設z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3第21頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三注:這里A是復數(shù),B是實數(shù).第22頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復數(shù).用直線將復平面內任一點z與N相連,必與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,

而N點本身可代表無窮遠點,記作.

這樣的球面稱作復球面.4.復球面與無窮遠點第23頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三擴充復數(shù)域---引進一個“新”的數(shù)∞:擴充復平面---引進一個“理想點”:無窮遠點

∞.約定:

注:若無特殊說明,平面均指有限復平面.第24頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理1

兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復數(shù)的乘冪與方根

第25頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三幾何意義將復數(shù)z1按逆時針方向旋轉一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個復數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2第26頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例：設則：即k=m+n+1則有第27頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2

兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）第28頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第29頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第30頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三設z=reiθ，由復數(shù)的乘法定理和數(shù)學歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復數(shù)的乘冪定義n個相同的復數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。第31頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三問題給定復數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復數(shù)ω。3.復數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，第32頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo第33頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第34頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.區(qū)域的概念鄰域復平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設G是一平面上點集內點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內的所有點都屬于G，則稱z0是G的內點。§1.4復平面上的點集第35頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三開集若G內的每一點都是內點，則稱G是開集。連通是指區(qū)域設D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；內點外點D的所有邊界點組成D的邊界。P第36頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域,第37頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構成一條分段光滑曲線。第39頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三重點設連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線第40頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內部外部邊界定義

復平面上的一個區(qū)域B，如果B內的任何簡單閉曲線的內部總在B內，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。第41頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域第42頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.復變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復變函數(shù)第43頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第44頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1例2第45頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合

2.映射的概念——復變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第46頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復變函數(shù)中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）第47頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解第48頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第49頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第50頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

3.反函數(shù)或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第51頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例第52頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中§1.6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性第53頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復數(shù).

2.運算性質復變函數(shù)極限與其實部和虛部極限的關系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.第54頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2

以上定理用極限定義證!第55頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1例2例3第56頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3第57頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續(xù)。證明xy(z)ozz第58頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)。有界性：第59頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第二章解析函數(shù)基礎§2.1復變函數(shù)的導數(shù)第60頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(1)導數(shù)定義定義設函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內可導。第61頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第62頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(2)求導公式與法則①常數(shù)的導數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對于復平面上任意一點z0，有----實函數(shù)中求導法則的推廣第63頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三③設函數(shù)f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第64頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三④復合函數(shù)的導數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。第65頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導？例2解解第66頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導。證明第67頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(1)復變函數(shù)在一點處可導，要比實函數(shù)在一點處可導要求高得多，也復雜得多，這是因為Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學中要舉出一個處處連續(xù)，但處處不可導的例題是很困難的,

但在復變函數(shù)中，卻輕而易舉。思考題第68頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解：所以在復平面上除原點外處處不可導。第69頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(3)可導與連續(xù)若w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續(xù).?第70頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三可微定義:若函數(shù)w=f(z)在點z的改變量可寫成(4)可導與可微第71頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三可導可微易知A(z)=f'(z)當f(z)=z時,dz=?z.所以常記

dw=df(z)=f'(z)dz.第72頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三一.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內每一點都解析，則稱

f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。

(1)w=f(z)在D內解析在D內可導。

(2)函數(shù)f(z)在z0點可導，未必在z0解析?！?.2解析函數(shù)第73頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個復平面上處處不解析(見例4)；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析。定理1設w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內的解析函數(shù)。第74頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2設w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復合函數(shù)w=f[g(z)]在D內處處解析。第75頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

如果復變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數(shù)w=f(z)在D內解析。我們將從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數(shù)w=f(z)的可導性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導方法。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？第76頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三二.解析函數(shù)的充要條件第77頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第78頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第79頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).第80頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三C-R方程等價于證明:

第81頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有第82頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）?！吆瘮?shù)w=f(z)點z可導，即則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第83頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy第84頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：第85頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第86頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導的.第87頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗證C-R條件.iii)求導數(shù)：

前面我們常把復變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復變函數(shù)的導數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關于x,y求導簡單拼湊成的.推論：第88頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三三.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則第89頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第90頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三僅在點z=0處滿足C-R條件，故解(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第91頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導數(shù)為第92頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3證明第93頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點處，i)uy、

vy

均不為零時，由隱函數(shù)求導法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.第94頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三ii)uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們仍互相正交。例如兩族分別以直線y=x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。第95頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10a=2,b=-1,c=-1,d=2練習:第96頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內解析且導數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內解析。第97頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定義定理§2.3調和函數(shù)第98頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內解析，則第99頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義第100頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三上面定理說明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過來的問題：第101頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三如第102頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第103頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理第104頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，第105頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

調和函數(shù)在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用。本節(jié)介紹了調和函數(shù)與解析函數(shù)的關系。第106頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解曲線積分法第107頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三故

第108頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三又解湊全微分法第109頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三又解偏積分法第110頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三又解不定積分法第111頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三§2.4初等函數(shù)本節(jié)將實變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質，并說明它的解析性。第112頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三一.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質：定義第113頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第114頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三這個性質是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。第115頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

例1例2例3第116頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三二.對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義第117頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三故第118頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三特別

第119頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(2)對數(shù)函數(shù)的性質第120頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例4第121頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例5解下列方程：[解]第122頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三三.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值第123頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三—q支第124頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(2)當b=1/n(n正整數(shù))時，乘冪ab與a

的

n次根意義一致。

(1)當b=n(正整數(shù))時，乘冪ab與a的n次冪意義一致。第125頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解例6第126頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三冪函數(shù)zb定義①當b=n(正整數(shù))w=zn在整個復平面上是單值解析函數(shù)第127頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當b為無理數(shù)或復數(shù)時，無窮多值。第128頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三四.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復變數(shù)情形定義第129頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三正弦與余弦函數(shù)的性質第130頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三思考題第131頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第132頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義第133頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第134頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質第135頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第136頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三五.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見P55重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、乘冪．第137頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第三章復變函數(shù)的積分第138頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.有向曲線§3.1復變函數(shù)積分的概念第139頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三CA(起點)B(終點)CC第140頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

2.積分的定義定義DBxyo第141頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

第142頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三3.積分存在的條件及其計算法定理

第143頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三證明第144頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

第145頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由曲線積分的計算法得第146頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解又解Aoxy第147頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三oxy例2解第148頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3解oxyrC第149頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第150頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

4.積分性質由積分定義得：第151頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例題4

證明：

例如練習第152頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三§3.2柯西積分定理實變函數(shù)的線積分:

若D為單連通區(qū)域,P(x,y),Q(x,y)在D具有一階連續(xù)偏導數(shù),則

再由Green公式知道

第153頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三問題:復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導數(shù)且ux=vy,uy=-vx.第154頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三—Cauchy定理第155頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理第156頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。BBC推論設f(z)在單連通區(qū)域B內解析，則對任意兩點z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關。Cz1z0C1C2C1C2z0z1第157頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內處處解析,C屬于D，與路徑無關僅與起點和終點有關。其中C：。固定z0,z1=z在D內變化,于是在D內確定了關于z的單值函數(shù):變上限積分。第158頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內解析,則F(z)在D內也是解析的，且證明：第159頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三因f(z)在D內解析，故f(z)在D內連續(xù)第160頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定義若函數(shù)(z)

在區(qū)域B內的導數(shù)等于f(z)

，即

,稱(z)為f(z)在B內的原函數(shù).上面定理表明是f(z)的一個原函數(shù)。設H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。(見第二章§2例3)第161頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2.積分計算公式定義設F(z)是f(z)的一個原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設f(z)在單連通區(qū)域B內解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則此公式類似于微積分學中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強第162頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1計算下列積分：解1)

第163頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解2)第164頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3計算下列積分：第165頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三這里D為復連通域。第166頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三小結求積分的方法第167頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2

假設C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內部,設函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過的f(z)的不解析點.—閉路變形原理第168頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三推論（復合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

第169頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）第170頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第171頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例解C1C21xyo第172頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三分析DCz0C1§3.3Cauchy積分公式第173頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三DCz0C1∴猜想積分第174頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理(Cauchy積分公式)證明第175頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第176頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

第177頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.第178頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解第179頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例2解CC1C21xyo第180頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3解第181頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三形式上，以下將對這些公式的正確性加以證明?！?.4解析函數(shù)的高階導數(shù)第182頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理證明用數(shù)學歸納法和導數(shù)定義。第183頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三令為I第184頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第185頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三依次類推，用數(shù)學歸納法可得第186頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三一個解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)。第187頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解第188頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第189頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第190頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第四章級數(shù)§1復數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)第191頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

1.復數(shù)列的收斂與發(fā)散定義又設復常數(shù)：定理1證明第192頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第193頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2.復數(shù)項級數(shù)級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設復數(shù)列：

第194頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解定理2證明第195頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由定理2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。性質定理3證明第196頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4第197頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解例2第198頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例3解練習：第199頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三3.冪級數(shù)定義設復變函數(shù)列：---稱為復變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和

第200頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三若級數(shù)(1)在D內處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)第201頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）第202頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三證明第203頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(2)用反證法，由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散。第204頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，逐漸變大，在c內部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍色，紅、藍色不會交錯。故播放第205頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第206頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(i)冪級數(shù)在收斂圓內部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.第207頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理2第208頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三推論3(根值法)推論1(比值法)第209頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解

綜上第210頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。第211頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，第212頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的.第213頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三5.冪級數(shù)的運算和性質

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算第214頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三---冪級數(shù)的代換(復合)運算冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換第215頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三解代換展開還原第216頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

分析運算

定理4---冪級數(shù)的逐項求導運算---冪級數(shù)的逐項積分運算第217頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由冪級數(shù)的性質知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示?！?泰勒級數(shù)第218頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三定理（泰勒展開定理）第219頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內解析,而|z-z0|=r為D內以z0為中心的任何一個圓周,把它記作K,它與它的內部全含于D,又設z為K內任一點.z0Kzrz第220頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三按柯西積分公式,有且z0Kzrz第221頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由解析函數(shù)高階導數(shù)公式,上式可寫成圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內.所以,如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內成立.z0Kzrz第222頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

第223頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三2.展開式的唯一性結論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):第224頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：第225頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三例1解第226頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三第227頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解第228頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三(2)由冪級數(shù)逐項求導性質得：第229頁，講稿共258頁，2023年5月2日，星期三

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負