高二文科數學寒假講義第1講復數教師版

第1講復數

（2^]知識點睛

1.復數的概念：設4、都是實數，形如4+歷的數叫做復數，

復數通常用小寫字母z表示，即2=〃+〃（a,6eR）,其中。叫做復數z的實部，。叫做復數z的虛

部，i稱作虛數單位.

2.復數的分類：

當萬=0時，復數就成為實數；

除了實數以外的數，即當bwO時，。+加叫做虛數.

而當。#0且a=0時，慶叫做純虛數.

復數z=a+6i可分成：實數（〃=0）和虛數（6*0）.

復數集：全體復數所構成的集合，通常用大寫字母C表示，C={z\z=a+bi,aGR,bGR}.

實數集R是復數集C的真子集，即RUC,復數集是實數集的擴充.

〈教師備案〉N:Naturalnumber;Z:Zahlen（德語整數）；Q:Quotient（英語:商）；R:Realnumber

C:Complexnumber.

3.復數的凡何意義：

復數z=a+Ai被一個有序實數對（a,b）所惟一確定，而每一個有序實數對3,力，在平面直角坐標

系中又惟一確定一點Z（a,?（或一個向量OZ）.即每一個復數，對應著平面直角坐標系中每一個

點（或每一個向量），也對應著惟一的一個有序實數對.這樣我們通過有序實數對，可以建立復數

z=a+4和點Z（a,b）（或向量OZ）之間的---對應關系.點Z（a,勿或向量0Z是復數z的幾何表

示.

復數z=a+歷<——>有序實數對（。，力<——>點、Z（a,b）.

復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.

在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.x軸的單位是1,y軸的單位是i.實軸與虛軸的交點

叫做原點，原點（0,0）對應復數0.

^OZ=a+bi（a,beR）,則向量OZ的長度叫做復數a+4的模（或絕對值），記作|a+Ai|,

\a+bi\=>]a2+b2.

共輾復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數.則這兩個復數叫做互為共軌復數.復數

z的共軌復數用z表示.即當z=a+歷時，則Z="6i.

在復平面內，表示兩個共朝復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等.

〈教師備案〉(1)實軸上的點都表示實數：除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數，即任意一個實數a與

x軸上的點(a,0)——對應，任意一個純虛數萬(。*0)與y軸上除原點外的點(0,b)——

對應.

(2)如果。=0,則|a+加|=|a|.這表明復數的模是實數的絕對值的推廣.

(3)當復數z=a+〃的虛部6=0時，有z=W,也就是說，任一實數的共輒復數仍是它本身.

經典精講

考點：復數的概念與分類

【例1】已知復數z=(/-2(z-3)+(a-3)i,aeR

⑴a取何值時，z是虛數？純虛數？

⑵z的實部與虛部相等時，求a的值.

【解析】⑴當a/3時，z為虛數；當a=T時，z為純虛數；

(2)由題意知：a2-2a-3=a-3,解得：a=0或a=3.

尖子班學案1

【拓1】已知％=x+y-l+(x2-孫一2y)i,z2=2x-y-^y-xy)\,其中x,yeR,問當x,y取何值

時，(l)z,,z?是純虛數；⑵Z1,z?是實數.

1

x=-

x+y-l=0”m3

【解析】⑴Z1,z?是純虛數，所以首先滿足2'=。，解得

2，

y--

3

代入驗證，知Z1,Z?的虛部都不為0,所以當X=g7

y=§時，Z],z?是純虛數,

x=\

-2)，=。，解得x=0..

(2)2,,z?是實數，則有八或《1,

y-xy=0y=0y=-

3

所以，當x=0,y=0或x=l,y=g時Z],z2是實數.

【例2】如果實數x,y滿足(x+y)+頊=-ll+10i,求x,y的值.

x+y=-llJx=-1戈[x=-10

【解析】由兩個復數相等的定義知:孫=10n[y=-l0-=-1

考點：復數的幾何意義

尖子班學案2

【鋪1]⑴如果3<a<5,復數z=(a2_8a+15)+(a2-5a-14)i在復平面上的對應點Z在第一象限.

(2)設4=l+i,Z2=-l+i,復數4和Z2在復平面內對應點分別為A、B,O為原點，則八403

的面積為.

【解析】⑴三

V3<a<5,二復數z的實部“2—8a+l5<0,虛部/一5。一14c0,

二z表示的點在復平面的第三象限.

2

(2)1；

在復平面內，由復數與點的對應關系知NAO3=90。，SMOS=|XV2XV2=1.

［例3］⑴已知機eR,復數z=幽二2+(〃/+-3)i,當機為何值時，

①z對應的點位于復平面第二象限；②z對應的點在直線x+y+3=0上.

(2)設z="+Ai,a,beR,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

?0<a<l,0<^<1；?a>0,b<0,a2+b2<l；③回+網<1.

⑶設z=4"'l+(2"，+l)i,meR,若z對應的點在直線x—3y=0上.求團，三與目.

【解析】(1)①當z對應的點位于復平面第二象限時，

2),0

則有，m-1,解得帆<—3或1<加<2.

nr+2m-3>0

②當z對應的點在直線x+y+3=0上時，

則有^2+^2+2/7?-3)+3=0,即+'"—=0,解得帆=0或加=-1±石.

m-1m-\

⑵①以(0,0),(1,0),(1,i),(0,i)為頂點的四邊形的內部；

②單位圓在第四象限內的部分，不含邊界

③以(1,0),(0,i),(-1,0),(0,-i)為頂點的四邊形的內部，

(3)由題意得：4m-l-3(2m+l)=0,

即4"'-3-2'"—4=0,也就是(2"'-4)(2.+1)=0,解得帆=2.

于是z=15+5i,z=15-5i,|z|=>/152+52=5710.

.1.2復數的運算

Elm

0T~|知識點睛

1.復數的加法與減法

⑴加法：設Z|=a+6i,z2=c+di,a,b,c,deR,定義4+z?=(a+c)+S+〃)i.

復數的加法運算滿足交換律、結合律：

即對任意復數Z］、z2Z3,WZ|+Z2=z2+Z,,(z,+z2)+z3=zt+(z2+z3).

⑵相反數：已知復數a+bi,存在惟一的復數-a-bi,使(a+6i)+(-a-歷)=0,叫做a+bi的

相反數.-a-bi=-(a+bi).在復平面內，互為相反數的兩個復數關于原點對稱.

⑶復數的減法法則：(a+6i)-(c+&)=("+bi)+(-c-d)=(a-c)+(b-d)i,

⑷復數加法的幾何意義：復數加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則.

2.復數的乘法

設Z1=a+6i,z2=c+di,a、b、c、dwR,定義斗？=(ac-bd)+(ad+bc)i.

復數的乘法運算漓足交換律、結合律和乘法對加法的分配律，

即對任意復數Z］、z2>z3,有Z1,Z2=Z2?Z］,(Zj-z2)-z3=zl-(z2-z3),z,-(z2+z3)=z,-z2+z,-z3.

一個復數與其共規(guī)及數的乘積等于這個復數(或其共枕復數)展的平方.

復數的乘方也就是相同復數的乘積.實數范圍內正整數指數幕的運算律在復數范圍內仍然成立，即

對復數Z、Z2和自然數機、",有z"=z”+",(zmr=zffln,(z-"W.

在復數的乘方運算中，要記住以下結果:

.

123r嚴+2=_]14〃+34n

i=i,i=-l,i3,i=l.

〈教師備案〉記＜y=-L2

2

包

33

2--04-694-1=0,(D-CD—1,co+a)=—\,a?-co

與。相關的題目在春季講義中會有

3.復數的除法

的倒數，記作1.

已知z=a+Oi,如果存在一個復數z',使z.z'=l,則z'叫做Z

1_ah._z

za2+b2a2+b21|z|2

兩個復數除法的運算法則如下：

,/八a+b\/c-di(ac+bd)+(be-ad)\ac+bdbe-ad.

(。+4)+(c+$)=-----={a+b\y—~-=1-------------------1

c+clic+dc2+d2---c2+d2c2+d2

經典精講

考點：復數運算的幾何意義應用

【例4】⑴在復平面內，。是原點，OA,0C,AB表示的復數分別為-2+i,3+2i,l+5i,那么8c

表示的復數為.

(2)畫出關于z的方程|z-3|=|z+i|在復平面上所表示的圖形.

【解析】⑴4-4i;

8C=OC-OB=OC-(OA+AB)=(3+2i)-(-2+i+l+5i)=4-4i.

(2)該方程代表到點A(3,0),5(0,-1)的距離相等的點的軌跡，

也就是到線段A8的端點的距離相等的點的軌跡，

所以z表示復平面上一條直線

考點：復數的運算

【例5】⑴若復數4=4+29i,z2=6+9i,其中i是虛數單位，則復數億-%?》的實部為

(2)i是虛數單位，—=()

2-i

A.l+2iB.-l-2iC.l-2iD.-l+2i

⑶設Z=l+i(i是虛數單位)，則2+z2=()

z

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【解析】(1)-20:

(4一Zz)i=[(4+29i)-(6+9i)]i=(-2+20i)i=-20-2i.

(2)D：

5i5i(2+i)>f

2-i(2-i)(2+i)

(3)A;

-+z2=—+(l+i)2=l-i+2i=l+i.

zl+i

4

【例6】方程1+奴+/>=0的一個根為1+i,求實數0,人的值.

【解析】法一：

：l+i為方程的根，.,.將1+i代入方程,化簡整理得(a+b)+(a+2)i=0,

而a,A為實數，因此a+%=a+2=0=>a=—2,6=2.

法二：

可以通過求根公式計算得到a,h的值，即=1+i,

2

故，=l=a=—2,沙二4=1=6=2.

22

法三：

,對任意復數z=/w+〃i,有z=(/n—ni)2—m2—n2—2mni=n^—n2+2mn\=(/?i+ni)"—z2

若復數z是實系數一元二次方程的根，則其共朝復數[也是該方程的根，

已知實系數方程的一個根為1+i,則方程的另一根為l-i,

由根與系數的關系可知a=-(l+i+l-i)=-2,Z?=(l+i).(l-i)=2.

尖子班學案3

【拓1】若方程X2+〃式+2行=-1-加有實根，求出實數，〃的值，并求出此實根.

【解析】方程有實根，則xeR,利用復數相等的定義有：

\^>x2-2x2=-l=>x=±l：

[2x=—m

而帆=—2x,

所以當機=2時，x=—1;當m=—2時，x=1.

目標班學案1

【拓2】關于x的方程/+(2。-1次-出+1=0有實根，求實數a的取值范圍.

誤解：?方程有實根，A=(2a-i)2-4(1-ai)=4a2-50.解得a》叵或.aW-避■.

【解析】

22

分析：判別式只能用來判定實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(?w0)根的情況，而該方程中

為一i與l-ai并非實數.

正解：設與是其實根，代入原方程變形為/2+2OT0+1-(a+/)i=0,由復數相等的定義，得

fx2+2ax+1=0…s

\n0n°,解得a=±l.

(尤o+a=0

【例7】己知復數z=(-"3i)(Ji)-(l+3i),(O=Z+A^〃GR,當qW&時，求a的取值范圍.

iz

(2+4i)—(l+3i)_l+i

【解析】

.八.、.1/...co1+(?！猯)i2—a

?.=(1—1)+6Z1=1+(tZ—1)1,—=---------=------F

z1-i2

由亞，得/自)

化簡整理，2a_2W0,解得1-GWaWl+G,

即a的取值范圍為［1-G，1+百］.

目標班學案2

【拓2】如果復數2="與，0wR的實部與虛部互為相反數，求目與3z1+z+W的值.

l+2i

‘備”j?二12-b[2-bi]-2i2-2bZ?+4.-?中在口卜擊立n二衣"日土人口n2—2bZ?+4

【解析】-----=-----x-----=-------------1,又實部與虛部互為相反數，即-----=----

l+2il+2il-2i5555

2?-2

解得6=—,故z=—(1—i),z=—(1+i),

333

|z|=—y/\+1=—y/2；(也可以利用Iz|=yfzz),

222284

3zz+z+z=3----(1-i)(l+i)+—(1-i)+—(1+i)=-+—=4.

333333

判斷正誤：互為共朝復數的兩個復數之差是純虛數.

【解析】z=a+/?i,z=a-bi,則z-5=2bi,

當5=0時，z-z=0;當〃/0時，z-5為純虛數，

所以兩個共聊?復數之差為零或純虛數.

【點評】容易直覺上覺得剩下的是虛部，所以是純虛數，忽略了虛部為零.

Qi)實戰(zhàn)演練

【演練1】如果復數z=2a+(a+3)i,問實數a取何值時：⑴z為虛數？⑵z為純虛數?

【解析】⑴當aw—3時，z為虛數：

(2)當4=0時，z為純虛數.

【演練2】已知復數％=2+i,z2=l-i,則z=z「Z2在復平面上對應的點位于()

A.第一象限B.鐳二象限C.第三象限D.第四象限

【解析】D

z=z,-z2=3-i,故復數z表示的點在第四象限，選D.

【演練3】復平面內三點A,3,C,A點對應的復數為2+i,向量BA對應的復數為l+2i,向量BC對

應的復數為3-i,求點C對應的復數.

【解析】對應的復數為l+2i,BC對應的復數為3-i,

.?.4-對應的復數為(3-。一(1+2。=2-31.

又OC=OA+AC,

，C點對應的復數為(2+i)+(2-3i)=4-2i.

(2x-l)+i=y-(3-y)i

【演練4】已知關于x,y的方程組有實數解，求實數a,6的值.

(2x+ay)-(4x-y+8)i=9一8i

_5

2x-\=y

【解析】由題意得解得

l=-(3-y)

j=4

將上述結果代入第二個等式中得5+4a-(10-4+b)i=9-8i,

6

5+4〃=9解得］=；

由復數相等得:

10—4+b=8

【演練5】已知f+h-i=O有一個根是i,求另一個根及％的值.

【解析】因i是其根，代入原方程為i2+^_i=（）,由此得左=l—i,

設尢。是另一根，則由根與系數的關系得與i=-i,從而得x0=-1.

【演練6】已知馬=1一3"z2=6-8i,,求z的值.

zZ|z2

1113134.

［解析】法一:由