湖南省長(zhǎng)沙市中南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市中南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有（

）

A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：D

解析：四個(gè)點(diǎn)分兩類：（1）三個(gè)與一個(gè)，有；（2）平均分二個(gè)與二個(gè)，有

共計(jì)有2.若雙曲線的離心率是，則實(shí)數(shù)（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：雙曲線，，，∴，，∴．故選．3.下列說法中正確的有（

）A．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)B．一組數(shù)據(jù)不可能有兩個(gè)眾數(shù)C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大參考答案：D一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之間，所以A錯(cuò)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，所以可以不止一個(gè)，B錯(cuò)；若一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則其中中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均值，所以不一定是這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)，C錯(cuò)；一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，D對(duì)．4.設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且則的值為 （

） A．2 B． C．4 D．8參考答案：C5.設(shè)P:兩條不重合直線斜率相等,q:兩條直線平行.那么(

)A.P是q的充分但不必要條件B.p是q的必要但不充分條件C.p是q的充分且必要條件D.p是q的既不充分也不必要條件參考答案：A6.在一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體的表面涂上顏色，將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，全部放入不透明的口袋中，攪拌均勻后，從中任取一個(gè)，取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【分析】由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．【解答】解：在27個(gè)小正方體中，恰好有三個(gè)面都涂色有顏色的共有8個(gè)，恰好有兩個(gè)都涂有顏色的共12個(gè)，恰好有一個(gè)面都涂有顏色的共6個(gè)，表面沒涂顏色的1個(gè)．由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從27個(gè)小正方體中選一個(gè)正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小正方體表面僅有一個(gè)面涂有顏色，有6種結(jié)果，所以所求概率為=．故選C．7.已知在矩形中，，在其中任取一點(diǎn)，滿足的概率為（

）A．

B．

C．

D．不確定參考答案：A8.在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)掕垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：C解析：取BC的中點(diǎn)E，則面，，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即有．9.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(幾何證明選講)若直角的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn),且,則的面積為_________.參考答案：略12.如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），那么（即的虛部）為__________。參考答案：略13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=（a+1）n2+a，某三角形三邊為a2，a3，a4，則該三角的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意求得數(shù)列的前兩項(xiàng)，得到公差，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為0的n的一次或二次函數(shù)求得a，得到具體的首項(xiàng)和公差，求得a2，a3，a4的值，再由海倫公式求面積．【解答】解：令n=1，得到a1=S1=2a+1，令n=2，得到a1+a2=S2=5a1+4，∴a2=3a+3，故公差d=（3a+3）﹣（2a+1）=a+2，又由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=（a+1）n2+a，得到a=0，∴等差數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，公差d=2，∴a2=3，a3=5，a3=7，設(shè)P=，則三角的面積為S==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用三角形三邊求三角形面積的方法，是中檔題．14.三個(gè)數(shù)390,455,546的最大公約數(shù)是________．參考答案：1315.將極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)作原點(diǎn)，極軸作為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系后，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是______________

參考答案：16.在某個(gè)容量為300的樣本的頻率分布直方圖中，共有9個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他8個(gè)小長(zhǎng)方形面積和的，則中間一組的頻數(shù)為

．參考答案：50

略17.已知，（＞0，且），如對(duì)恒成立，則的取值集合為 。命題意圖：難題。考核單數(shù)的應(yīng)用、恒成立的轉(zhuǎn)化，最重要的是考核理性思維。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)求直線m的方程，使直線m被圓C1截得的弦長(zhǎng)為4，與圓C截得的弦長(zhǎng)是6.參考答案：解(1)圓C1的圓心C1(－3,1)，半徑r1＝2；圓C2的圓心C2(4,5)，半徑r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴兩圓相離；（2）由題意得，所求的直線過兩圓的圓心，即為連心線所在直線，易得連心線所在直線方程為：4x－7y＋19＝0.略19.荔灣西村在11月至12月的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)中獲得一組樣本數(shù)據(jù)，現(xiàn)根據(jù)國(guó)家的PM2.5空氣污染指數(shù)等級(jí)將監(jiān)測(cè)結(jié)果分成如下五組：第一組“優(yōu)秀[0,50)”、第二組“良好[50,100)”、第三組“輕度污染[100,150)”、第四組“中度污染[150,200)”和第五組“重度污染[200,250]”，已知第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為，第一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是4.(I)求出樣本容量，并估計(jì)西村11月至12月空氣質(zhì)量為優(yōu)良等級(jí)（優(yōu)秀或良好）的概率；(II)從空氣質(zhì)量等級(jí)是優(yōu)秀等級(jí)或重度污染等級(jí)的數(shù)據(jù)中抽取2份數(shù)據(jù)，求抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率.參考答案：解：(I)設(shè)樣本容量為，則，解得， ……2分空氣質(zhì)量為優(yōu)秀或良好等級(jí)的頻率為.

……5分(II)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀等級(jí)[0,50)的有天，設(shè)為

……6分測(cè)試結(jié)果為重度污染等級(jí)[200,250]的有天，設(shè)為

……7分

設(shè)抽取的兩份數(shù)據(jù)為，則共有如下15種情況：、、、、、、、、、、、、、、，

……9分兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的有如下6種情況：、、、、、

……10分設(shè)“兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)”為事件A，則.答：抽出的兩份數(shù)據(jù)都是優(yōu)秀等級(jí)的概率為

……12分略20.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N不同于橢圓C的右頂點(diǎn)），證明：直線MN過定點(diǎn).參考答案：（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，又長(zhǎng)為，∴，∴，可得，又，∴，故題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)，由得，∴，同理可得當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為整理得，所以直線當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線也過點(diǎn)所以直線過定點(diǎn).

21.一種電腦屏幕保護(hù)畫面，只有符號(hào)“○”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q，若第k次出現(xiàn)“○”，則記ak=1；出現(xiàn)“×”，則記ak=﹣1，令Sn=a1+a2+??+an．（Ⅰ）當(dāng)p=q=時(shí)，記ξ=|S3|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）當(dāng)p=，q=時(shí)，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（I）ξ=|S3|的取值為1，3，故欲求ξ的分布列，只須分別求出取1或3時(shí)的概率即可，最后再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得數(shù)學(xué)期望即可；（II）由S8=2知，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又Si≥0（i=1，2，3，4）知包括兩種情形：若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；或者若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次．分別求出它們的概率后求和即得．【解答】解：（I）∵ξ=|S3|的取值為1，3，又，∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列為∴Eξ=1×+3×=．（II）當(dāng)S8=2時(shí)，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次．故此時(shí)的概率為22.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).

（1）求的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性并用定義證明；（3）若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案：(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)∴f(0)=0

得a=1

∴