高中數(shù)學(xué)指數(shù)式、對數(shù)式比較大小的問題專題訓(xùn)練精講精練

高中數(shù)學(xué)指數(shù)式、對數(shù)式比較大小的問題專題訓(xùn)練精講精練

高中數(shù)學(xué)中，指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較問題常常與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)以及函數(shù)圖像結(jié)合在一起考察。因此，要順利完成這樣的綜合題，需要掌握應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、指數(shù)式對數(shù)式的化簡變形、特殊值的變形應(yīng)用、函數(shù)圖象的運(yùn)用、不等式性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)。常見的式子的比較大小有以下幾種類型：一、同底數(shù)或同指數(shù)的式子，可以直接應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的單調(diào)性來解決。例如，已知$3^a>5^b>1$，則三個(gè)數(shù)$a$，$b$，$c$的大小關(guān)系是$c<b<a$。二、利用特殊值、1靈活變形進(jìn)行比較，把數(shù)字初步分為小于1、等于1和大于1三大類。例如，比較$a=2020^{1/2010}$，$b=\log_{2019}2020$，$c=\log_{2020}2019$，$d=\log_{2019}2020$的大小，可以通過變形得到$a>1>b>1/2>c>0>d$。三、兩個(gè)式子的底數(shù)、指數(shù)或真數(shù)都不相同時(shí)，可以通過化簡變形變到有一個(gè)相同，再利用單調(diào)性求解。例如，比較$a=2$，$b=3$，$c=5$的大小，可以將它們變形為$2^{1/2}$，$3^{1/3}$，$5^{1/5}$的形式，再利用單調(diào)性得出$5^{1/5}<2^{1/2}<3^{1/3}$。例1：比較a、b、c的大小：a=2^2^(2^3)，b=3^3^(3^2)，c=5^5^(5^1)首先計(jì)算出a、b、c的值：a=2^2^(2^3)=2^2^8=2^256，b=3^3^(3^2)=3^3^9=3^19683，c=5^5^(5^1)=5^5^5=5^3125。因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以可以直接比較指數(shù)的大小。比較a和b的大?。篴=2^2^8=2^(2^3)=2^8=256，b=3^3^9=(3^3)^3=27^3=19683，所以a<b。再來比較a和c的大?。篴=2^2^8=2^(2^3)=2^8=256，c=5^5^5=(5^5)^5=3125^5，所以a<c。所以a<b<c。例2：比較a、b、c的大小：a=10^(-1/2)，b=1/2^(1/2)，c=1/4首先計(jì)算出a、b、c的值：a=10^(-1/2)=1/√10，b=1/2^(1/2)=1/√2，c=1/4。因?yàn)椤?0>√2，所以a>b。因?yàn)?/4=0.25<1/√2，所以c<b。所以a>c>b。例3：比較a、b、c的大?。篴=2^2^(2^1)，b=3^3^(3^1)，c=5^5^(5^1)首先計(jì)算出a、b、c的值：a=2^2^(2^1)=2^2^2=2^4=16，b=3^3^(3^1)=3^3^3=3^27，c=5^5^(5^1)=5^5^5=5^3125。因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以可以直接比較指數(shù)的大小。比較a和b的大?。篴=2^2^2=2^(2^1)=2^2=4，b=3^3^3=(3^3)^3=27^3，所以a<b。再來比較a和c的大?。篴=2^2^2=2^(2^1)=2^2=4，c=5^5^5=(5^5)^5=3125^5，所以a<c。所以a<b<c。例4：比較a、b、c的大小：a=log36，b=log48，c=log510這三個(gè)對數(shù)式也是底數(shù)真數(shù)都不同，而且它們?nèi)际谴笥?且小于2的數(shù)，觀察到三個(gè)對數(shù)式的真數(shù)正好都等于底數(shù)的2倍，所以可以嘗試把真數(shù)寫成為2的倍數(shù)，讓式子變形成真數(shù)相等，再來進(jìn)行比較。做法如下：a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log48=log4(4×2)=1+log42，c=log510=log5(5×2)=1+log52此時(shí)只要比較log32、log42、log52的大小。因?yàn)閘ogab=1/logba，所以可以利用不等式的倒數(shù)性質(zhì)（若a×b>1且a>b，則1/a<1/b）log23<log24<log25的大小，得到log32>log42>log52。故可得a>b>c。例5：比較a、b、c的大?。篴=log36，b=log510，c=log714a=log26/log23，b=log210/log25，c=log214/log27因?yàn)閘og23<log25<log27，所以可得log26/log23>log210/log25>log214/log27。因?yàn)閘ogab=1/logba，所以可以得到a>b>c。例6：比較a、b、c的大?。篴=log45-log35，b=log56-log46，c=log67-log57因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以可以先化簡式子。a=log45-log35=log(4/3)5，b=log56-log46=log(5/4)6，c=log67-log57=log(6/5)7。因?yàn)?/3<5/4<6/5，所以可得a<b<c。已知$a=2^{1.2}$，$b=-0.8$，$c=\log_2{e}$，可以用作差法或做商法來比較它們的大小。由于$\log_23>0$，$\log_25>0$，所以可得：$\log_23\cdot\log_25<(\log_23+\log_25)/2=\log_215$，而$\log_24>\log_215/2$，所以$\log_24-\log_23\cdot\log_25>0$。又因?yàn)?\log_34>\log_45$，即$a>b$，同樣的方法可以證明$b>c$，所以有$a>b>c$?？梢酝茖?dǎo)出一般的形式：$\log_m(m+1)>\log_{m+1}(m+2)$（$m>1$）；類似的還可以證明：$\log_{m+1}m<\log_{m+2}(m+1)$（$m>1$）。已知$x,y,z$為正數(shù)，且$2^x=3^y=5^z=k(k>0)$，則$x=\log_2k,y=\log_3k,z=\log_5k$。令$a=2x,b=3y,c=5z$，則$a=\log_2k^2,b=2\log_3k,c=2\log_5k$。因?yàn)?2^x=3^y=5^z=k$，所以$a,b,c$相等，即$\log_2k^2=2\log_3k=2\log_5k$?；喛傻?a=2\log_2k=2\log_3k/\log_32=2\log_5k/\log_25=b/\log_32=c/\log_25$。因?yàn)?\log_23<1<\log_25$，所以$\log_23<\log_32<1$，$\log_25<\log_52<1$。因?yàn)?y=x/\log_32$，$z=x/\log_25$，所以$2^x=3^{x/\log_32}=5^{x/\log_25}$，即$2^x=(2^{\log_32})^x=(5^{\log_52})^x=5^{x\log_52}$。所以$1=(\log_32)\log_25=(\log_52)\log_32$，即$\log_32=\dfrac{\log_52}{\log_53}$，$\log_52=\dfrac{\log_25}{\log_23}$。代入$a,b,c$的式子，可得$2^x=3^{\frac{2\log_5k}{\log_53}}=5^{\frac{2\log_3k}{\log_25}}$。因?yàn)?2^x=3^y=5^z=k$，所以$\frac{2\log_5k}{\log_53}=y\log_53$，$\frac{2\log_3k}{\log_25}=z\log_52$。代入上式，可得$2^x=3^{y\log_53}=5^{z\log_52}$。因?yàn)?2^x=k$，所以$3^{y\log_53}=5^{z\log_52}=k$。所以$y\log_53=\log_3k\cdot\log_53=\log_5k\cdot\log_52=z\log_52$。因?yàn)?\log_53<1<\log_52$，所以$y<z<x$，即$3^y<5^z<2^x$。所以選D。已知$a=0.5^{2.1}$，$b=2^{0.5}$，$c=0.2^{2.1}$，因?yàn)?0.5^{0.3}<1<0.5^{0.2}$，所以$0.5^{2.1}=0.5^{0.3\cdot7}<0.5^{0.2\cdot11}<0.5^{0.3\cdot6}<1$，即$a<1$。因?yàn)?2^{0.5}>1$，所以$b>1$。因?yàn)?0.2^{0.3}>1>0.2^{0.2}$，所以$0.2^{2.1}=0.2^{0.3\cdot7}>0.2^{0.2\cdot11}>0.2^{0.3\cdot6}>1$，即$c>1$。因?yàn)?0.5^{0.3}<0.2^{0.3}$，所以$a<c$，因?yàn)?0.5^{0.2}<2^{0.2}$，所以$a<b$，所以$b>a>c$，即選B。4.已知a=0.3^0.3，b=0.3^1.3，c=1.3^0.3，則它們的大小關(guān)系是c>a>b。解析：由于c=1.3^0.3>1>0.3，所以c最大；a=0.3^0.3<0.3^1.3=b，所以a最小，排列為c>a>b。5.已知，則b=1，c=3^0.5，a=3^1.1，所以a>c>b，即b<c<a，選D。6.設(shè)a=0.2^0.3，b=0.3^0.3，c=0.3^0.2，則a<b<c，選C。7.若a=log2(0.5)，b=2^0.5，c=0.5^2，則a<c<b，選C。8.設(shè)a=0.8^0.7，b=0.8^0.9，c=1.2^0.8，則a>b>c，選A。9.已知a=（2/3）^（1/2），b=（3/4）^（1/3），c=（4/5）^（1/4），則a<b<c，選A。解析：將指數(shù)化為分?jǐn)?shù)，然后比較大小即可。11.數(shù)x的大小關(guān)系是x<1/4。解析：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2^x為減函數(shù)，所以當(dāng)x增大時(shí)，y減小，即2^x逐漸趨近于0。而2^(-1/2)=1/√2>1/2>1/4，所以x<1/4。1.在(，+∞)上為增函數(shù)，因此>，所以<。答案：正確。2.已知a=，因此0.1<0.2<0.1-0.2=-0.1，b=，c=，因此a>b>c。答案：D。3.設(shè)a=，b=，c=，則c>a>b，因此選A。4.設(shè)a=，因此a<2，b=<2，c=>2，因此c<a<b，選D。5.設(shè)a=，b=，c=，因此c>a>b，選A。6.設(shè)a=0.42，b=30.4，c=log40.3，則0.42<1<30.4<3，因此a<c<b，選B。7.設(shè)，則c>a>b，選C。8.設(shè)，則b<a<c，選D。9.設(shè)a=0.5x，因此a遞減，而0.2<0.5，因此b<a，同時(shí)a<1，因此c<a，因此b<a<c，選D。10.設(shè)a=0.2^0.3，b=0.2^0.5，c=1.2^0.2，則0.2^0.5<0.2^0.3<1，因此b>a>c，選C。11.已知a=30.6，b=log30.6，c=0.63，則0.6<1<30.6，因此b<a<c，選B。A.根據(jù)已知條件：a=30.6＞1，b=log30.6＜1，c=0.63＜1，可以得出a＞c＞b，因此選A。B.根據(jù)已知條件：x=0.2^0.3，y=0.3^0.2，z=0.3^0.3，由y=0.3x的單調(diào)性可得y＞z，由y=x^0.3的單調(diào)性可得x＜z，因此選A。C.根據(jù)已知條件：a=1.6^0.3，b=1.6^0.8，c=0.7^0.8，由y=1.6x是增函數(shù)可得a＜b，而1.6^0.3＞1＞c=0.7^0.8，因此c＜a＜b，因此選A。D.根據(jù)已知條件：y=2x，a=2^(?2)，b=log34，在R遞減，可得b＜a＜c，因此選D。E.根據(jù)已知條件：a=0.32，b=0.3^1.5，c=2^0.3，由y=0.3x為減函數(shù)，2＞1.5，可得a＜b，由y=2x為增函數(shù)，0.3＞1，可得c＞b，因此c＞b＞a，因