人教A版數(shù)學(xué)變量間的相關(guān)關(guān)系

第二章統(tǒng)計(jì)2.3

變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念.2.會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.3.會(huì)求線性回歸方程．知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一變量間的相關(guān)關(guān)系1.變量之間常見的關(guān)系函數(shù)關(guān)系變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示相關(guān)關(guān)系變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)表示2.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：函數(shù)關(guān)系，①函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系；②函數(shù)是一種因果關(guān)系，有這樣的因，必有這樣的果.例如，圓的半徑由1增大為2，其面積必然由π增大到4π.相關(guān)關(guān)系，①相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.例如，吸煙與患肺癌之間的關(guān)系，兩者之間雖然沒有確定的函數(shù)關(guān)系，但吸煙多的人患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)大幅增加，兩者之間即是一種非確定性的關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.聯(lián)系：①在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量來說，當(dāng)求得其線性回歸方程后，可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的取值進(jìn)行評(píng)估；②相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況1.散點(diǎn)圖將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中，以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.2.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)(1)正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域.(2)負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域.知識(shí)點(diǎn)二散點(diǎn)圖及正、負(fù)相關(guān)的概念左下角右上角左上角右下角答案思考任意兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是否均可以作出散點(diǎn)圖？答可以，不管這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否具備相關(guān)性，以一個(gè)變量值作為橫坐標(biāo)，另一個(gè)作為縱坐標(biāo)，均可畫出它的散點(diǎn)圖.答案知識(shí)點(diǎn)三回歸直線1.回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在

附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有

關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.2.回歸方程與最小二乘法答案一條直線線性相關(guān)思考任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？答用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖來判斷)，否則求出的回歸方程是無意義的.返回答案題型探究重點(diǎn)突破題型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1

在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？①正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.解析答案反思與感悟解兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系.①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系.③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.綜上，②④中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.反思與感悟反思與感悟函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，

而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1

下列兩個(gè)變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(

)A.正方體的棱長(zhǎng)與體積B.角的度數(shù)與它的正弦值C.單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積與糧食總產(chǎn)量D.日照時(shí)間與水稻的單位產(chǎn)量解析函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系都是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系，

但是這兩種關(guān)系是不同的，函數(shù)關(guān)系是指當(dāng)自變量一定時(shí)，函數(shù)值是確定的，是一種確定性的關(guān)系.因?yàn)锳項(xiàng)V＝a3，B項(xiàng)y＝sinα，C項(xiàng)y＝ax(a＞0，且a為常數(shù))，所以這三項(xiàng)均是函數(shù)關(guān)系.D項(xiàng)是相關(guān)關(guān)系.D解析答案題型二散點(diǎn)圖例2

5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)(單位：分)如下：

學(xué)生成績(jī)ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)8075706560物理成績(jī)7066686462判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系.解析答案反思與感悟解以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī)，y軸表示物理成績(jī)，得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.由散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系.反思與感悟反思與感悟1.判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.2.畫散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2

對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(

)A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C答案題型三求回歸直線的方程例3

某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；解散點(diǎn)圖如圖所示.解析答案(2)求回歸方程.解析答案反思與感悟解列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.解析答案反思與感悟反思與感悟反思與感悟1.求回歸方程的步驟(1)列表xi，yi，xiyi.2.求回歸方程的適用條件兩個(gè)變量具有線性相關(guān)性，若題目沒有說明相關(guān)性，則必須對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性判斷.跟蹤訓(xùn)練3

2014年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2013年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入x(萬元)24466年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.1年收入x(萬元)677810年飲食支出y(萬元)1.91.82.12.22.3(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程；解析答案(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測(cè)其年飲食支出.可估計(jì)大多數(shù)年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元.解析答案

數(shù)形結(jié)合思想思想方法例4

以下是在某地搜集到的不同樓盤房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬元)和房屋面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：房屋面積x11511080135105銷售價(jià)格y49.643.238.858.444判斷房屋的銷售價(jià)格和房屋面積之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.如果有線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？分析作出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷.解析答案與解后反思分析返回返回解數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.通過以上數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖可以判斷，房屋的銷售價(jià)格和房屋面積之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān).解后反思判斷兩個(gè)變量x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖.如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就具有線性相關(guān)關(guān)系.注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響.當(dāng)堂檢測(cè)123451.煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間有(

)A.確定性關(guān)系 B.相關(guān)關(guān)系C.函數(shù)關(guān)系 D.無任何關(guān)系解析煉鋼時(shí)鋼水的含碳量除了與冶煉時(shí)間有關(guān)外，還受冶煉溫度等的影響，故為相關(guān)關(guān)系.B解析答案123452.設(shè)有一個(gè)回歸方程為

＝－1.5x＋2，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)(

)A.y平均增加1.5個(gè)單位

B.y平均增加2個(gè)單位C.y平均減少1.5個(gè)單位 D.y平均減少2個(gè)單位解析∵兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān)，∴變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位.C解析答案123453.某商品的銷售量y(單位：件)與銷售價(jià)格x(單位：元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是(

)解析結(jié)合圖象(圖略)，知選項(xiàng)B，D為正相關(guān)，選項(xiàng)C不符合實(shí)際意義，只有選項(xiàng)A正確.A解析答案123454.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為

＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析當(dāng)x＝170時(shí)，

＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79kg.D解析答案123455.正常情況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y(kg)對(duì)身高x(cm)的回歸方程為

＝0.72x－58.2，張明同學(xué)(20歲)身高178cm，他的體重應(yīng)該在________kg左右.解析用回歸方程對(duì)身高為178cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝178時(shí)，

＝0.72×178