樣本與抽樣分布

樣本與抽樣分布§6.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一．數(shù)理統(tǒng)計研究的對象例：有一批燈泡，要從使用壽命這個數(shù)量指標來看其質(zhì)量,設(shè)壽命用X表示。(1)若規(guī)定壽命低于1000小時的產(chǎn)品為次品。此問題是求P(X1000)=F(10000),求F()?(2)從平均壽命、使用時數(shù)長短差異來看其質(zhì)量，即求E()?、D()?。要解決二個問題1．試驗設(shè)計抽樣方法。2．數(shù)據(jù)處理或統(tǒng)計推斷。方法具有“從局部推斷總體”的特點。二.總體（母體）和個體1.所研究對象的全體稱為總體，把組成總體的每一個對象成員（基本單元）稱為個體。說明：對總體我們關(guān)心的是研究對象的某一項或某幾項數(shù)量指標(或?qū)傩灾笜?以及他們在整體中的分布。所以總體是個體的數(shù)量指標的全體。(2)為研究方便將總體與一個R.VX對應(yīng)(等同)?？傮w中不同的數(shù)量指標的全體，即是R.V.X的全部取值。R.VX的分布即是總體的分布情況。例：一批產(chǎn)品是100個燈泡，經(jīng)測試其壽命是：1000小時1100小時1200小時20個30個50個X100011001200P20/10030/10050/100(設(shè)X表示燈泡的壽命)可知R.V.X的分布律，就是總體壽命的分布，反之亦然。常稱總體X，若R.VX～F()，有時也用F()表示一個總體。(3)我們對每一個研究對象可能要觀測兩個或多個數(shù)量指標，則可用多維隨機向量（X,Y,Z,…）去描述總體。2.總體的分類有限總體無限總體三．簡單隨機樣本.1.定義6.1：從總體中抽得的一部分個體組成的集合稱為子樣（樣本），取得的個體叫樣品，樣本中樣品的個數(shù)稱為樣本容量（也叫樣本量）。每個樣品的測試值叫觀察值。取得子樣的過程叫抽樣。樣本的雙重含義：(1)隨機性：用(X，X,……X)n維隨機向量表示。X表示第i個被抽到的個體，是隨機變量。（i=1,2,…n）(2)確定性：(,,……)表示n個實數(shù)，即是每個樣品X觀測值(i=1,2,…n)。2.定義6.2：設(shè)總體為X，若X,X……X相互獨立且與X同分布，則稱（X,X…X）為來自總體X的容量為n的簡單隨機樣本（簡稱樣本）。3.已知總體的分布寫出子樣的分布(1)已知總體X～F(),則樣品X～F()i=1,2…n樣本（X,X…X）的聯(lián)合分布為：F(,…)=P(X,X…X)=P(X)=F()若總體X～f(),樣品X～f()i=1,2……n樣本（X,X……X）的聯(lián)合密度是：f(,……)=f()例:總體X～N(，寫出該總體樣本（X,X…X）的聯(lián)合密度。(2)若總體X是離散型隨機變量，一般給出分布律：P(X=k)=pk.k=1,2……要寫出概率函數(shù)f()即f()=P(X=k)==1,2…..,例:總體X～()寫出該總體樣本(X1,X2,…Xn)的聯(lián)合概率函數(shù)例：總體X～B(1,p)，0p1寫出其樣本（X,X,……X）的聯(lián)合概率函數(shù)。四經(jīng)驗分布函數(shù)與直方圖1.樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)(1)定義：設(shè)(1,2,…n)是來自總體X的一組樣本值。將它們按由小到大排序為：12…i…n對任意的實數(shù)，定義函數(shù)：Fn(x)=則稱F()為總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)。格列文科定理:設(shè)總體X的分布函數(shù)、經(jīng)驗分布函數(shù)分別為F()、Fn(),則有：P=1上式表明，當，概率為1的有F均勻地趨于F()。2總體的概率密度的估計直方圖（第一版）[p143例6.3]可以用SAS下的interactivedataanalysis模塊演示。五統(tǒng)計量與樣本的數(shù)字特征1定義6.3:設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的容量為n的樣本，g(1,2,…,n)是定義在Rn或Rn子集上的普通函數(shù)。如果g中不含有任何未知量，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量。2.常用的統(tǒng)計量（樣本的數(shù)字特征）定義6.4：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，則稱為樣本均值為樣本方差為樣本k階原點矩為樣本k階中心矩3.重要性質(zhì)定理6.1：設(shè)總體X不論服從什么分布，只要其二階矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在，則：(1)E()=E(X)=μ(2)D()=D(X)=(3)E(S2)=D(X)=б2重要恒等式:§6.2抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機變量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。一.三個重要分布(一)分布定義6.5：設(shè)X1，X2，…Xn相互獨立，均服從N(0,1)，則稱隨機變量服從自由度為n的分布，記為，即：。2.定理3.8：的概率密度為 其中定理的說明見P146頁。3.圖形.分布函數(shù)圖：dataKf;dox=0to30by0.1;y=PROBCHI(x,8);output;end;run;procgplotdata=kf;ploty*x=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=run;密度函數(shù)圖：n=1,5,15datakf;doy=0to20by0.1;z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5*GAMMA(0.5));z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5*GAMMA(2.5));z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5*GAMMA(7.5));output;end;run;procgplotdata=kf;plotz0*y=1z1*y=1z2*y=1/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=run;求概率：自由度為n=25,P{X<34.382}的概率這樣求。data;p=PROBCHI(34.382,25);putp=;run;其它可類推。。4.性質(zhì)①若,則E()=n，D()=2n②若且它們相互獨立,則③若相互獨立,均服從(μ,σ2),則④總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布；X1,X2,…,Xn是來自該總體的樣本.則:(二).t分布定義6.6:設(shè)X～(0,1),Y～2(n)且它們相互獨立,則稱隨機變量服從自由度為n的t分布,記為t(n),即。定理3.9:的概率密度為-∝<t<+∝性質(zhì)：(1)t分布的密度是偶函數(shù),圖形為:n=1,10,100時datastudent;dot=-3to3by0.01;z1=(gamma(1)*(1+t**2)**(-1))/((3.1415926)**0.5*gamma(0.5));z10=(gamma(5.5)*(1+t**2/10)**(-5.5))/((10*3.1415926)**0.5*gamma(5));z100=(gamma(50.5)*(1+t**2/100)**(-50.5))/(100*(3.1415926)**0.5*gamma(50));output;end;run;procgplotdata=student;plotz1*t=1z10*t=1z100*t=1/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=run;類似(0,1)圖形，n越大峰值越高。分布函數(shù)圖：n=10.datat;dox=-5to5by0.1;y=PROBT(x,10);output;end;run;procgplotdata=t;ploty*x=1;run;(2)可證明當>45時,t分布與接近。(3)當n>2時，E(T)=0,（證略）(三)F分布定義6.7：設(shè)V～2(m),W～2(n),且它們相互獨立，則稱隨機變量服從第一自由度為m、第二自由度為n的F分布，記為F(m,n)，即Fm,n～F(m,n)。定理3.10：Fm,n為服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布的隨機變量,則其密度函數(shù)為圖形：給定m,n可畫出一個密度圖形密度函數(shù)圖：dataf;%macroa(m,n,x);dataa;doy=0to2by0.01;F&x=(gamma((&m+&n)/2)*(&m/&n)**(&m/2)*y**(&m/2-1))/(gamma(&m/2)*gamma(&n/2)*(1+(&m*y/&n))**(&m+&n)/2);output;end;dataF;mergeaf;%menda;%a(10,25,1);%a(10,5,2);run;procgplotdata=f;plotF1*y=1F2*y=1symbol1v=nonei=joinr=1c=run;易推知：=1\*GB3①若F～F(m,n)，則～F(n,m)=2\*GB3②若X～t(n)，則X2～F(1,n)練習：書上P151有證明。設(shè)，證明：且(注：表示服從自由為的F分布，表示F分布的分位數(shù)。如：data;Q_F=FINV(0.95,12,9);putQ_F=;Q_F=FINV(1-0.95,12,9);putQ_F=;Run;二.常用概率分布的分位數(shù)定義6.8：設(shè)X～(x),對于給定的正數(shù)(0<<1),若存在一個實數(shù)A滿足:P{x>A}=則稱A為X的上側(cè)分位數(shù),簡稱上分位數(shù)；若X服從某分布，稱A為某分布的上分位數(shù)。(1)~稱滿足的數(shù)為自由度為n的分布的上分位數(shù)。查表①P248n≤45=2\*GB3②n>45時注意所以類的統(tǒng)計分析軟件不是這樣定義的，只有一個分位數(shù)（實際上是下分位數(shù)的定義）書上P147---148頁，data;q1=CINV(1-0.005,10);putq1=;q2=CINV(1-0.01,10);putq2=;q3=CINV(1-.1,10);putq3=;q4=CINV(1-.1,25);putq4=;run;q1=25.188179572q2=23.209251159q3=15.987179172q4=34.381587018自由度為n=25,P{X<34.382}的概率。data;p=PROBCHI(34.382,25);putp=;run;其它一些分布分位數(shù)求解如前幾章講過的，對于正態(tài)分布有結(jié)果：SAS的兩種計算公式：data;p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1);putp1=;p2=PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);putp2=;p3=PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);putp3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039data;p1=2*PROBNORM(1)-1;putp1=;p2=2*PROBNORM(2)-1;putp2=;p3=2*PROBNORM(3)-1;putp3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以驗證數(shù)據(jù)，即以為中心，需要幾倍的標準差距離所構(gòu)成的區(qū)間，其區(qū)間內(nèi)的概率為上述所示。Data;q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));putq1=;q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));putq2=;q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));putq3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959data;q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);putq1=;q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);putq2=;q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);putq3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959注意：為中心，概率為90%,95%，98%，99%的區(qū)間，需要幾倍的標準差距離。Data;q1=abs(probit((1-0.9)/2));putq1=;q2=abs(probit((1-0.95)/2));putq2=;q3=abs(probit((1-0.98)/2));putq3=;q3=abs(probit((1-0.99)/2));putq3=;run;q1=1.644853627q2=1.9599639845q3=2.326347874q3=2.5758293035比如，=0.95等的結(jié)論也是常用的。幾乎都成常識了。data;q1=exp(-1.65**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));putq1=;q2=PROBNORM(-1.65);putq2=;aa=q1/q2;putaa=;run;還有如：SASFUNCTIONS:QuantileFunctionsBETAINV(p,a,b)returnsaquantilefromthebetadistributionCINV(p,df<,nc>)returnsaquantilefromthechi-squareddistributionFINV(p,ndf,ddf<,nc>)returnsaquantilefromtheFdistributionGAMINV(p,a)returnsaquantilefromthegammadistributionPROBIT(p)returnsaquantilefromthestandardnormaldistributionTINV(p,df<,nc>)returnsaquantilefromthetdistribution可證明：n很大(2)T～t(n)稱滿足P{T>tα(n)}=的數(shù)tα(n)為t(n)上分位數(shù)。查表:①n≤45時,直接查表。②n>45時,,tα(n)=uα。注意：T～t(n)的密度是偶函數(shù)。稱滿足正數(shù)為分布的雙側(cè)分位數(shù)。易知:查表可得,且同樣標準正態(tài)分布有:。例：n=20的t分布，求其0.1的上分位數(shù)，有data;q=TINV(1-0.1,5);putq=;q=TINV(1-0.1,10);putq=;q=TINV(1-0.1,20);putq=;q=TINV(1-0.1,50);putq=;q=TINV(1-0.1,100);putq=;q=TINV(1-0.1,200);putq=;qnorm=(probit(1-0.1));putqnorm=;run;q=1.4758840488q=1.3721836411q=1.325340707q=1.2987136942q=1.2900747613q=1.285798794qnorm=1.2815515655對于概率：我們看一下當n很大時，t(n)和標準正態(tài)分布的近似性